с инета для метод

Глава 10

МАГНЕТИКИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ 10.1 Теоретический материал

Любое вещество состоит из атомов и молекул, в которых электроны находятся в состоянии непрерывного движения, образуя микроскопические замкнутые токи, обладающие магнитным моментом (см. главу 7). Кроме этого, электроны в атомах и нуклоны в атомных ядрах обладают спиновыми магнитными моментами.

Магнитный момент атома определяется векторной суммой магнитных моментов орбитального и спинового моментов электронов и спинового момента атомного ядра. В отсутствие внешнего магнитного поля атомы разных элементов, в зависимости от строения их электронных оболочек, могут как иметь магнитный момент, так и не иметь его (при полной компенсации всех моментов внутри атома).

Магнитный момент вещества определяется векторной суммой магнитных моментов входящих в него атомов.

Магнетики. Под действием внешнего магнитного поля все вещества приобретают макроскопические собственные магнитные моменты, величины которых в разных веществах различаются на много порядков. Магнетиком можно назвать любую среду (тело), когда рассматривается ее реакция на магнитное поле. По своим электрическим свойствам магнетики могут быть как проводниками, так и диэлектриками и полупроводниками. Некоторые магнетики обладают собственным большим магнитным моментом и при отсутствии внешнего магнитного поля (постоянные магниты).

Намагничивание – процесс приобретения телами макроскопического магнитного момента под действием внешнего магнитного поля.

Намагниченность – макроскопическая локальная характеристика магнитного состояния вещества. Вектор намагниченности M является локальной объемной плотностью магнитного момента, т.е. численно равен магнитному моменту единичного объема вещества:

M(r) = 1V ∑V pmi ,

302 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где V – физически бесконечно малый объем в окрестности точки r, а pmi – магнитные моменты атомов, входящих в данный объем.

Размерности единиц измерения: в системе единиц СИ [pm]= А м2, [M] = А/м.

В магнитных средах вектор индукции магнитного поля можно представить как сумму двух частей: одна часть порождается токами проводимости (электрический ток в проводах, катушках и т.д.), другая обусловлена намагниченностью среды и порождается связанными (молекулярными) токами.

Вектор напряженности магнитного поля Н вводится соотношением

где В – вектор магнитной индукции в магнетике, µ0 – магнитная постоянная. В системе единиц СИ размерность напряженности магнитного поля [H] = А/м совпадает с размерностью намагниченности.

По своей сути вектор Н играет в магнетизме ту же роль, какую в теории электрического поля играет вектор электрической индукции D (см. главу 4).

Уравнения магнитостатики при наличии магнитных сред:

где j – вектор объёмной плотности тока проводимости, I – полный ток проводимости, пронизывающий произвольную поверхность S, опирающуюся на контур L.

В магнитных средах вектор индукции В является вихревым, как и в вакууме, то есть всегда выполняется div B = 0. Вектор напряженности Н будет вихревым, если div M = 0, а в общем случае

он содержит как вихревую составляющую, обусловленную токами проводимости, так и потенциальную.

Граничные условия для нормальных (n) и тангенциальных (τ) компонентов магнитных векторов:

где i – вектор поверхностной плотности тока проводимости на границе сред, n – единичный вектор нормали, направленный от среды 1 к среде 2.

Если поверхностных токов проводимости нет, то тангенциальная компонента поля Н сохраняется

Во многих случаях намагниченность среды пропорциональна величине напряженности магнитного поля Н в ней, а ее магнитные свойства не зависят от направления намагничивания. Для такой "линейной" и изотропной среды

где коэффициент χ называется магнитной восприимчивостью. В таких средах В и Н также связаны линейно

Величина µ = (1+χ) называется магнитной проницаемостью. Для диамагнетиков 0 < µ < 1 (χ < 0), для парамагнетиков µ > 1

(χ > 0) и можно считать, что χ и µ постоянны (µ мало отличается от единицы).

Формулы (10.9), (10.10) неприменимы к ферромагнетикам. Ферромагнитные тела разбиваются на малые по сравнению с размером самого тела области спонтанной намагниченности – домены, внутри которых локальная величина векторов намагниченности М0 почти не зависит от наличия внешнего поля. Намагничивание ферромагнетика внешним полем связано со смещением доменных границ и поворотом внутридоменных векторов намагниченности. При этом средняя намагниченность ферромагнитных тел, усредненная по доменам, уже сильно зависит от внешнего поля, также же как и

304 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

величина магнитной индукции, но эти зависимости M(H) и B(H) нелинейные и обладает гистерезисом (т.е. М и В зависят не только от Н, но и от предистории намагничивания). В связи с этим магнитная проницаемость ферромагнетиков, если ее определить фор-

B(H )

мально по (10.10) как = 0H , не будет константой, а также яв-

ляется нелинейной гистерезисной функцией (H) и может меняться в широких пределах от 103-105(в малых полях порядка 0 < Н < М0) до → 1 (в сильных полях H >> M0).

