Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Методические рекомендации
.pdf
Пользуемся формулой (18). В рассматриваемом случае
0c, 2d
yx
2
.2
0
2
2
3
2
0
2
ед
y
ydyV
y
6xy
1x, 6x
,6xy
.30
6
5
361
6
1
36
1
6
1
36
36
3
6
1
2
ед
x
dx
x
V
x
)(xfy
)( bxa
)(xfy
],[ bax
l
l
).(xfh
l
y
2
)(xfy
dxyyydldS
2/
122
b
a
dxyyS
2/
12
)(xfy
)( bxa
xy
)0( hx
1/y
0a, hb
.ед2
0
2
2222112
22
2
0 0
2
h
h
x
xdxdxxS
h h
xFF
,
, поэтому
П р и м е р 2. Вычислить объем тела, полученного вра-
щением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
Из уравнения гиперболы
,
(рис.11).
ограничивающей сверху
данную трапецию, находим выражение для у и применяем
формулу (17):
Рис. 11
§ 5. Площадь поверхности вращения
Рассмотрим поверхность, полученную вращением дуги линии
круг оси Ох. Предположим, что функция
сируем значение
, аргументу функции придадим приращение dx, которому соответ-
имеет непрерывную производную. Фик-
ствует «элементарное кольцо» (рис. 12), полученное вращением элементарной дуги
«кольцо» заменим цилиндрическим кольцом – боковой поверхностью тела, образованного
вращением прямоугольника с основанием, равным дифференциалу дуги
Разрезав последнее кольцо и развернув
его, получим полоску ширины
где
.
Следовательно, дифференциал площади по-
верхности выразится формулой
во-
. Это
, и высотой
и длины
,
, (19)
откуда
Рис. 12
. (20)
Формула (20) выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии
вокруг оси Ох.
П р и м е р. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой
Поскольку
вокруг оси Ох.
,
, то по формуле (20) получаем
§ 6. Работа переменной силы
Под действием переменной силы
Ох; направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произ-
материальная точка М движется по прямой
41
водимую силой
xFF
xF
ba,
ax
bx
ba,
],[
1 kkxx
1
kkk
xxx
,,1( nk
,0ax
)bxn
],[
1 kkxx
k
kk
xF )(
k
x
)(kF
n
k
kkn
xFA
1
xFF
ba,
xFF
ba,
n
0
k
x
xFF
ax
bx
b
a
n
k
kk
dxxFxFA
1
0
lim
b
a
dxxFA
, где
нии точки М из положения
Отрезок
разобьем на n элементарных отрезков
- функция, непрерывна на отрезке
в положение
.
длины
, при перемеще-
точку
ти
и образуем произведение
(здесь предполагается, что сила на элементарном пути постоянна и равна
. В каждом элементарном отрезке
, выражающее приближенно работу силы на пу-
ставим сумму всех таких произведений
, (21)
которая выражает приближенно работу силы
на отрезке
Сумма (21) является интегральной суммой для непрерывной функции
резке
из отрезков
ном пути от
. Предел этой интегральной суммы при
, существует и выражает работу переменной силы
до
:
и
,
. (22)
произвольно выберем
.
,где
- длина наибольшего
на прямолиней-
. Со-
на от-
42
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
dxxx sincos
dx
xx
x8414
2
dxxln
dxxx1
3
x
dx
cos53
1
2
1
2
xxy
63
2
1
2
xxy
1
0
x
dx
x
dx
x3ln
dx
xx
x5285
2
dxxx 3sin12
dx
xx8
20
3
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Вариант № 1
.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
.
.
.
.
.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 2
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
.
.
43
.
Задача 5.
xxdxcossin
7
2
1
2
xxy
25
2
1
2
xxy
2
0
x
dx
dxx
xarctg
2
1
dx
xx
x8423
2
dxexx21
dx
xx
x313
dx
x
x
cos1
cos
23
3
1
2
xxy
42
3
2
2
xxy
1
0
p
x
dx
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
.
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 3
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
.
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
.
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
44
dx
x
x
3
sin
cos
dx
xx
x
106
38
2
dxxx 2cos
dx
xxx2
52
3
dxx
x
sin1
sin
362
2
xxy
52 xxy
3
0
2
1x
dx
dxxe
x
2
dx
xx
x5437
2
dxxarctg 2
dx
xxx3
13
3
Задача 1.
Вариант № 4
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
.
.
.
.
.
.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 5
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
.
.
.
45
Задача 5.
xxdxcos7sin48
153
2
xxy
122 xxy
1
0
2
1 x
dx
dxx
x
4
3
2
dx
xx
x
106
109
2
dxxx ln15
dx
xxx
x2258
23
3cossin2 xx
dx
132 xxy
522 xxy
1
x
dx
x
dx
xln
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
.
Вариант № 6
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
.
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
.
.
.
.
Вариант № 7
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
.
46
Задача 2.
dx
xx
x
108
103
2
dxxx 5sin28
dx
xxx
x3327
23
dx
xtg
xtg
1
1
162
2
xxy
12 xxy
1
2
x
dx
dxx
x
2
21
dx
xx
x
178
73
2
dxexx23
dx
xxx4
115
3
dx
x
x
3
cos1
sin
22
3
1
2
xxy
4
3
2
2
xxy
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
.
.
.
.
.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 8
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
.
.
.
.
.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
.
.
47
Задача 7.
1
p
x
dx
dxxx52
4
3
dx
xx
x5225
2
dxxx 3ln
dx
xxx
x333
23
dx
x
x
2
sin1
2sin
352 xxy
123
2
xxy
21 x
dx
xxdxln
dx
xx
x
136
37
2
dxexx782
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 9
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
.
.
.
.
.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
.
Вариант № 10
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
.
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
.
48
Задача 4.
dxxx1
2
3
dx
xx
x
44
sincos
2cos
522 xxy
12 xxy
942xx
dx
dx
x
x
2
cos
sin
dx
xx
x
2910
78
2
dxxx ln
3
dx
xxx3
13
3
dx
xx
x
5sin6sin
cos
2
52
4
1
2
xxy
1
4
3
2
xxy
0
sin dxx
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
.
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Вариант № 11
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
.
.
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
.
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
;
.
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
49
.
dxxx32
3
2
dx
xx
x
136
311
2
dxxx 5cos73
dx
xx1
15
3
xxdxcossin1
23
2
1
2
xxy
3
2
1
2
xxy
2
1
0
ln xx
dx
dxxx3435
dx
xx
x
208
710
2
dxxx 3sin212
dx
xx
x312
Задача 1.
Вариант № 12
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 5.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 6.
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:
.
.
.
.
.
;
Задача 7.
Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
Вариант № 13
Задача 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 2.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 3.
Найти неопределенный интеграл:
Задача 4.
.
.
.
.
Найти неопределенный интеграл:
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]