Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

с инета для метод

.pdf
Скачиваний:
1529
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
5.91 Mб
Скачать
☆

Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме

221

ми индукция магнитного поля вдвое больше индукции магнитного поля одной плоскости, т.е. по модулю равна B = 0i . Отсюда находим

i = B .

0

Ответ: Направления токов, текущих по плоскостям взаимно противоположны, их поверхностные плотности одинаковы по модулю и равны i = B 0 .

Задача 7.3.9 (базовая задача). Найти индукцию магнитного поля внутри бесконечного соленоида с плотностью намотки n витков на метр, по которому течет ток силой I.

Решение

В случае плотной намотки магнитное поле внутри длинного соленоида близко к однородному, за исключением точек непосредственно вблизи витков обмотки. Поле снаружи длинного соленоида вдали от его торцов можно считать близким к нулю.

Проведем через точку, в

l

которой надо найти индукцию

 

магнитного поля прямоуголь-

 

ный контур так, чтобы его

B

сторона длины l была парал-

 

лельна линии В, а противопо-

 

ложная сторона была вне со-

 

леноида. Запишем теорему о

Рис. 7.9. К нахождению магнитного поля

циркуляции вектора В (7.9).

внутри длинного соленоида (задача 7.3.9)

Пусть ток в витках направлен

 

из плоскости чертежа к нам. Плоскость контура пересекают nl витков, полная величина тока через выбранный контур равна Inl. При расчете циркуляции выберем направление обхода против часовой стрелки, для которого этот ток будет положительным по правилу правого винта. Поскольку вне соленоида поле можно считать равным нулю, циркуляция по данному контуру равна Bl, откуда следует Bl = 0Inl, или B = 0In.

Ответ: B = 0In.

Задача 7.3.10 (базовая задача). По стенке бесконечной тонкостенной цилиндрической трубы радиуса R параллельно её оси течет

222

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ток I. Найти величину индукции магнитного поля внутри и вне трубы в зависимости от расстояния до её оси.

Решение

В силу симметрии рассматриваемой системы силовые линии создаваемого ей магнитного поля являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны оси трубы. Для вычисления В(r) удобно воспользоваться теоремой о циркуляции.

1) Найдем индукцию магнитного поля внутри трубы в точке, находящейся на расстоянии r от ее оси (r < R). Для этого выберем в качестве контура L окружность, центр которой лежит на оси трубы, а радиус равен r (рис. 7.10a). Тогда вектор B в каждой точке этого контура направлен по касательной к нему, а величина индукции не изменяется вдоль всего контура. Однако выбранный нами контур не охватывает ток, т.е.

 

 

 

∫Bdl = B 2πr

2πrB = 0,

L

 

I = 0

 

 

 

 

т.е. магнитное поле внутри цилиндра в любой точке отсутствует.

а

б

 

Рис. 7.10. К определению индукции магнитного поля внутри (а) и снаружи (б) тонкостенной трубы (задача 7.3.10)

2) Найдем теперь индукцию магнитного поля снаружи трубы в точке, находящейся на расстоянии r от ее оси (r > R). Проведя рассуждения аналогично пункту 1) получим, что выбранная нами в качестве контура окружность радиуса r охватывает весь ток I, текущий по трубе, независимо от своего радиуса (рис. 7.10б). Получим:

∫Bdl

L

I = I

= B 2πr

 

 

2πrB = 0I .

 

 

 

 

 

Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме

223

Отсюда B =

µ0I

.

 

 

 

 

 

2πr

 

 

 

B = 0,

 

при r < R,

 

Ответ:

µ

 

 

I

 

B =

 

0

 

, при r > R,

 

 

 

 

 

 

 

2πr

 

Замечание 1. Этот ответ совпадает с ответом задачи 7.3.1, полученным для бесконечно длинного провода с током (замечание 2 к задаче 7.3.1), однако данное решение задачи гораздо проще, что делает этот способ решения предпочтительным.

Замечание 2. При r = R (поверхность трубы) индукция магнитного поля в такой системе испытывает скачок. Величина индукции на поверхности трубы не определена (в рамках рассматриваемой модели бесконечно тонких стенок трубы ток следует рассматривать как поверхностный).

Задача 7.3.11. По однородному сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток I, который равномерно распределен по сечению. Найти величину индукции магнитного поля внутри и вне проводника в зависимости от расстояния до оси. Магнитные свойства материала не учитывать.

Решение

Данный проводник с током представляет собой бесконечную систему с аксиальной симметрией. Линии индукции магнитного поля такой системы являются окружностями с центром на оси проводника, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси проводника.

