Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Методические рекомендации
.pdf
б)
xdxxnmcossin
pm 2
qn 2
2
2cos1
sin
2
x
x
2
2cos1
cos
2
x
x
2
2sin
sincos
x
xx
.
2
2cos1
2
2cos1
cossincossin
22
dx
xx
xdxxxdxx
qp
qpnm
x2cos
kxdxcos
xdx
4
sin
.4sin
32
1
2sin
4
1
8
3
32
4sin
84
2sin
4
2
4cos1
2sin
4
1
2cos2cos21
4
1
2cos1
4
1
sin
2
2
4
CxxxC
xxxx
dx
x
xxdxxxdxxxdx
ttgx
tctgx
dx
x
x
6
2
cos
sin
.
53
53
1
1
1
1
1
cos
sin
53
53
4222
2
3
2
2
2
6
2
C
xtgxtg
C
tt
dtttdttt
t
dt
t
t
t
ttgxdx
x
x
dxbxax sinsin
dxbxax coscos
dxbxax cossin
ba
])cos()[cos(
2
1
sinsin xbaxbabxax
])cos()[cos(
2
1
coscos xbaxbabxax
])sin()[sin(
2
1
cossin xbaxbabxax
.
2
sin
2
sin
coscos
2
1
coscos C
ba
xba
ba
xba
dxxbaxbadxbxax
xdxx 3sin5sin
.
16
8sin
4
2sin
8cos2cos
2
1
3sin5sin C
xx
dxxxxdxx
, где m и n – неотрицательные числа и четные. Положим
. Из тригонометрии известно:
,
,
,
. (16)
Подставляя в интеграл, получим:
Возведя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие
в нечетных
и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются как в случае а). Четные
показатели степени снова понижаем по формулам (16). Продолжая так, дойдем до членов
вида
П р и м е р 5. Найти
, которые легко интегрируются.
.
в) Если оба показателя – четные, то следует сделать замену
П р и м е р 6. Найти
.
или
.
6) Рассмотрим интегралы вида
Они берутся при помощи тригонометрических формул
Подставляя и интегрируя, получим:
Аналогично вычисляются и два других интеграла.
П р и м е р 7. Найти
.
,
,
.
:
,
,
.
21
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
xfy
0xf
ax
ba,
bxxxxxa
nn
1210
bxxxxa
n
,,,,,,
1211
1
kkk
xxx
nk ,,2,1
kk
xx ,
1
k
k
f
kk
xf
k
x
k
f
n
k
kkn
xfS
1
xfy
ba,
k
nkxx
kk
,1,
1
nkx
k
,1max
0
0
SS
n
k
kk
xx ,
1
n
k
kk
xfS
1
0
lim
tfV
0
t
Tt ,
0
Tttttt
n
,,,,,,
12110
)(
1
Ttttt
nkkk
k
t
),(ktf
k
t
kk
tt ,
1
у
x
B
y = f (x)
А
в
Х
Х
Х
ε
ε
а
0
§ 1. Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.
Понятие определенного интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию
аАВb (рис. 1), т.е. плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком функции
, слева и справа – отрезками aA и bB прямых
, Ошибка! Объект не может быть
создан из кодов полей редактирования., снизу – осью Ох. Отрезок
разобьем на n элементарных отрезков
, длины которых обозначим через
каждом из элементарных отрезков
значение данной функции
ка с основанием
и высотой
. Произведение
выберем произвольно точку
выражает площадь прямоугольни-
. Составим сумму всех таких произведений
. (1)
Эта сумма называется интегральной
суммой для функции
и выражает площадь ступенчатой фигу-
ры, состоящей из прямоугольников и приближенно заменяющей данную трапецию.
Сумма (1) зависит от способа разбиения и
выбора точек
Обозначим через
.
длину наибольше-
го из элементарных
отрезков
точками
. В
и вычислим в ней
на отрезке
, т. е.
.
Рис.1
Число S называется пределом интегральной суммы (1), если для любого числа
можно указать такое число
висимо от выбора точек
на отрезках
, что при
выполняется неравенство
.
неза-
Предположим, что рассматриваемая сумма имеет предел, когда число элементарных
отрезков неограниченно возрастает, а длинна наибольшего из них стремится к нулю; этот
предел и называется площадью криволинейной трапеции, т. е.
