подынтегральной функции является производной

то

то

′

( ) = ( )

знаменателя,

первообразная

является

логарифмом знаменателя, т. е. если

,

( )

= | ( )| + .

Пример 2.3.

( )

2

1

=

5 + .

Пример 2.4.

5

5

( 2 )

2

1

2

= −

2

2

=

1

| 2 | + .

= −

2

∙ = (

∙ ) − ∙

.

Интегрируя обе части

последнего

равенства,

или

∙ = ( ∙ ) − ∙

получим

∙ = ∙

− ∙ .

(2.1)

Формула (2.1)

носит название

формулы

частям

состоит

∙

в том, что подынтегральное

такую функцию,

представляется

в

( )

выражение

виде

произведения ( )

, выбирая в качестве

интеграл

дифференциал которой упрощает

интеграл правой части (2.1). Аналогично –

выражение

интегрированием также упрощает

правой части.

Во

всяком

случае, если

подынтегральное

, то за ( )

принимают

,

и

многочлена

на функции вида

,

выражение

является

произведением

многочлен

( )

Пример 2.5.

( 2

−3) ∙ 2

=

=

= 2

−3 ;

= 2

=

=

2

;

=

1

2

2

= (

2

−3)

1

1

∙

2

2

−

2

2

∙2

=

=

;

=

= = 2

;

= −

1

2 =

2

1

=

12

( 2 −

3) ∙ 2

–

1

1

−

−

2

∙

2

+

2

2

=

=

(

2

−3) 2

+

2

−

1

2 + .

2

2

4

одну

из

21

Если подынтегральное выражение включает

трансцендентных

функций

,

,

,

, то их надо

принимать за , так как производные от них более

простые функции.

Пример 2.6.

2 ∙

=

=

;

=

=

1 + 2

2

=

= 2

;

= 2

2

=

2

= ∙

2

−

2

=

1 + 2

=

2

−

1 + 2

− 1

=

1 + 2

=

2

− +

=

1 +

2

= 2

− + + .