с инета для метод

Заряды в диэлектрике, не входящие в состав его атомов и молекул, называются сторонними зарядами (иногда их условно называют свободными зарядами, хотя в ряде случаев сторонние заряды могут быть и не свободными).

Поляризованность (вектор поляризации) P диэлектрика – это вектор объемной плотности дипольного момента. Численно он равен дипольному моменту единицы объема диэлектрика:

где V – физически бесконечно малый объем диэлектрика в окрестности точки с радиус-вектором r, pi – дипольный момент i-той молекулы из этого объема, n – концентрация молекул в диэлектри-

Она отлична от нуля только в случае неоднородной поляризации.

Ниже все связанные (поляризационные) заряды будут обозначаться штрихом (в учебниках встречаются также обозначения индексами "пол" или "св").

Плотность поверхностных связанных зарядов σ′ на границе раздела двух диэлектриков равна

где n12 – единичный вектор нормали, направленный из первой среды во вторую. Нормальная компонента вектора P испытывает на границе раздела диэлектриков скачок, равный плотности связанного заряда.

Теорема Гаусса для вектора поляризации:

S

где q′ – полный связанный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S.

Напряженность электрического поля в диэлектрике – это сумма напряженности Е0 поля сторонних зарядов в данной точке в отсутствие диэлектрика и напряженности Е′ от всех связанных зарядов, возникших в результате поляризации диэлектрика:

Е = Е0 + Е′.

Если поляризация вызвана сторонними зарядами, то поле индуцированных связанных зарядов направлено так, что всегда уменьшает напряженность поля сторонних зарядов, т.е. Е < Е0. Поэтому это поле часто называют деполяризующим полем.

Диэлектрическая восприимчивость. Во многих случаях поляризованность P диэлектрика пропорциональна напряженности поля в диэлектрике E, а свойства диэлектрика по всем направлениям можно считать одинаковыми (такой диэлектрик называется линейным изотропным). Для такого диэлектрика

где коэффициент æ называется диэлектрической восприимчивостью. Это соотношение неприменимо к диэлектрикам с постоянной поляризованностью (например, к электретам), когда вектор Р определяется не внешним полем, а внутренними структурными факторами. В общем случае, который мы рассматривать не будем, связь векторов P и E тензорная и при больших величинах Е – нелинейная.

Если внутри однородного и изотропного диэлектрического тела отсутствуют сторонние заряды, то при воздействии на него произвольного электростатического поля в нем возникают только поверхностные связанные заряды σ′ ≠ 0, а плотность объемных связанных зарядов в любой точке равна нулю ρ′ = 0.

Вектор электрического смещения или вектор электрической индукции (оба названия эквивалентны) определяется соотношением

называется относительной диэлектрической проницаемостью (часто ее сокращенно называют проницаемостью диэлектрика).

Вектор D не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды. Он является суммой двух совершенно различных по физическому смыслу слагаемых и поэтому не имеет глубокого физического смысла. Однако в математическом отношении использование векторного поля D в ряде случаев упро-

щает расчеты электростатических полей в диэлектриках. Это связано с тем обстоятельством, что в определении вектора D учтен вклад в электрическое поле от связанных зарядов. В однородных изотропных диэлектриках с линейной восприимчивостью, т.е. подчиняющихся соотношению (4.6), источниками векторного поля D являются только сторонние заряды, поэтому в этом случае при нахождении поля D можно как бы "забыть" о существовании связанных зарядов.

Для вектора D имеет место дифференциальное соотношение

где ρ – плотность сторонних зарядов.

Свойства вектора электрического смещения. В диэлектриках, подчиняющихся (4.6), векторное поле D(r) потенциально и аналогично по свойствам электростатическому полю напряженности E(r). Это означает, что rot D = 0, а линии поля D начинаются и заканчиваются на сторонних зарядах (или в бесконечности), а в точках без сторонних зарядов они непрерывны (включая и точки, в которых находятся связанные заряды). Поэтому для нахождения поля D можно использовать все формулы, относящиеся к расчету напряженности электрического поля E в вакууме, только подставлять в них нужно уже не все заряды, а только сторонние заряды, и убрать из этих формул множитель ε0.

Если же соотношение (4.6) в диэлектрике не выполняется, поле D может иметь вихревую компоненту, у которой линии D замкнуты и для возникновения которой не требуются свободные заряды. Например, такова ситуация в электретах, т.е. диэлектриках с постоянной поляризованностью, рассмотренных ниже (задача 4.3.14).

Интегральная электростатическая теорема Гаусса для вектора D:

где q – полный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S. Теорема справедлива при любом расположении произвольной поверхности S относительно диэлектрических тел.

Если однородным диэлектриком заполнить весь объем между любыми эквипотенциальными поверхностями поля, существовавшего в отсутствие диэлектрика, то напряженность поля в диэлектрике будет в ε раз меньше, чем она была в соответствующей точке до введения диэлектрика. В частности, для точечного заряда в безгра-

ничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε электрическое смещение и напряженность электрического поля будут равны

Если все пространство между обкладками плоского, цилиндрического или сферического конденсатора заполнить однородным изотропным диэлектриком, то напряженность поля в диэлектрике будет в ε раз меньше, чем напряженность поля в точно таком же конденсаторе до заполнения его диэлектриком, а соответственно, емкости конденсаторов будут в ε раз больше.