. (2)
Задача о вычислении длины пути по заданной скорости. Пусть точка М движется прямо-
линейно с переменной скоростью
промежуток времени от
ков
времени
где
- некоторое значение t из промежутка
скорость движения можно приближенно считать постоянной и равной
до Т. Промежуток
длиной
. Вычислим длину пути, пройденного точкой М за
разобьем на n элементарных промежут-
. В течение малого промежутка
, поэтому длина пути, пройденного за
22
этот промежуток, приближенно равна
kk
ttf )(
kk
ttf )(
0
t
n
k
kkn
ttfS
1
)(
n
k
kk
ttfS
1
0
)(lim
),,2,1(max nkt
k
tfV
Tt ,
0
)(xfy
ba,
b
a
dxxf )(
)(xf
b
a
n
k
kk
xfdxxf
1
0
)(lim)(
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf )()()(
ba,
)(xf
ba,
)(xf
ba,
dc,
ba,
)(xf
ba,
)(xf
ba,
ba,
.Складывая все частичные длины
,
получаем приближенное значение длины пути, пройденного точкой за промежуток от
до Т:
. (3)
Переходя к пределу, находим точное значение длины пути
, (4)
где
Итак, пройденный путь равен пределу интегральной суммы (3) функции
отрезке
.
.
на
Понятие определенного интеграла
Определение: Определенным интегралом от функции
на отрезке
назы-
вается конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неог-
раниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.
Определенный интеграл обозначается символом
теграл от a до b);
называется подынтегральной функцией, х – переменной интегрирова-
(читается: определенный ин-
ния; а – нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования.
Следовательно, по определению
. (5)
Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегриро-
вания, т.е.
. (6)
Функция, для которой существует предел (5), называется интегрируемой на отрезке
.
Если функция
интегрируема на отрезке
, то она и ограничена на этом отрез-
ке. Обратное утверждение неверно.
Справедливы следующие утверждения:
1. Если функция
отрезке
2. Если функция
, содержащемся в
интегрируема на отрезке
.
непрерывна на отрезке
, то она интегрируема на любом
, то она и интегрируема на этом от-
резке.
3. Если функция
да, то она интегрируема на
имеет на отрезке
.
конечное число точек разрыва первого ро-
§ 2. Геометрический смысл определенного интеграла
Возвратимся к задаче о площади криволинейной трапеции и определению определен-
ного интеграла.
23
Если
ba
0)( xf
b
a
Sdxxf )(
)(xfy
ba,
)(xfy
ax
ba
0)( xf
b
a
Sdxxf )(
ba
)(xf
ba,
321
)( SSSdxxf
b
a
и
, то из формул (2) и (5) следует, что
, (7)
т.е. определенный интеграл от функции
нейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
ками прямых
, Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., снизу -
по отрезку
равен площади криволи-
, слева и справа - отрез-
отрезком оси Ох (рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3
Если
и
, то
, (8)
т.е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные значения, ра-
вен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рис. 3).
Если
и
меняет знак на отрезке
, то определенный интеграл равен ал-
гебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 4):
. (9)
Рис. 4
24
ba
ba
a
dxxf
a
0)(
)(xf
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
)(xf
ab,
ab
)(xf
ba,
ca,
bc,
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
)(xf
ba,
)(xfk
constk
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(
)(xf
)(x
ba,
b
a
b
a
b
a
dxxdxxfdxxxf
)(xf
ba,
ba
0)( xf
],[ bax
b
a
dxxf 0)(
)(xf, )(x
ba
)()( xxf
],[ bax
b
a
b
a
dxxdxxf )()(
)(xf
ba,
ba
)(xf
ba,
dxxfdxxf
b
a
b
a
)()(
§ 3. Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим случаи, когда
и
. Тогда
, (10)
где
- любая функция.
Геометрический смысл: соответствующая криволинейная трапеция вырождается в
отрезок прямой, площадь такой «криволинейной трапеции» равна нулю.
, (11)
где
– функция, интегрируемая на отрезке
.
Определенный интеграл обладает следующими свойствами:
10. Если функция
интегрируема на наибольшим из отрезков
,
она интегрируема на двух других отрезках, причем
при любом расположении точек a, b, c.
20. Если функция
интегрируема на отрезке
, то функция
, где
также интегрируема на этом отрезке, причем
.
30. Если
и
– функции, интегрируемые на отрезке
, то их сумма и раз-
ность также интегрируемы на этом отрезке, причем
,
, то
,
40. Если функция
, то
50. Если функции
, то
60. Если функция
же интегрируема на
интегрируема на отрезке
интегрируемы на отрезке, где
интегрируема на отрезке
, причем
.
, где
.
, где
.
.
