Гл. 12. Цепи переменного тока |
|
|
|
431 |
ЭДС. Согласно (12.16), мощность второго источника равна |
1 |
|
ˆ |
ˆ* |
1 |
|
P2 = |
2 |
|
Re(U |
2I2 ) = − |
2 |
ωCE10E20 . |
Мощность первого источника Р1 можно найти из закона сохранения энергии
P1 + P2 = PR = 1 (ωCE10 )2 R , 2
откуда следует
P1 = PR − P2 = 1 ωC[E10E20 + ωCE102 R].
2 Средняя мощность Р2 получилось отрицательной, поскольку при
заданных фазовом сдвиге источников ЭДС направление тока через второй источник противоположно знаку его ЭДС за счет работы первого источника, мощность которого всегда положительна.
Мощность первого источника Р1 можно определить и непосредственно, найдя ток Î1 из второго уравнения приведенной выше системы:
|
Iˆ1 |
|
|
1 |
|
|
|
= ωC E20 |
+ ωCE10 (R + |
|
) |
, |
|
iωC |
|
|
|
|
|
|
1= 1 Re(Eˆ1Iˆ1* ) = 1 ωC[E10E20 + ωCE102 R].
2 2
§12.4 Задачи для самостоятельного решенияP
Задача 12.4.1. Резистор (сопротивление R = 100 Ом) и катушка индуктивности (L = 0,318 Гн) соединены последовательно и включены в цепь переменного тока (эффективное напряжение Uэ =120 В, частота ν =50 Гц). Определить зависимость от времени тока в цепи I(t) и напряжений на индуктивности UL(t) и резисторе UR(t).
Ответ: UR(t) = 120 cos(314t – π/4) (В),
UL(t) = 120 cos(314t + π/4) (В),
I(t) = 1,2 cos(314t – π/4) (А).
Задача 12.4.2. Определить полное сопротивление цепи Z0 и тангенс сдвига фаз tgφ между напряжением источника переменного
432 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
тока (частота ω) и полным током в цепи, если резистор R и катушка индуктивности L подключены к источнику параллельно.
|
Ответ: Z0 = |
|
R |
|
, tg φ = + ωL ; |
|
|
|
|
|
1+ tg2ϕ |
|
|
|
R |
Задача 12.4.3. Катушка с сопротивлением 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Определить индуктивность катушки, если известно, что сдвиг фаз между током и напряжением равен 60°.
Ответ: L = 0,055 Гн.
Задача 12.4.4. Индуктивность L = 0,0184 Гн и резистор R соединены параллельно и включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найти величину R, если известно, что сдвиг фаз между током и напряжением равен 600.
Ответ: R = 10 Ом.
Задача 12.4.5. Конденсатор с емкостью 1 мкФ и резистор с сопротивлением 1000 Ом включены в цепь переменного тока (частота 50 Гц). Найти полное сопротивление цепи, если конденсатор и резистор включены:
1) последовательно; 2) параллельно.
Ответ: 1) Z0 = 3340 Ом; 2) Z0 = 954 Ом.
Задача 12.4.6. Имеются две цепи. В первой генератор переменного напряжения, индуктивность L и резистор R соединены последовательно. Во второй – источник переменного напряжения с той же частотой, конденсатор (емкость – С) и резистор R соединены параллельно. При каком соотношении между L, C и R сдвиг фаз между током и напряжением генератора в обоих случаях будет одинаков по абсолютной величине?
Ответ: L = CR2.
Задача 12.4.7. Источник переменного напряжения (E(t)= E0 cosωt, E0 = 200 В), конденсатор и резистор (R = 50 Ом) соединены в последовательную цепь. Определить разность фаз между током и напряжением источника, если амплитуда тока в цепи равна 2 А.
Ответ: Ток отстает на угол φ = 600.
Гл. 12. Цепи переменного тока |
433 |
Задача 12.4.8. Резистор R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока с эффективным напряжением E = 400 В и частотой ν = 50 Гц.
Найти сопротивление R и индуктивность L, если известно, что мощность Р, поглощаемая в этой цепи, равна 400 Вт. Сдвиг фаз между током и ЭДС источника равен 450.
Ответ: 1) R = |
E2 |
R |
|
|
= 400 Ом. 2) L = |
|
= 1,27 Гн. |
|
2πν tg ϕ |
|
P |
|
Задача 12.4.9. В цепь переменного тока с эффективным напряжением E = 200 В и частотой 50 Гц включена катушка, обладающая как индуктивностью, так и активным сопротивлением. Сдвиг фаз между током и напряжением равен 150. Определить индуктивность катушки, если известно, что она поглощает мощность Р = 400 Вт.
E2
Ответ: L = 2ωP sin2ϕ = 0,08 Гн.
Задача 12.4.10. Последовательный RLC контур (R = 100 Ом, L = 1 Гн, C = 1 мкФ) подключён к генератору переменного напряжения (частота ν = 50 Гц). Найти сдвиг фаз между током и напряжением на концах всей цепи.
Ответ: ϕ = 88 . Ток опережает по фазе напряжение.
Задача 12.4.11. В последовательный контур включён генератор переменного напряжения с амплитудой 1,5 В. Амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе равна 30 В. Определить добротность контура.
Ответ: Q = 20.
