Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

с инета для метод

.pdf

Скачиваний:

1552

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

5.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4439 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

381

так как к моменту времени t = Tи переходной процесс закончился и напряжение на конденсаторе равно нулю.

Сразу после выключения генератора ток, который протекал через индуктивность L, ещё не изменил своей величины и направле-

ния. Этот ток равен I1 =

, а ток I, протекающий через резистор R,

равен нулю. Из

первого

правила

Кирхгофа получим, что

I = I1 + I2= 0, то есть I2 = –I1.

dUC

(t = T ) =

(t = T ) = −

Зависимость от времени напряжения на конденсаторе в этом случае будет согласно (11.17) иметь вид

U(t) = −

−β(t−T )

sinω(t − T ) .

ωRC

Ответ: 1) В системе будут затухающие колебания, если R >

2) при 0 < t < Tи : U(t) =

e−βt sinωt ;

ωRC

при t ≥ Tи

: U(t) = −

−β(t−T )

sinω(t − T )

ωRC

где ω =

ω2

−β2 .

Замечание. Определим добротность Q этой параллельной RLC цепи. Согласно (11.24) при ω0 >> β

Q = ω0 =

= R

2β

Это выражение не совпадает с формулой для добротности по-

следовательного контура Q

(см. дополнение к задаче

посл

11.3.11).

Если Q >> 1, то ω ≈ ω0. В этом случае начальная амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе (при t = 0 и при t = Tи) будет

равна UC max ≈ ω0ERC0 = EQ0 .

382 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 11.3.14. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов U0, разряжается на цепь, состоящую из сопротивления R и индуктивности L, соединенных параллельно (рис. 11.14). Найти заряды, прошедшие через них при разряде конденсатора. Омическим сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.

Решение

	С
L	R
L
	U0

Рис. 11.14. Схема соединения элементов цепи в задаче

11.3.14

Все элементы схемы (L, R, C) соединены параллельно. Поэтому правила Кирхгофа (11.7) и (11.8) можно записать в виде

RIR = L dIL , dt

UC = RIR ,

IC = IR + IL .

Структура этих уравнений такова, что для решения поставленной задачи (определить QL и QR) нет необходимости находить явную зависимость токов IR(t) и IL(t) от времени.

Действительно, проинтегрировав по времени от 0 до ∞ правую и левую части первого уравнения, получим

RQR = L[IL (∞) − IL (0)].

Учитывая, что IL (∞) = IL (0) = 0 , получим

QR = 0 .

Интегрируя в тех же пределах последнее уравнение и учитывая, что UC(0) = U0, UC(∞) = 0, получим

QL = QC (0) = CU0 .

Ответ: QR = 0 , QL = CU0 .

Задача 11.3.15. На сколько процентов отличается частота свободных колебаний в контуре с добротностью Q = 5 от частоты собственных незатухающих свободных колебаний в таком же контуре, но без потерь энергии?

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.							383
Решение
Используя формулу			(11.25)			теоретического материала	при
Q = 5, получим:
	ω
			1
		= 1−	1		=	1− 0,01 ≈ 0,995 .
	ω	= 1−		4Q2	=	1− 0,01 ≈ 0,995 .
	ω			4Q2
0

Ответ: отличие составит 0,5% .

Замечание. Даже при такой сравнительно небольшой добротности различием величин ω и ω0 практически можно пренебречь. Это довольно типичная ситуация. Даже при Q = 3 отличие составляет менее 1,5%. Поэтому при выполнении расчетов полезно сделать оценку добротности контура, что часто может упростить дальнейшие численные расчеты.

Задача 11.3.16. Колебательный контур содержит последовательно соединённые емкость C = 0,25 мкФ, индуктивность L = 1 Гн и активное сопротивление R = 20 Ом. Через какое количество колебаний N амплитуда тока в этом контуре уменьшается в е раз?

Решение

Используем формулы (11.21) – (11.23) теоретического материала, а также значение коэффициента затухания β в последовательной RLC-цепи (задача 11.3.11):

ω02 − β2

−1

N =

θ 2πβ

2πβ

N =

2π

β =

Для выполнения численного расчета оценим сначала величины

ω0 и β:

ω0 = 2000 с-1, β = 10 с-1.

Поскольку ω0 >> β, для численного расчета можно использо-

вать приближенную формулу (11.24), из которой N = ω0 . Под- 2πβ

ставляя в нее найденные численные значения, находим N = 32.

Ответ: N = 32.

384 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи типа 11.3

Расчет энергетических характеристик процессов (мощность, энергия, количество выделенного тепла и др.)

Метод решения. Для решения задач этого типа требуется сначала найти напряжения и токи, т.е. решить задачу типа 11.1 или 11.2.

Кроме стандартных расчётов, требуется также использовать выражение (11.26) для мощности, которая выделяется на участке цепи.

В некоторых задачах вопрос сформулирован так, что для ответа нет необходимости решать динамическую задачу. Достаточно произвести простое интегрирование полученного уравнения.