, и
, и
, то функция
для всех
для всех
так-
25
.
b
a
abdx
1)( xf
.)()(
1
1 11
abxxxxf
k
n
k
n
k
kk
n
k
kk
ab
ab
)(xf
ba,
ba
],[ bax
,)( Mxfm
b
a
abMdxxfabm ).()()(
b
a
b
a
b
a
Mdxdxxfmdx ,)(
b
a
b
a
b
a
dxMdxxfdxm .)(
.)sin3(
0
6
dxx
0a
b
ab
xxf
6
sin3
3m
4M
4sin33
6
x
.4)sin3(3
0
6
dxx
)(xf
ba,
],[ bax
,)( Mxfm
b
a
abdxxf ),()(
.Mm
ba
b
a
Mdxxf
ab
m )(
1
b
a
dxxf
ab
)(
1
§ 4. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем
Докажем равенство
Подынтегральная функция равна единице,
(12)
; интегральная сумма для неѐ выра-
зится формулой
Итак, любая интегральная сумма для данной функции равна
равен
всех
, т.е. справедливо равенство (12).
ТЕОРЕМА 1: Если функция
выполняется неравенство
интегрируема на отрезке
, поэтому и предел ее
, где
, и для
(13)
то
(14)
Доказательство. На основании свойства 50 из неравенств (13) находим, что
или
Принимая во внимание формулу (12), получаем неравенства (14), что и требовалось до-
казать.
С помощью неравенств (14) можно оценить определенный интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение. Неравенства (14) выражают оценку определенного интеграла.
П р и м е р. Оценить определенный интеграл
Поскольку в данном случае
,
, т.е.
, то
,
ТЕОРЕМА 2: (Теорема о среднем) Если функция
и для всех
где
Доказательство. Если
выполняются неравенства
, то на основании теоремы 1 выполняются неравенства (14)
,из которых находим
Полагая
(16)
получаем равенство, которое требовалось доказать.
,
(15)
.
, для функции
интегрируема на отрезке
то
,
26
ba
.)()()()(
a
b
b
a
abdxxfbadxxf
)(xfy
0xf
)(xf
bа,
),()()( abcfdxxf
b
a
],[ baс
)(cf
)(xf
ba,
),(xfy
.,ba
bax ,
)(xf
xa,
ba,
x
a
dttfxФ )(
).()( xfxФ
В случае
Что и требовалось доказать.
Рис. 5
где
Число
имеем
, определяемое формулой (17), называется средним значением функции
Геометрический смысл: площадь криво-
линейной трапеции, ограниченной непрерывной
линией
моугольника с тем же основанием и высотой,
равной ординате некоторой точки этой линии
(рис. 5).
Замечание. В случае, когда функция
непрерывна на отрезке
нимает вид
, равна площадь пря-
, равенство (15) при-
(17)
на отрезке
.
§ 5. Существование первообразной для непрерывной функции.
Формула Ньютона-Лейбница
Определение определенного интеграла с переменным верхним пределом:
Рассмотрим функцию
функция
отрезке
ТЕОРЕМА 1: Если подынтегральная функция непрерывна, то производная опреде-
ленного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынте-
гральной функции для этого предела, т.е.
С л е д с т в и е. Определенный интеграл с переменным верхнем пределом является од-
ной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции, т. е. для любой непре-
рывной функции существует первообразная.
Связь между определенными и неопределенными интегралом выражает следующая
теорема.
ТЕОРЕМА 2: Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности
значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.
интегрируема также на любом отрезке
, тогда на этом отрезке определена функция
интегрируемую на отрезке
. Предложим, что х меняется на
. (18)
(19)
. Если
, то
27
Доказательство. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
x
a
dttfxФ )(
ba,
)(xf
).()( xfxФ
xF
)(xf
)()(
/
xfxF
)(xФ
xF
CxFxФ )(
ax
0)( aФ
CaF 0
aFC
aFxFxФ )(
aFxFdttf
x
a
)()(
/
xfxF
bx
aFbFdxxf
b
a
a
b
xFdxxf
b
a
)()(
aFbF
a
b
xF )(
xF
3
7
3
1
3
2
1
2
3
333
2
1
2
x
dxx
)(xf
ba,
ba,
)(tx
t
a)(
b)(
b
a
dtttfdxxf
.)()]([)(
xF
)(xf
ba,
)()(
/
xfxF
bax ,
b
a
aFbFdxxf ).()()(
xF
)(tx
tF
ba,
tttxtt
tfxfFFF
)]([)(
)()]([ ttfF
t
реме 1
Пусть
, где х принадлежит отрезку
– первообразная функции
, в котором
, т.е.
непрерывна. Согласно тео-
. Итак, функции
имеют одинаковые производные; на основании следствия 2 из теоремы Лагранжа за-
ключаем, что
Поскольку при
Следовательно,
В частности, при
,откуда
.
,
,получаем
(см. равенство (10)), из последнего равенства получаем
.
,
, где
.
. (20)
Что и требовалось доказать.