1) Найдем величину индукции магнитного поля внутри проводника с током в точке, находящейся на расстоянии r от его оси (r < R, рис. 7.11а). Аналогично решению базовой задачи 7.3.10, из (7.9) получаем

 

 

 

 

 

∫Bdl = B 2πr

2πrB = µ0πr2 j ,

L

 

 

 

I = πr

2

j

 

 

 

 

 

I I

где j = S = πR2 – модуль объёмной плотности тока, текущего через проводник. Окончательно имеем:

224

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

B =

µ0 I

r .

 

2πR2

 

 

 

Таким образом, при r < R величина индукции магнитного поля сплошного проводника, плотность тока в котором постоянна, линейно зависит от расстояния от оси проводника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

б

Рис. 7.11. К определению индукции магнитного поля внутри (а) и снаружи (б) сплошного цилиндрического проводника (задача 7.3.11)

2)Найдем величину индукции магнитного поля снаружи трубы

вточке, находящейся на расстоянии r от ее оси (r > R, рис. 7.11б).

Аналогично пункту 2) базовой задачи 7.3.10 получим B = µ0I . 2πr

 

µ

0

I

 

 

B =

 

 

 

 

r,

r < R;

2πR

2

 

 

 

 

Ответ:

µ0 I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

 

 

 

 

,

 

r ≥ R.

2πr

 

 

 

 

 

Замечание 1. В точке r = R функция B(r) непрерывна, её значе-

ние максимально и равно B = µ0 I . 2πR

Замечание 2. Зависимость модуля индукции магнитного поля, создаваемого объемным током постоянной плотности в цилиндрическом бесконечном проводнике, от расстояния до оси проводника аналогична зависимости напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным по объёму бесконечным цилиндром.

Задача 7.3.12. Проводник из немагнитного материала имеет в сечении сложную конфигурацию и представляет собой суперпозицию двух бесконечно длинных прямолинейных цилиндрических проводников, в области пересечения которых имеется полость П

Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме

225

(см. рис. 7.12а).

В правой и левой части проводника текут в противоположных направлениях токи с одной и той же по модулю объёмной плотностью j. Найти величину и направление индукции магнитного поля в полости. Расстояние между осями цилиндрических составляющих проводника АС = d.

Решение

Рассмотрим систему из двух сплошных цилиндров А и С, в которых токи текут равномерно во всем объёме. Тогда в области перекрытия цилиндров (полость П на рис. 7.12а) тока не будет – таким образом, сконструированная нами система в отношении пространственного распределения тока идентична системе, представленной в условии задачи.

Рассмотрим произвольную точку М, находящуюся внутри области перекрытия токов (см. рис. 7.11б). Согласно решению базовой задачи 7.3.11, величина индукции магнитного поля, созданного в этой точке цилиндром А, определяется соот-

ношением B

=

0 j

r

и на-

 

1

 

2 AM

 

а

б

Рис. 7.12. Проводник сложной конфигурации с полостью П и распределение в нём объёмных токов (а) и определение

индукции магнитного поля в полости (б)

(к задаче 7.3.12)

правлена перпендикулярно вектору rAM. Аналогично, величина индукции магнитного поля, созданного в этой точке цилиндром С,

определяется соотношением B

= 0 j r и направлена перпенди-

2

2 CM

кулярно вектору rСM. В векторном виде индукции магнитных полей цилиндров в точке М можно записать в виде

B

 

=

0 j

[l r

], B

 

=

0 j

[l r ],

 

 

 

 

 

1

 

2 1 AM

 

2

 

2 2 BM

где векторы l1 и l2 – единичные векторы, сонаправленные с токами в

226

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

проводниках А и С соответственно, т. е. l1 = – l2. Используя принцип суперпозиции, получим

B

 

= B + B

 

= µ0 j ([l r ] + [l r ])= µ0 j [l

(r − r

)]=

 

M

1

2

2 1 AM

2 BM

2 1

AM BM

= µ0 j [l1AC].

2 Таким образом, магнитное поле в полости П однородно. Ин-

дукция этого поля равна B = µ0 j d и направлена в плоскости ри- 2

сунка перпендикулярно линии, соединяющей оси проводников А и С.

Ответ: вектор B AC и равен по модулю B = µ0 j d . 2

Задачи типа 7.3

Определение индукции магнитостатического поля, созданного заданным распределением магнитных диполей.