Задача 11.3.17. Конденсатор ёмкости C заряжается от источника постоянного напряжения E0 через сопротивление R. Определить зависимость от времени мощности P(t), подводимой к конденсатору.

Решение

Мощность P(t), подводимая к конденсатору, равна (11.26)

P(t) =U(t)I(t) .

Рис. 11.15. Электрическая схема цепи к задаче 11.3.17

Здесь U и I – падение напряжения и ток через конденсатор.

В базовой задаче 11.3.1 получено, что при зарядке конденсатора от постоянной ЭДС, напряжение на нём меняется по закону

U(t) = E0 (1− e−tRC ) ,

а в замечании 1 к этой же задаче получено, что при зарядке конденсатора в последовательной RC-цепи сила тока в ней изменяется по закону

I(t) = E0 e−tRC .

Отсюда получаем P(t) = E02 (1− e−tRC )e−tRC .

Ответ: P(t) = E02 (1− e−tRC )e−tRC .

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

385

Замечание. Возможно решение этой задачи и другим, энергетическим, способом, что позволяет не находить зависимость силы тока от времени.

При зарядке конденсатора его энергия изменяется со временем

по закону W(t) =	CU2 (t)	=	CE2	(1− e−t RC )2
			0		. А значит, для этого не-
	2			2

обходимо подводить к нему мощность

P(t) = dW(t) = E02 (1− e−tRC )e−tRC . dt R

Задача 11.3.18. В последовательном RLC контуре, добротность которого Q >> 1 и собственная частота колебаний равна ω, возбуждены затухающие колебания (см. базовую задачу 11.3.12). Через какое время энергия, запасённая в контуре, уменьшится в n раз?

Решение

Энергия, запасённая в последовательном контуре, равна

LI 2 CU2

W(t) = + С ,

где I – сила тока в цепи, а UС – напряжение на конденсаторе. Используя результат базовой задачи 11.3.12 и условие малости затухания (Q >> 1, ω0 >> β), для напряжения и силы тока можно записать следующие приближенные соотношения:

(t) = E e

−βt cosω t ;

I(t) = C

dUC

= ω CE e−βt sinω t .

0 0

Тогда для энергии, запасённой в контуре, получим

CE2

W(t) =

e−2βt = W e−2βt .

Если за время t энергия уменьшится в n раз, то

W(t) =

= W e−2βt .

Откуда для времени t получим

ln n = 2βt .

Так как затухание мало (ω0 >> β), то, используя соотношение

(11.24) теоретического материала Q =

, получим

t =

ln n .

2β

ω0

386 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Ответ: t = ω0 ln n .

§ 11.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 11.4.1. Определить зависимость от времени заряда Q(t) на обкладках конденсатора C в схеме, приведенной на рис. 11.16 после замыкания клю-

ча K.

Ответ:

Рис. 11.16. Соединение элементов цепи в задаче 11.4.1

Q(t) = E C		R2	(1− exp(−t / τ)), где τ =	CR1R2		.
0	R	+ R		R + R	2
	1	2	1		2

Задача 11.4.2. Определить закон изменения силы тока I(t) через источник постоянного напряжения E0 после замыкания ключа K в схеме, приведенной на рис. 11.17.

Ответ:


	1			1			t
I(t) = E0			+		exp	−		,
I(t) = E0			+	R2	exp	−		,
	R1			R2			τ
где τ =	1	.						Рис. 11.17. Соединение элементов цепи
где τ =		.						Рис. 11.17. Соединение элементов цепи
	R2C							в задаче 11.4.2

Задача 11.4.3. Определить зависимость от времени силы тока IL(t) через катушку индуктивности L в схеме, приведенной на рис. 11.18 после замыкания ключа K.

Рис. 11.18. Соединение элементов цепи в задаче 11.4.3

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

387

Ответ: I

(t) =

− exp −

где τ =

Задача 11.4.4. Определить зависимость от времени напряжения на катушке индуктивности UL(t) после замыкания ключа K в схеме, приведенной на рис. 11.19.

		E0R2			t		1		1
Ответ: UL	(t) =			exp −				+

		R1	+ R2			, где τ = L	R1			.
					τ				R2

Рис. 11.19. Соединение элементов	Рис. 11.20. Соединение элементов
цепи в задаче 11.4.4	цепи в задаче 11.4.5

Задача 11.4.5. Определить, как изменяется со временем напряжение на катушке индуктивности в схеме, представленной на рис. 11.20 для двух случаев. Генератор тока формирует:

1) Ступенчатый сигнал

I(t) = 0 при t < 0; I(t) = I0 при t > 0.

Ответ: UL(t) = 0, при t < 0.

				t		L
UL	(t) = I	0Rexp	−		, при t > 0, где τ =		.

				τ		R

2) Прямоугольный импульс

I(t) = 0 при t < 0, t > T; I(t) = I0 при 0 < t < T.

Ответ: UL(t) = 0, при t < 0,

388 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

(t) = I

0Rexp −

при 0 < t < T ,

t −T

(t) = I

0R exp

−

− exp

−

при t > T.