Свойства вектора напряженности магнитного поля Н

Вмагнитной среде вектор Н является суммой двух различных по физическому смыслу слагаемых В и М и поэтому носит вспомогательный характер. В математическом отношении использование векторного поля H во многих случаях упрощает расчеты магнитных полей в магнетиках.

В"линейных" магнитных средах, подчиняющихся (10.9), (10.10), векторное поле H(r) по своим свойствам аналогично вихревому полю магнитной индукции B(r). При этом само поле H(r) определяется только токами проводимости, линии поля Н замкнуты, и в областях, где нет токов проводимости, они непрерывны и не зависят от присутствия магнитной среды (если эта среда бесконечна или границы имеющихся разных сред совпадают с линиями поля Н0 этих же токов в вакууме).

Втаких случаях для нахождения поля H в магнетиках можно использовать все формулы, относящиеся к расчету поля магнитной индукции B в вакууме (глава 7), если только убрать из этих формул

размерный множитель 0. Именно в таких ситуациях использование поля Н при решении задач наиболее результативно.

В остальных случаях поле H, помимо вихревой, может иметь и потенциальную компоненту, у которой div H ≠ 0. Так будет, например, если границы разных магнитных сред не совпадают с линиями внешнего поля Н0, как они были в вакууме в отсутствие магнетиков (например, см. далее задачу 10.3.5), а также при наличии постоянных магнитов.

Краевая магнитостатическая задача: дифференциальные уравнения (10.2)-(10.3) вместе с граничными условиями (10.6)- (10.7) и материальным уравнением (10.9) или (10.10) полностью определяют задачу нахождения полей и намагниченности. Общие

методы нахождения решений таких задач и доказательство их единственности рассматриваются в соответствующих разделах математической физики.

В курсе общей физики рассматриваются относительно простые задачи с элементами симметрии, которые позволяют не решать дифференциальные уравнения, а сразу использовать интегральные соотношения (10.4) - (10.5) и применять простые наглядные методы решения, основанные на 1) модели молекулярных токов и 2) модели "магнитных зарядов"

Метод молекулярных токов

Магнитное поле, создаваемое намагниченным веществом, можно описать введением макроскопических "молекулярных токов", отличных от тока проводимости [1, §38]. Вектор объёмной плотности молекулярных токов j′ определяется соотношением:

Сила молекулярного тока I' через произвольную поверхность S, опирающуюся на контур L, определяется интегральным соотношением, следующим из (10.11)

SL

Вотличие от тока проводимости, молекулярный ток через полную площадь любого сечения намагниченного тела равен нулю.

Поле магнитной индукции В′(r), создаваемое намагниченным веществом, эквивалентно полю, создаваемому молекулярными токами j′(r) в вакууме. При этом полный вектор магнитной индукции В определяется эффективной плотностью тока jΣ, равного сумме плотности токов проводимости и молекулярных токов

jΣ = j + j′.

С введением молекулярных токов дифференциальное и интегральное уравнения магнитостатики (10.3), (10.5) можно записать в виде

LS

где IΣ = I + I' – величина эффективного тока через поверхность S, опирающуюся на контур L.

В однородных изотропных магнитных средах (где µ и χ не зависят от координат) плотность молекулярных токов пропорцио-

306 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В областях, где токов проводимости нет (j = 0), объемные молекулярные токи также отсутствуют, но поверхностные молекулярные токи могут присутствовать на границах раздела сред, если на них имеется скачок тангенциальной составляющей вектора М.

Граничное условие для вектора намагниченности следует из (10.12) и имеет вид:

где i′ – вектор поверхностной плотности молекулярных токов на границе, n – единичный вектор нормали, направленный от среды 1 к среде 2.

Метод "магнитных зарядов" или скалярного потенциала

Данный метод [1, §38] удобен при рассмотрении задач, в которых нет токов проводимости (например, случай постоянных магнитов или непроводящих магнитных сред).

Введем вспомогательную функцию

то есть ρм(r) формально играет роль объемной плотности "магнитных зарядов", которые являются источниками потенциального поля Н и по своей роли эквивалентны плотности электрических зарядов (точнее, величине ρ/ε0) в электростатике.