Метод решения. Определение индукции магнитного поля, созданного заданной системой магнитных диполей, является одной из важнейших задач магнитостатики. Особое значение эта задача приобретает в разделе «Магнитостатика магнетиков», так как магнитный момент является основной величиной, характеризующей магнитные свойства вещества. Для замкнутых линейных токов на большом расстоянии от них поле аналогично полю диполя, поэтому решение задачи значительно упрощается при использовании дипольного описания.

Задача 7.3.13 (базовая задача). Точечный магнитный диполь с моментом pm, направленным вдоль оси OY, расположен в начале декартовой системы координат (рис. 7.13). Определить величину индукции магнитного поля в точке М с координатами (х, y).

Рис. 7.13. Ориентация магнитного диполя pm относительно декартовой системы координат (задача 7.3.13)

Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме

227

Решение

Согласно соотношению (7.20) вектор индукции магнитного поля в точке, определяемой радиус-вектором r, равен

B =

µ

0

 

3(p

m

r)r

−

p

m

 

 

 

 

 

 

.

 

 

r5

 

 

 

4π

 

r

3

Определим проекцию вектора В на ось Х. Так как магнитный момент диполя перпендикулярен этой оси, то

p

m

 

= 0 , B

 

=

µ

 

 

 

 

3(p

 

r)r

=

µ

 

 

3p

 

rcosϑrsinϑ

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

m

 

 

 

0

 

 

 

m

 

 

.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

3 x

 

 

4π

 

r5

x

 

 

4π

 

 

 

r5

 

Здесь ϑ – угол между векторами pm и r, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosϑ =

;

sinϑ =

;

 

r =

 

x2 + y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем B

 

=

µ0

 

 

 

3pm xy

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4π (x2 + y2 )5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично имеем для компоненты магнитного поля, параллельной оси Y:

By =

µ

 

3(p r)r

−

p

3

 

=

µ

3p

 

r2 cos2 ϑ

−

p

3

 

=

 

0

 

 

5

 

 

0

 

m

 

5

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

4π

r

 

 

r

 

y

 

4π

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

µ

0

 

pm (2y2 − x2 )

.

 

 

 

 

 

 

 

4π

(x2 + y2 )5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

(2y2 + x2 )2 + x2 y2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

0

 

 

B =

 

Bx

+ By

=

 

pm

 

 

.

 

4π

(x2 + y2 )5 2

Ответ: B =

µ0

p

 

(2y2 + x2 )2 + x2 y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

(x2 + y2 )5 2

 

 

4π

 

 

 

Замечание. Эту задачу удобно решать в сферической системе координат аналогично задаче 1.3.23 главы 1 (определение напряжённости поля точечного электрического диполя). В этом случае положение точки М определяется длиной радиус-вектора r и полярным углом ϑ, а величина магнитной индукции поля диполя в

 

µ0

 

pm

 

 

 

этой точке может быть представлена как B =

 

 

3cos2 ϑ +1 .

4π r3

 

 

 

 

228 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 7.3.14. Два точечных магнитных диполя с равными по

величине моментами

pm

=

pm

=

 

pm

 

находятся на некотором

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расстоянии друг от друга. Их магнитные моменты лежат в одной плоскости и ориентированы взаимно перпендикулярно. При какой ориентации магнитных моментов относительно соединяющей их прямой индукция магнитного поля в точке О, расположенной посередине между диполями, будет минимальной и максимальной?

Решение

Пусть расстояние между диполями равно 2а. В выбранной системе отсчета (см. рис. 7.14) компоненты индукции магнитного поля, созданного левым и правым магнитными моментами в точке О согласно соотношению (7.20) соответственно равны:

Левый диполь pm1 :

Y

Pm1

θ

Pm2

θ +π/2

 

 

O

 

 

 

B1

X

 

 

B2

 

 

 

B

 

Рис. 7.14. Определение индукции магнитного поля от двух взаимно перпендикулярных магнитных диполей (задача 7.3.14)

 

B1x

=

µ

 

3p

 

a2 cosθ

−

p cosθ

=

µ

 

 

p cosθ

;

 

 

 

0

 

m

 

 

5

 

 

 

m

 

3

 

 

0

 

m

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

2π

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

=

µ0

 

pm sinθ

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1y

 

 

4π

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правый диполь pm2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

= µ0

pm cos(θ + π 2)

=

−

µ0

 

pm sinθ

 

;

 

B

 

 

= −

µ0

 

pm cosθ

.

