с инета для метод

2.4.11. Шар радиуса R заряжен с объёмной плотностью заряда ρ(r) = αr (где r – расстояние от центра шара, а α – известная постоянная) и поверхностной плотностью заряда σ0. Найти распределение потенциала во всём пространстве.

2.4.12. Заряд с объёмной плотностью ρ = 3 мкКл/м3 равномерно распределен внутри сферического слоя, ограниченного сферическими поверхностями с радиусами R1 = 3 см и R2 = 5 см. Найти раз-

2.4.13. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен так, что объемная плотность заряда ρ убывает по линейному закону в зависимости от r, причем ρ(R) = 0, а полный заряд на единицу длины цилиндра равен Q. Определить модуль напряженности электрического поля Е в точках r1 = R/3 и r2 = (3/2)R и разность потенциалов Δφ12.

Литература к главе 2

1.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21 век, 2005, §§14, 15.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. –М.: Физматлит, 2006, §§ 17 – 20.

3.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003, §§ 16–25, 37.

4.Тамм И.Е. Основы теории электричества. –М.: Физматлит, 2003, §§7, 8, 11, 12, 15, 16.

Глава 3

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ

§ 3.1. Теоретический материал

Проводники – это материальные тела, в которых при наличии внешнего электрического поля возникает направленное движение зарядов, т.е. электрический ток. В проводнике электрические заряды могут перемещаться внутри тела на макроскопические расстояния (такие заряды называются свободными).

Внутри проводника при электростатическом равновесии электрическое поле отсутствует (Е = 0), следовательно и div Е = 0. Это означает, что в любом физически бесконечно малом объеме проводника содержится одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов, так что суммарная объемная плотность заряда ρ равна нулю (см. (1.11) глава 1).

Если проводник заряжен или находится во внешнем электростатическом поле, то электрические заряды располагаются на его внешней поверхности и распределены с такой поверхностной плотностью σ, которая обеспечивает равенство нулю напряженности поля внутри проводника.

Электростатическая индукция – явление перераспределения зарядов на поверхности проводника при его помещении во внешнее электрическое поле. В любом статическом поле поверхностные заряды распределяются так, чтобы внутри проводника сохранялись условия E = 0 и ρ = 0.

Снаружи проводника вблизи его поверхности вектор напряженности поля Е в каждой точке направлен по нормали к поверхности, а его модуль равен

Весь объем проводника в условиях равновесия является одной эквипотенциальной областью – в любой точке проводника потенциал один и тот же (он называется потенциалом проводника).

Заземление – соединение данного проводника с очень большим проводником, потенциал которого можно считать неизменным

при переходе заряда от него на данный проводник. В качестве такого большого проводника обычно подразумевается Земля. Обычно потенциал заземленного проводника принимается равным нулю.

Потенциал φ уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду Q:

Q=Cϕ. (3.2)

Коэффициент пропорциональности С между зарядом проводника и его потенциалом называется емкостью проводника. При изменении заряда проводника на Q его потенциал изменяется на величину

Δφ = Q .

C

В системе единиц СИ электроемкость измеряется в фарадах

[Ф].

Емкость проводника зависит только от его формы и размеров (в вакууме). В частности, емкость уединенного шара радиуса R равна С = 4πε0R.

Если имеются N проводников, то потенциал каждого из них является однородной линейной функцией зарядов всех проводников, включая его самого:

j=1

Например, для двух проводников, несущих заряды Q1 и Q2,

их потенциалы равны

Величины αij называются потенциальными коэффициентами. Они симметричны относительно своих индексов (αij = αji при i ≠ j) и положительны.

Решая систему (3.3) относительно зарядов Qi, находим

j=1

Величины Cij называются емкостными коэффициентами. Все емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами i = j положительны; все емкостные коэффициенты с разными индексами либо отрицательны, либо равны нулю.

Система двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами, называется конденсатором. В этом случае проводники называются обкладками конденсатора, а модуль заряда на обкладке называется зарядом конденсатора. В конденсаторе все силовые линии,

начинающиеся на положительно заряженной обкладке, заканчиваются на отрицательно заряженной обкладке. В технике конденсаторы конструируются так, чтобы все электрическое поле было в максимальной степени сконцентрировано в области между обкладками, а краевые эффекты были бы минимальны. Это достигается выбором геометрии обкладок – например, это плоские пластины, или скрученные в рулон проводящие ленты, разделенные очень тонким диэлектрическим промежутком.

Емкостью конденсатора С называется положительная величина, коэффициент пропорциональности между величиной заряда конденсатора Q и абсолютным значением разности потенциалов между обкладками

где r1 и r2 – радиусы внутренней и внешней обкладок, h – длина цилиндров (h >> r2 – r1);

где r1 и r2 – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе, равна

22C 2

При параллельном включении конденсаторов их емкости складываются:

при последовательном включении конденсаторов складываются обратные величины их емкостей:

CC1 C2

Метод изображений (или метод зеркальных отображений) –

способ рассуждений, позволяющий в некоторых случаях получить очень простые решения для поля зарядов, распределенных по поверхности проводников. Метод основывается на теореме единственности в электростатике и состоит в подборе таких дополнительных фиктивных зарядов – "изображений", которые вместе с заданными зарядами создавали бы поле, у которого одна из эквипотенциальных поверхностей совпала бы с поверхностью данного проводника. В области вне проводника поле фиктивных зарядов полностью моделирует поле, создаваемое поверхностными зарядами, расположенными на проводнике, так что поле вне проводника полностью совпадает с полем исходной системы.

В курсе общей физики обычно рассматриваются два случая, о которых говорится ниже.