Задача 12.4.12. Определить добротность Q последовательного rLC контура (r = 10 Ом, C = 1000 пФ), если его резонансная частота νр = 159,2 кГц.
1
Ответ: Q = 2πνpRC = 100 .
434 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача 12.4.13. Определить ёмкость С, которую надо включить последовательно с катушкой (активное сопротивление r = 10 Ом, индуктивность L = 3,185 мГн), для того, чтобы цепь была настроена в резонанс при частоте ν0 = 50 кГц. Найти добротность контура Q и напряжение на конденсаторе UС при резонансе, если к контуру приложено напряжение с амплитудой Е0 = 1 В.
Ответ: C = 3185 пФ, Q = 100, UС = 100 В.
Задача 12.4.14. В последовательном rLC контуре при частоте генератора ω1 и ω2 (ω2 > ω1) амплитуды силы тока оказались равными и в n раз меньше амплитуды тока при резонансе. Найти добротность Q этого контура.
|
|
|
ω1ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Q = |
|
n2 −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω − ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.4.15. Схема цепи, в кото- |
E(t) |
|
I |
C |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рой может наблюдаться резонанс токов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлена |
|
на |
рис. 12.15. |
Здесь |
|
|
|
I1 |
|
|
r |
r |
|
|
I2 |
|
E(t) = E0 cos ωt, E0 = 100 В. Параметры это- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12.15. Электрическая |
|
го параллельного |
|
контура |
равны: |
|
r = 5 Ом, L = 100 мкГн, С = 100 пФ. |
|
|
схема цепи к задаче 12.4.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Найти резонансную частоту Ω p , добротность Q и полное |
|
сопротивление Z0 при резонансе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Рассчитать амплитуды токов I, I1, I2 при резонансе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) Ω |
|
≈ ω = |
|
1 |
|
=107 |
рад |
; |
|
|
|
Q = |
1 |
|
|
|
|
|
L |
= 100 ; |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
LC |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
2r |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
0 |
= 2rQ2 = 105 Ом . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.4.16. 1) Покажите, что ток I в цепи, изображённой на рис. 12.16, не зависит от частоты ω, если R, L и С подобраны так, что RC = L/R. E(t) = E0 cos ωt.
2). Какова разность фаз ϕ между напряжением на конденсаторе UC и E(t)
R C 
E(t) ~
R 
L
Рис. 12.16. Схема RLC-цепи к задаче 12.4.16
Гл. 12. Цепи переменного тока |
435 |
при RC = L/R ?
Ответ: tg φ = –ωRC = –ωL/R. UC отстает от E(t).
Задача 12.4.17. Сдвиг фаз между напряжением E(t) генератора переменного напряжения и напряжением UAB равен 90° (рис. 12.17).
1)При каких значениях R, L, ω это возможно?
2)Чему при этом будет равно отношение амплитуд UAB и E?
Ответ: 1) R = ωL; 2) E/UAB = 3.
Рис. 12.17. Электрическая схема цепи к задаче 12.4.17
Задача 12.4.18. |
В |
схеме, |
изображённой |
на рис. 12.18, сдвиг фаз |
между ЭДС |
источника |
|
переменного |
напряжения (E= E0 cos ωt) и током через него равен нулю. Определить частоту колебаний ω.
|
2 |
|
1 |
L |
|
Ответ: ω |
|
= |
|
|
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
LC CR2 |
|
Задача 12.4.19. Найти среднюю по времени мощность, суммарно развиваемую всеми тремя источниками переменной ЭДС на
частоте ω = 1/ 
LC (рис. 12.19). ЭДС источников:
E1(t) = E3(t) = E0 cos ωt; E2(t) = E0 sin ωt.. Стрелки у источников указывают положительное направление ЭДС.
Ответ: P = (ωCU0 )2 R .
L
~ E(t) R 
С
Рис. 12.18. Электрическая схема цепи к задаче 12.4.18
LC
~ E1(t) ~ E3(t) ~ E2(t)
R 
Рис. 12.19. Электрическая схема цепи к задаче 12.4.19
436 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача 12.4.20. Покажите, что напряжение UAB между точками А и В (рис. 12.20) равно нулю при одновременном выполнении следующих условий: (r1/r2) = (R1/R2) + (C1/C2);
Ответ: ω = (R1R2C1C2)–1/2.
Задача 12.4.21. На вход схемы, изображённой на рис. 12.21, подается синусоидальная ЭДС (частота ω, амплитуда E0). Определить амплитуду и сдвиг фазы
между точками В и А (UBA = ϕB – ϕA) относительно фазы ЭДС в зависимости от величины сопротивления R.
Ответ:
1) Амплитуды входного и выходного напряжений совпадают.
2) Сдвиг фаз равен 2φ, где tg φ = ωL/R (UBA опережает ЭДС).
Рис. 12.20. Электрическая схема моста к задаче 12.4.20
выходного напряжения
|
L |
R |
~ |
A |
B |
|
E(t) |
L |
|
R |
Рис. 12.21.Схема |
фазовра- |
щателя на основе RL-цепей (задача 12.4.21)
Литература к главе 12
1.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм – М.: Оникс 21 век, 2005, §§ 48-51.
2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. – М., Физматлит, 2006, §§ 127-132, 137.
3.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003, §§217228.
4.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит, 2003, § 77-80.
R