Формула (20) называется формулой Ньютона – Лейбница. Еѐ можно переписать в виде
, где
и
, (21)
левая часть читается так: двойная подстановка от а до b для функции
П р и м е р.
.
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 1: Если выполнены условия: 1) функция
; 2) отрезок
отрезке
справедлива формула
Доказательство. Пусть
для всех
является множеством значений функции
и имеющей на нем непрерывную производную; 3)
(22)
- первообразная для функции
, тогда
.
непрерывна на отрезке
, определенной на
,
на отрезке
, то
, т. е.
щих отрезках, то сложная функция
Поскольку функции
,
являются дифференцируемыми на соответствую-
дифференцируема на отрезке
:
,
.
28
Следовательно, функция
tF
)()]([ ttf
,
)].([)]([)]([)()]([
/
FFtFdtttf
b
a
dxxfaFbFFF .)()()()]([)]([
.
1
3
0
dx
x
x
1 xt
tdtdxtx 2,1
2
1 xt
01x
11t
32x, 22t
2,1
.
3
8
2
3
14
1
3
1
2
3
2
2
1
2
3
2)1(22
1
1
33
2
1
2
2
1
2
3
0
t
t
dtttdt
t
t
dx
x
x
)(xuu
)(xvv
ba,
dxxuxv
a
b
xvxudxxvxu
b
a
b
a
)()()()()(
//
xvxu )(
xvxuxvxu//)(
a
b
xvxudxxvxuxvxu
b
a
)()]()()()([
//
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
1
0
2
dxxe
x
.097,21
4
1
4
1
44
1
42
0
1
4
1
2
2
1
0
1
2
1
2
1
,,,
2
222
2
2
1
0
22
1
0
222
e
eee
e
e
dxexeevdxedvdxduxudxxe
x
xxxxx
- первообразная для функции
на от-
резке
. По формуле Ньютона-Лейбница получаем
Принимая во внимание условие 3) данной теоремы, находим
Из двух последних равенств, следует формула (22), которую называют формулой заме-
ны переменной под знаком определенного интеграла. Что и требовалось доказать.
П р и м е р 1. Вычислить
Введем новую переменную t по формуле
, из которой
. Определяем новые пределы интегрирования: из равенства
при
получаем
, при
, т. е.
.
На основании формулы (22) находим
ТЕОРЕМА 2: Если функции
отрезке
, то справедлива формула
Доказательство. Поскольку функция
,то
формула (23), которую можно записать в виде
Что и требовалось доказать.
П р и м е р 2. Вычислить
.
С помощью формулы (24) получаем
,
имеют непрерывные производные на
. (23)
- первообразная для функции
, откуда и следует
. (24)
29
§ 7. Приближенное вычисление определенных интегралов
,dxxfI
b
a
ba,
n
abh
n
xxxx ,...,,,
210
nn
yyyybxax ,...,,,;,
2100
n
MMMM ,..,,,
210
BMAM
n
,
0
,xfy
,,....,2,1,0 nkkhax
k
nkxfy
kk
...,2,1,0
nkMM
kk
,....,2,1,
1
2
...
22
...
22
121
01
21
10 n
n
nn
y
yyy
y
hh
yy
h
yy
h
yy
)]...(2)[(
2
1210
nn
b
a
yyyyy
h
dxxf
dx
x
x
1
0
sin
x
x
xf
sin
)(
Точное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница не всегда
оказывается возможным (так как первообразная подынтегральной функции иногда не выра-
жается в элементарных функциях) или не представляется целесообразным (поскольку нахо-
ждение первообразной часто сопряжено с громоздкими выкладками). В этих случаях, а так-
же в случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, целесообразно
определенные интегралы вычислять приближенно.
Рассмотрим применение простейших методов численного интегрирования функций.
Формула трапеций. Пусть требуется вычислить определенный интеграл
(25)
который равен площади соответствующей криволинейной трапеции (рис.6).
Отрезок
ных отрезков длиной
разобьем на n равных элементар-
. (26)
Пусть
- точки деления
- ординаты соответст-
вующих точек
графика функции
тогда
(27)
где h –шаг разбиения, определяемый формулой
(26),
. (28)
Рис. 6
Соединим каждые две последовательные точки
отрезком пря-
мой, в результате получим n прямолинейных трапеций одной и той же высоты. Они составляют фигуру, «вписанную» в данную криволинейную трапецию. Площадь этой фигуры выражается формулой
,
поэтому
. (29)
вычисления данного определенного интеграла (таблица 1).
Формула (29) называется формулой трапеций.
П р и м е р 1. По формуле трапеций, приняв n=10, вычислить
Составим таблицу значений функции
, необходимых для приближенного
h=0,1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]