 

2π a3

 

 

 

 

 

2 x

2π

 

 

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

 

4π a3

Согласно принципу суперпозиции для величины индукции магнитного поля получим:

 

 

 

 

B(θ) = µ0

pm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(B

+ B

 

)2 + (B

+ B

 

)2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π a3

 

 

 

 

1x

 

 

2x

1y

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ0

 

pm

 

 

 

 

 

 

 

 

µ0

 

pm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

4(cosθ − sinθ)2

+ (cosθ + sinθ)2

=

 

 

5 − 3sin2θ .

4π a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π a3

 

 

 

 

 

Исследование этой функции на экстремум дает:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

5π

 

 

 

B = µ0

 

 

 

 

 

Минимум: при θ

 

 

=

,

 

 

 

 

pm 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

4

 

4

 

 

 

 

min

4π

 

 

Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме

 

 

 

229

 

3π

 

7π

 

 

 

B = Bmax= µ0

 

 

 

 

 

 

Максимум: при θmax =

,

 

 

 

pm 2 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 4

 

 

 

4π

 

a3

Ответ: B(0) = Bmin при θ =

π

,

5π

; B(0) = Bmax при θ =

3π

,

7π

.

 

 

 

 

4

4

 

 

 

4

4

 

 

 

 

Замечание. В сферической системе координат аналогичная задача для электрического диполя решена в главе 1 (задача 1.3.24).

Задача 7.3.15. Непроводящая сфера радиуса R, равномерно заряженная по поверхности с плотностью заряда σ, вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через её центр. Определить магнитный момент такой системы.

Решение

 

 

 

 

Согласно

определению (7.18)

 

магнитный момент поверхностного

 

тока можно рассчитать по формуле

 

pm

=

1

∫[ri]dS .

 

 

 

 

2

S

 

 

 

 

 

Так как сфера вращается с по-

 

стоянной угловой скоростью, то по-

 

верхностная плотность тока опреде-

 

ляется соотношением (§6.1 глава 6)

 

i = σv = σ[ω x]

 

(см. рис. 7.15). Таким образом, век-

Рис.7.15. К определению магнит-

тор плотности тока направлен по ка-

ного момента вращающейся за-

сательной к поверхности сферы в

ряженной сферы (задача 7.3.15)

каждой точке, а его величина опре-

 

деляется как i = σωRsinθ . Учитывая, что в данной задаче r = R, получим

p

 

= σ

 

R[ωx] dS = σ

∫

(ω(Rx) − x(Rω))dS =

 

m

2

∫

 

2

 

 

 

 

 

S

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

= σ

∫ω(Rx)dS − σ

∫x(Rω)dS .

 

 

 

 

2

S

 

 

2

S

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу симметрии задачи второй интеграл в этом выражении

230 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

равен 0. Угол между векторами R и x в любой точке сферы равен α = 90°– θ. Учитывая, что dS = 2πxR dθ , x = Rsinθ , получим

(pm )z

= σ

π

 

 

 

π

4

 

∫ω( Rsinθ )sinθ 2πR2sinθdθ = σR4ωπ∫sin3θdθ =

πσR4ω ,

3

 

2

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

или в векторной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

pm =

(4πR2σ) R2

ω =

1

QR2ω,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

где Q = 4πR2σ – заряд сферы.

Ответ: pm = 4 πR4σω . 3

Замечание. Если рассмотреть вращающуюся заряженную сферу как суперпозицию плоских витков с током, каждый из которых имеет магнитный момент dpm, то магнитное поле сферы можно вычислить, как суперпозицию магнитных полей, создаваемых всеми магнитными моментами. В соответствии с формулой (7.21) магнит-

ное поле диполя на его оси равно

B =

µ0

 

2pm

, тогда индукцию

4π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

магнитного поля в центре сферы можно вычислить как

 

µ0

∫

2dpm

 

µ0 pm

µ0 4

 

 

 

4

 

 

2

 

 

B =

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

πR

 

σω =

 

µ0

σ Rω ,

4π

R3

2π

R3

2πR3

3

 

3

что соответствует ответу задачи 7.3.6.

Задачи типа 7.4

Определение индукции магнитного поля с использованием векторного магнитного потенциала (эквивалентные плоские электростатические и магнитостатические задачи).

Метод решения. Если записать дифференциальное уравнение магнитного поля стационарного тока в вакууме (7.10) rotB = µ0j и

учесть, что векторный магнитный потенциал связан с индукцией магнитного поля соотношением B = rot A, то с учетом условия калибровки векторного потенциала (7.14) получим

2A = −µ0j.

Это уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:

2 Ax = −µ0 jx , 2 Ay = −µ0 jy , 2 Az = −µ0 jz ,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности