с инета для метод
.pdf
232 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача 7.3.16. Найти векторный потенциал (в кулоновской калибровке) для однородного магнитного поля с индукцией В.
Решение
Направим ось Z декартовой системы координат вдоль вектора В. Учитывая, что В имеет только одну ненулевую компоненту Bz, запишем в декартовых координатах соотношение (7.13):
|
|
|
= (rot A) |
|
= |
∂Ay |
|
− |
∂A |
|
= B . |
|||
B |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= (rot A) |
|
|
= |
|
∂A |
|
− |
|
∂Ay |
|
= 0 , |
B |
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
y |
= (rotA) |
y |
= ∂Ax − ∂Az = 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, что с точностью до константы решениями являются следующие векторы: A = B{–y; 0; 0}, A = B{0; x; 0} и любая их суперпозиция, например, сумма, которая наиболее компактно записывается в векторном виде
A = 1 B{− y;x;0}= 1 [B r];
22
Кулоновской калибровке div A = 0 удовлетворяют все три решения.
Ответ: A(x,y) = 1 B{–y; x; 0} = 1 [B r];
22
A(x,y) = B{–y; 0; 0}, A(x,y) = B{0; x; 0}.
Задача 7.3.17 (базовая задача). Найти векторный магнитный потенциал A и индукцию магнитного поля B на расстоянии r от прямолинейного бесконечного тонкого проводника, по которому течёт постоянный ток I.
Решение
Эквивалентная задача электростатики: найти потенциал ϕ
и напряженность Е электростатического поля, созданного прямолинейным безграничным тонким проводником, на котором равномерно распределён электрический заряд с линейной плотностью γ. Решение данной задачи было рассмотрено выше (задача 1.3.13 главы 1 и задача 2.3.11 главы 2) и имеет следующий вид
Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме |
233 |
ϕ = − |
1 |
|
γ ln |
r |
; E |
|
= |
1 |
|
γ |
, |
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||
2πε |
0 |
|
C |
2πε |
0 |
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где r – расстояние от провода, С – произвольная константа, имеющая размерность длины. Вектор напряженности электрического поля здесь направлен перпендикулярно проводнику.
Выберем цилиндрическую систему координат, полярная ось Z которой совпадает с проводником, а её направление – с направлением тока I.
Используя эквивалентность электростатической и магнитостатической задач и производя замены (7.22), получим
A = A = − |
µ0 |
I ln |
r |
; |
B = B = |
µ0 |
|
I |
. |
2π |
|
|
|
||||||
z |
|
C |
ϕ |
2π r |
|||||
Вектор индукции магнитного поля прямого безграничного тока лежит в плоскости (XY) и касателен к окружности радиуса r, центр которой лежит на проводнике. Векторный магнитный потенциал этого поля имеет одну компоненту вдоль оси Z.
Ответ: A = A |
= − |
µ0 |
I ln |
r |
; B = B |
= |
µ0 |
|
I |
. |
2π |
|
|
|
|||||||
z |
|
|
C |
ϕ |
|
2π r |
||||
Замечание: Тот же ответ для величины магнитной индукции В был получен ранее из уравнения Био-Савара–Лапласа (задача 7.3.1, Замечание 2) и из теоремы о циркуляции вектора В (задача 7.3.9).
Задача 7.3.18. По поверхности длинного кругового цилиндра радиуса R вдоль его оси течет поверхностный ток с постоянной плотностью i. Определить магнитный потенциал A и индукцию магнитного поля B этого тока.
Решение
Выберем цилиндрическую систему координат, ось Z которой совпадает с осью цилиндра, а направление – с вектором плотности тока.
Эквивалентная задача электростатики: длинный круговой
цилиндр радиуса R заряжен по поверхности с постоянной поверхностной плотностью заряда σ. Определить ϕ и E для этой систе-
мы зарядов.
Данная магнитостатическая задача была решена выше (глава 1, задача 1.3.12). Используя решение этой задачи и условия (7.22), можно записать для областей внутри и снаружи цилиндра
236 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
лежит в плоскости XZ под углом α к оси ОХ, где tgα ≈ 0,63.
Задача 7.4.7. Однородный ток плотности j течет внутри неограниченной пластины толщины 2d параллельно ее поверхности. Пренебрегая влиянием вещества пластины, найти зависимость величины индукции магнитного поля этого тока от расстояния х, отсчитываемого от средней плоскости пластины.
B = µ0 jx, x ≤ d;
Ответ:
B = µ0 jd, x ≥ d.
Задача 7.4.8. Из куска изолированной проволоки сделан круглый виток и подключен к источнику тока с постоянной ЭДС. Как изменится индукция магнитного поля в центре круга, если из того же куска проволоки сделать два прилегающих друг к другу соосных витка?
Ответ: увеличится в 4 раза.
Задача 7.4.9. Бесконечно длинный цилиндрический провод состоит из двух коаксиальных цилиндров. Внутренний сплошной цилиндр, изготовленный из немагнитного материала, имеет радиус R1. Радиус внешнего пустотелого цилиндра равен R2. Вдоль цилиндров текут постоянные токи одинаковой величины I, но направленные противоположно. Определить зависимость величины индукции магнитного поля от расстояния до оси провода B(r).