Задача 11.4.6. Предварительно заряженный до разности потенциалов U0 конденсатор емкости C, разряжается через сопротивление R. Найти зависимость энергии конденсатора от времени.

Ответ: W (t) =	CU2		−	2
	0	exp			t .

C	2			RC

Задача 11.4.7. Конденсатор емкости C заряжается от источника ЭДС величины U0 и внутренним сопротивлением r. Определить зависимость от времени количества теплоты, выделившейся в цепи при зарядке конденсатора.

		CU2						2
Ответ: Q(t) =			0	1− exp			−		t	.
Ответ: Q(t) =				1− exp			−		t	.
		2						rC
Задача 11.4.8. Две катушки, имеющие
активные сопротивления r1 и r2, индуктив-
ности L1 и L2, соединены параллельно и
подключены к конденсатору, ёмкости С,
заряженному до напряжения U0								(см.
рис. 11.21). Какие заряды протекут через
каждую из катушек при разрядке конден-
сатора?
	CU0r2					CU0r1				Рис. 11.21. Соединение
	CU0r2					CU0r1				элементов цепи в задаче
Ответ: Q1 = r + r			, Q2		= r + r			.		элементов цепи в задаче
Ответ: Q1 = r + r			, Q2		= r + r			.		11.4.8
1		2			1		2

Задача 11.4.9. В условиях задачи 11.3.8 определить, чему равен полный заряд q, который протечёт через поперечное сечение проводника, из которого сделана рамка, после завершения релаксационного процесса.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

389

Ответ: q = Ba2 .

Задача 11.4.10. В схеме, представленной на рис. 11.22, определить зависимость от времени напряжения U2(t) на конденсаторе С2. Генератор напряжения E(t) формирует ступенчатый сигнал:

E(t) = 0 при t < 0; E(t) = E0 при t > 0.

Первоначально (t < 0) токи и напряжения в цепи были равны нулю. При расчёте положить С1 = С2 = С; R1 = R2 = R.

Ответ:

2E0

−βt

Рис. 11.22. Соединение элементов цепи в

U2 (t) =

e sh(γt),

задаче 11.4.10

где β =

, γ =

sh( γt ) =

(eγt − e−γt ) – гиперболиче-

2RC

ский синус.

Задача 11.4.11. Конденсатор C заряжается от источника с постоянной ЭДС E0 через катушку с индуктивностью L и сопротивле-

ние R, причем R2 = 4LC . Определить:

1)Как изменяется сила тока со временем?

2)Через какое время сила тока достигнет максимума?

3)Чему равно напряжение на конденсаторе в этот момент?

4)Чему равно максимальное значение силы тока?

Ответ: 1) I =		E0		t e−t τ ; 2) t =		2L	; 3) U = E		e − 2	;
Ответ: 1) I =				t e−t τ ; 2) t =			; 3) U = E	0		;
			L			R		0	e
			L			R			e
4) I			=	2E0	.
4) I	max		=		.
	max			eR
				eR

390 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 11.4.12. Найти силу тока IL(t) в катушке индуктивности L после замыкания ключа K в схеме, приведенной на рис. 11.23. Параметры L, C, R удовлетворяют условию

L > 4CR2.

Ответ:

		(t) =	E	0		−	β	e	−β1t −β e	−β2t
I				0	1		2		1		,
I	L				1						,
	L		R						β2 −β1
			R						β2 −β1

где β1 = β + β2 − ω20 ,β2 = β − β2 − ω02 ,

β =	1	, ω2	=	1	.

	2RC	0		LC

К R

С L

Рис.11.23. Электрическая схема к задаче 11.4.12

Задача 11.4.13. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки с индуктивностью L = 1 Гн, которые соединены последовательно. Чему равно омическое сопротивление контура r, если известно, что амплитуда собственных колебаний в нём за время 0,1 секунды уменьшается в e = 2,718 раз?

Ответ: r = 20 Ом.

Задача 11.4.14. Для схемы, представленной на рис. 11.24, определить заряд q на конденсаторе С как функцию времени после замыкания ключа К. При расчёте считать, что добротность Q >> 1.

Ответ:

−βt

q(t) =

CE0(1− e

) cosωt +

sinωt

2r С

где β =

, ω =

ω2

− β2 .

Рис. 11.24. Схема к задаче

11.4.14

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4439 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.20182.69 Mб28рустам курсовой (2).docx
#
14.11.2019118.27 Кб10рыночн.doc
#
20.12.2018239.62 Кб16РЭУБД.doc
#
17.03.2015860.16 Кб284Ряд и преобразование Фурье методичка.doc
#
26.09.201958.42 Кб10с 1 по 10 ТУ.docx
#
17.03.20155.91 Mб1552с инета для метод.pdf
#
17.03.2015652.72 Кб12С.И.К. 1995.doc
#
17.03.2015585.22 Кб28С.И.К. 1998.doc
#
08.11.2018775.71 Кб16САК лаба 1 Исследование передаточных функций.docx
#
17.03.20155.44 Mб19Салаватский Нефтехимик.pdf
#
14.11.2018822.27 Кб6Самостоят+расчет.doc