где, как и выше, вектор нормали n направлен от первой среды ко

второй.

В связи с этой аналогией для нахождения магнитостатического поля можно использовать известные методы и готовые решения, полученные для электростатических задач, а затем произвести формальные замены

В частности, для скалярного "магнитного потенциала" ψ, вводимого соотношением

H = – ψ, получается уравнение Пуассона

2ψ = –ρм, а его решение при заданном распределении плотности "магнитных

зарядов" имеет вид, аналогичный решению для электростатического потенциала (глава 2, (2.5)):

Напряженность магнитного поля на расстоянии r от точечного "магнитного заряда" qм определяется таким же соотношением, как и для электростатического поля точечного электрического заряда

Энергия при наличии магнитных сред. Бесконечно малое приращение плотности энергии в магнетике при изменении магнитного поля

δw = (H δB).

Если связь полей Н и В линейная и изотропная (µ = const), то для плотности энергии магнитного поля можно записать

Полная энергия W получается интегрированием плотности энергии по объему области, занимаемой полем

308 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Плотность энергии "жесткого" магнетика (т.е. среды с постоянной намагниченностью М0 = const) в заданном поле сторонних источников, магнитная индукция которых в отсутствие магнетика была В0 = µ0H0, равна

Если же векторы Н и М связаны линейным образом, т.е. магнитное поле создается не сторонними источниками, а порождается самой намагниченностью, или, наоборот, намагниченность порождается сторонним полем Н, то

Объемная плотность сил, действующих на магнетик ([1], §39)

где w1 и w2 – плотности энергии по сторонам границы. Сила давления направлена от среды с большей магнитной проницаемостью к среде с меньшей магнитной проницаемостью ([3], §72, п. 5).

§ 10.2. Основные типы задач (классификация)

Задачи можно условно разбить на следующие группы согласно используемым для их решения основным методам и формулам:

10.1.Расчёт магнитных полей и намагниченности на границе раздела магнитных сред.

10.2.Нахождение магнитного поля, создаваемого токами проводимости в магнитной среде с линейной восприимчивостью.

10.3.Применение метода молекулярных токов и магнитных зарядов при расчете магнитного поля постоянных магнитов.

10.4.Задачи для ферромагнетиков с гистерезисом магнитной

восприимчивости.

10.5. Нахождение магнитной энергии и сил в магнитных сре-

дах.

§ 10.3. Методы решения и примеры решения задач

Задачи типа 10.1

Расчёт магнитных полей и намагниченности на границе раздела магнитных сред

Метод решения. Использование граничных условий (10.6) – (10.7)

Задача 10.3.1 (базовая задача). Бесконечный плоский слой парамагнетика с магнитной проницаемостью µ граничит с вакуу-

Обозначим величины внутри и вне магнетика индексами 1 и 2 соответственно. Поскольку токов проводимости нет, запишем граничные условия (10.6), (10.8):

Выразим напряженность и индукцию поля внутри магнетика через заданный вектор намагниченности, используя материальные соотношения (10.9, 10.10)

Подставляя эти соотношения в граничные условия, и учитывая, что Н2 = В2/µ0, получим:

откуда следует:

310 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи типа 10.2

Нахождение магнитного поля, создаваемого токами проводимости в магнитных средах с линейной восприимчивостью

Метод решения

а) Пространственные токи в проводящей "линейной" изотропной магнитной среде (µ = const). В этом случае плотность объемных молекулярных токов j′(r) пропорциональна плотности токов проводимости j′ = χ j (10.15). Сумма этих токов приводит к эффективному току jΣ, который в µ раз больше тока проводимости:

В силу линейности уравнения (10.13), индукция магнитного поля В в такой среде будет в µ раз больше по сравнению с индукцией В0, которая создавалась бы этими же токами проводимости в вакууме:

б) Линейные токи в магнитной непроводящей среде. При протекании тока проводимости I по тонкому линейному проводнику объемные молекулярные токи в окружающей непроводящей среде отсутствуют, так как в ней j = 0. Но на границе среды с проводником возникает продольный поверхностный молекулярный ток, равный по величине намагниченности среды на границе с проводом: i′ = М. Полный молекулярный ток вдоль линейного проводника равен

(более подробно см. ниже задачу 10.3.2).

Ввиду подразумеваемой тонкости линейных проводников токи I и I′ можно считать пространственно совпадающими, поэтому влияние магнитной среды на поле вне проводника эквивалентно