Ответ: B = |
µ0I |
|
r , |
r < R1; |
|
2πR |
2 |
||||
|
|
|
|||
1 |
|
|
|||
B = µ0I , |
|
R1 ≤ r ≤ R2; |
|||
2πr |
|
|
|
||
B = 0 , |
|
|
r ≥ R2. |
||
Задача 7.4.10. Внутри длинного прямого провода круглого сечения имеется длинная круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно неё на расстояние d. По проводу течет постоянный ток плотности j, равномерно распределенный по его сечению. Пренебрегая влиянием вещества провода, определить величину индукции магнитного поля внутри полости.
Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме |
237 |
Ответ: B = µ0 jd . 2
7.4.11. Вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубки радиуса R течет постоянный ток I. В стенке трубки имеется тонкая щель ширины d, параллельная оси трубки. Определить величину индукции магнитного поля В в точке, лежащей внутри трубки на её радиусе, если расстояние от середины щели до рассматриваемой точки равно r (r, R >> d).
Ответ: B ≈ µ0Id . 4π2rR
Задача 7.4.12. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью σ, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти:
а) величину индукции магнитного поля в центре диска; б) модуль магнитного момента диска.
Ответ: а) B = |
µ |
σωR |
|
= |
πσωR4 |
0 |
; б) p |
m |
. |
||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
Задача 7.4.13. Заряд Q равномерно распределен по объёму однородного шара радиуса R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью ω. Найти магнитный момент такой системы.
Ответ: pm = Q R2 ω . 5
Задача 7.4.14. В каких точках на расстоянии R от точечного магнитного момента pm величина индукции магнитного поля будет иметь максимальное и минимальное значения?
Ответ: B = B |
|
= µ0 |
|
|
pm |
в точках, |
радиус-вектор |
которых |
|||||||
max |
|
|
|||||||||||||
|
|
2π R3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
составляет с горизонталью углы θ = 0, π; |
|
||||||||||||||
B = B |
|
= |
µ0 |
|
pm |
|
в точках, |
радиус-вектор |
которых |
||||||
min |
4π R3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
составляет с горизонталью углы θ = |
π |
, |
3π |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
238 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача 7.4.15. Вдоль оси длинного кругового цилиндра радиуса R течет ток с постоянной плотностью j. Найти векторный магнитный потенциал А магнитного поля в зависимости от расстояния r до оси цилиндра.
Ответ: Если принять А(0) = 0, то
для r ≤ R: |
Ain = − µ0 |
|
πr2 j ; |
|
|
|
|
||||
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|||
для r ≥ R: |
Aex = − |
µ |
0 |
|
2πR2 |
|
r |
+ |
1 |
|
|
|
|
ln |
|
|
j ; |
||||||
4π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
|||
Задача 7.4.16. Найти векторный магнитный потенциал А внутри и вне длинного (бесконечного) соленоида радиуса а, внутри которого протекающим током создается однородное магнитное поле с индукцией В. Положить А = 0 на оси соленоида.
Ответ (в цилиндрических координатах (r, ϕ, z)):
При любом z внутри соленоида A |
= |
1 |
Br ; снаружи A |
= |
a2B |
. |
|
|
|||||
ϕ |
2 |
ϕ |
|
2r |
||
Линии векторного поля А образуют окружности с центром на оси соленоида, лежащие в плоскости, перпендикулярной этой оси.
Указание: можно воспользоваться теоремой о циркуляции вектора А (7.23).
Литература к главе 7
1.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Оникс 21 век, 2005, §§ 8-10, 35-37.
2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество. – М.: Физматлит, 2006, глава III.
3.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003, §§ 75-88.
4.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит, 2003, глава IV.
240 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
где v – скорость движения заряда. В разных физических ситуациях и разных системах отсчета эта сила может иметь только электрическую компоненту (первое слагаемое), или только магнитную (второе слагаемое) или быть суммой этих компонент.
Изменение потока Ф(t) может быть вызвано двумя разными причинами, которые могут действовать и совместно. Им соответствуют две следующие ситуации:
1)Вектор магнитной индукции B постоянен, а Ф(t) меняется за счет движения проводников, например, из-за деформации проводящего контура или изменения его ориентации относительно направления вектора В.
2)Проводящий контур неподвижен, а Ф(t) меняется за счет изменения величины и направления B(t).
В случае 1) ЭДС индукции возникает из-за магнитной составляющей силы Лоренца, которая в данной ситуации действует на заряды, которые движутся вместе с проводником:
F= q [vB].
Взамкнутой цепи эта сторонняя сила порождает ЭДС индук-
ции
E = |
1 |
∫Fdl =∫[vB]dl . |
(8.3) |
||
q |
|||||
|
L |
L |
|
||
|
|
|
|||
Данный интеграл преобразуется к виду (8.2) [1, §44].
Если взять систему отсчета, движущуюся вместе с данным участком проводника, то магнитная составляющая силы Лоренца не возникнет, поскольку в такой системе заряды будут неподвижны. Появление же ЭДС индукции в этом участке можно объяснить релятивистским эффектом – появлением электрического поля, возникающим в движущейся системе отсчета. Это поле для скоростей, много меньших скорости света, определяется следующей формулой [1, §11]:
E = [vB], |
(8.4) |
В этом случае ЭДС возникает за счет работы электрической составляющей силы Лоренца, и ее величина приводит к тому же самому значению ЭДС (8.3).
В случае 2) ЭДС индукции обусловлена работой вихревого электрического поля Евихр, возникающим в пространстве при изме-