Точечный заряд q около проводящей плоскости

ϕ=0

Из левого рисунка видно, что поле двух противоположных по знаку, но одинаковых по величине зарядов имеет плоскую эквипотенциальную поверхность с потенциалом ϕ = 0 (пунктир) посередине между зарядами. Если поместить на нее проводящую плоскость, то поле не изменится, и мы получим показанную справа

нужную нам систему, а фиктивный заряд q' будет зеркальным отображением заданного заряда q.

Точечный заряд q около проводящей сферы (шара)

Среди эквипотенциальных поверхностей системы двух противоположных по знаку и неравных по величине зарядов q и q′ существует одна сферическая поверхность, потенциал которой ϕ = 0 (см. задачу 2.3.16 главы 2). Это позволяет легко решить данную задачу.

b

Пусть имеется проводящая заземленная сфера (или шар) радиуса r (потенциал равен нулю) и заряд q на расстоянии b > r от ее центра. Чтобы обеспечить совпадение эквипотенциальной поверхности ϕ = 0 с заданной сферой, нужно поместить дополнительный фиктивный заряд-изображение величиной q′ = −qrb на расстоя-

нии a = r2b от центра сферы на прямой, проведенной через заряд q и центр сферы О. Поле этих двух зарядов вне сферы (и только вне сферы) полностью совпадет с исходным полем, создаваемым зарядом q и поверхностными зарядами на сфере. Поле внутри сферы при этом равно нулю Доказательство данного результата можно найти, например в [1], §16.

Разумеется, задача может быть обращена. Если внутри заземленной сферы находится на расстоянии а от центра заряд q′, то поле внутри сферы совпадет с полем системы двух зарядов: q′ и заряда – "изображения" q = −bq′ r , расположенного на расстоянии

b = r2a в соответствии с тем же рисунком.

на поверхности шара за счет электростатической индукции. Но потенциал всего шара одинаков, поэтому найдем его в самой удобной точке – в центре. Потенциал создается зарядом q и индуцированными на поверхности шара зарядами. В центре шара вклад заряда q

равен k q , вклад индукционных зарядов равен нулю, так как все d

эти заряды находятся на одинаковом расстоянии R от центра шара, а их сумма равна нулю, поскольку в целом шар не заряжен. Потен-

циал шара равен потенциалу его центра, т.е. φ0 = k q . d

Ответ: φ0 = k q . d

Замечание. Отметим, что если бы шар имел заряд Q, то от этого

заряда добавился бы вклад в потенциал φ1 = k Q и потенциал шара

R

Задача 3.3.2 (базовая задача). Проводящая сфера радиуса R, на которой находится заряд Q, имеет малое отверстие. Как будет меняться потенциал сферы, если точечный заряд q перемещать из бесконечности через отверстие внутрь неё?

Решение

Вклад собственного заряда Q в потенциал сферы постоянен и

равен k Q . Для случая, когда заряд q находится вне сферы на рас-

R

стоянии r > R от ее центра, ее потенциал определен в задаче 3.3.1 и равен

Как только заряд окажется внутри сферы, на внутренней поверхности сферы возникнет индукционный заряд –q (распределённый неравномерно), а на внешней поверхности сферы – равномерно распределенный заряд +q, и потенциал сферы станет равным

q + Q k .

R

Потенциал при дальнейшем движении заряда q внутри сферы изменяться не будет. Это следует из того, что независимо от положения заряда q внутри сферы поле вне сферы остаётся постоянным и не зависит от перемещения заряда внутри сферы. В этом случае работа по перемещению пробного заряда из бесконечности на поверхность сферы, а, следовательно, и потенциал сферы, будут постоянными.

Задача 3.3.3. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра О незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R1 и R2. Найти потенциал φ0 в точке О, если r < R1.

сти слоя с радиусом R1, и от заряда q,

расположенного от центра на расстоянии r. Так как все индуцированные заряды на внутренней поверхности расположены от центра на одинаковом расстоянии R1, то их вклад в потенциал будет

− k q , вклад от зарядов на внешней поверхности + k q . В итоге

Задачи типа 3.2

Определение распределения потенциала в пространстве, в котором расположена система из нескольких проводников, для которых заданы величины их зарядов или значения потенциалов

Метод решения. Использование формул для определения потенциала и условия его непрерывности. Если в задаче распределение электростатического поля обладает элементами симметрии, то, пользуясь теоремой Гаусса, можно найти напряженность поля в изучаемом пространстве, а затем путём интегрирования рассчитать потенциал в заданной точке.

Задача 3.3.4 (базовая задача). Металлический шар радиуса

R1, на котором находится положительный заряд q, окружен расположенным концентрически незаряженным металлическим шаровым слоем с внутренним радиусом R2 и внешним R3. Построить графики зависимости напряженности поля Е и потенциала φ от расстояния до центра шара.

Решение

Напряженность поля находим по теореме Гаусса, используя в качестве вспомогательных поверхностей Гаусса концентрические сферы с переменным радиусом r.

За счет электростатической индукции на внутренней поверхности слоя радиуса R2 появится заряд (–q) (все силовые линии заряда q должны закончиться на отрицательных зарядах). Из закона сохранения заряда следует, что на внешней поверхности слоя радиуса R3 должен появиться заряд +q. По теореме Гаусса находим

напряженность электрического поля:

График зависимости Е(r) изображен на рис. 3.3а. Отметим, что на тех поверхностях, где есть индуцированные заряды, напряженность не определена (испытывает скачок). Физический смысл скачка напряженности на заряженной поверхности обсуждался в задаче 1.3.8. главы 1.