Граничные условия. На границе раздела двух диэлектриков 1

и 2:

где σ – плотность сторонних зарядов на границе раздела, а вектор нормали n направлен из первой среды во вторую.

Если на границе раздела двух диэлектриков отсутствуют сторонние заряды, то нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе через границу

Для такого случая выражение для плотности связанных поверхностных зарядов на границе (4.2) можно записать как

Если ε2 > ε1 и поле направлено из первой среды во вторую, то σ′ < 0. Если ε2 > ε1 и поле направлено из второй среды в первую, то σ′ > 0. В том и другом случае поле во второй среде (с большей ε) слабее, чем в первой (где ε меньше). При ε1 > ε2 знаки связанных зарядов надо заменить на противоположные (см. [1] §17).

§4.2 Основные типы задач (классификация)

4.1.Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ поляризационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации P.

4.2.Определение напряженности Е, потенциала φ и вектора индукции D в системах с однородными диэлектриками.

4.3.Определение емкости конденсаторов, заполненных неоднородным диэлектриком. Нахождение электрического поля в системах с неоднородным диэлектриком.

4.4.Определение напряженности поля внутри и вне диэлектрических тел, имеющих заданное статическое состояние поляризации.

§ 4.3 Методы решения и примеры решения задач.

Задачи типа 4.1

Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ поляри-

зационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации P

Методы решения. Использование формул (4.1) – (4.7). Эффективный прием – приравнять выражения для напряженности поля в диэлектрике, записанные в «макроскопическом» представлении (через известную диэлектрическую проницаемость диэлектрика) и в «микроскопическом» представлении (как суперпозицию напряженностей полей от сторонних и связанных зарядов).

Задача 4.3.1 (базовая задача). Металлическая сфера радиуса

R, несущая заряд q, расположена в безграничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε. Определить вектор поляризации Р(r) в произвольной точке среды, а также плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в диэлектрике.

Решение:

Внутри сферы (r < R) зарядов нет, поэтому по теореме Гаусса напряженность электрического поля там равна нулю.

В произвольной точке, находящейся на расстоянии r > R от центра сферы, напряженность поля в диэлектрике будет такой же, как от точечного заряда q, помещенного в центр сферы, и определяется формулой (4.10). Используя (4.4), (4.7), получаем

В нашем случае диэлектрик изотропный и сторонних зарядов внутри него нет, поэтому объемных связанных зарядов в нем не

116 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

возникает: ρ′ = 0. Этот вывод легко проверить независимо, вычисляя дивергенцию вектора Р в сферических координатах

Для вычисления поверхностной плотности связанных зарядов σ′ запишем два эквивалентные выражения для напряженности поля E в диэлектрике. Согласно (4.10), поле точечного заряда, эквивалентное полю заряженной сферы, в безграничном диэлектрике в ε раз меньше, чем в той же точке в отсутствие диэлектрика, т.е.

С другой стороны, эта напряженность поля реально создается сторонним зарядом q и поляризационным зарядом q′, образовавшимся на сферической границе диэлектрика

Замечание 1. Другой способ решения данной задачи основан на использовании соотношения (4.2): σ′ = P1n – P2n. Поляризация внутри металла P1 = 0, а вектор поляризации диэлектрика можно найти

из соотношения , где в силу симметрии задачи вектор

P = ε −1 D

ε

q

электрической индукции вне сферы D = 4πr3 r , а внутри сферы равен нулю.

Замечание 2. Результат справедлив для сферы любого радиуса R. Если устремить R к нулю, то сохранится выражение для вектора

P, а полный поверхностный связанный заряд будет оставаться постоянным: q′ = − ε ε−1q .

Если диэлектрик не безграничный, а представляет собой шаровой слой, внешний радиус которого равен R1 > R, то на внешней границе диэлектрика появляется связанный заряд –q′, равный по величине и противоположный по знаку связанному заряду q′, находящемуся на внутренней поверхности слоя. Равенство этих зарядов сразу следует из теоремы Гаусса для вектора Р (4.3): если в качестве поверхности S взять концентрическую сферу, радиус которой превышает R1, то полный связанный заряд внутри этой сферы равен нулю. За пределами диэлектрического слоя поле выглядит как поле точечного заряда q, расположенного в центре всех сфер, так как в этой области Р = 0.

Задача 4.3.2 (базовая задача). В плоский конденсатор параллельно обкладкам вставлена диэлектрическая пластинка из материала с проницаемостью ε (рис. 4.1). Определить величину вектора поляризации P и плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в пластинке. Заряд конденсатора q, площадь пластин S.

Решение

аналогично задаче 4.3.1. С учетом выбранного направления оси Х и указанных на рис. 4.1 знаков зарядов, имеем:

118 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где Е0 = σ/ε0 напряженность в отсутствие диэлектрика., σ = qS – плотность свободного заряда на пластинах конденсатора.

Отсюда находим σ′ = ε ε−1σ .

Вектор поляризации P определим из (4.4): P = æε0E, где

σ

æ = ε – 1, а E – напряженность поля внутри диэлектрика: E = ε0ε .

ε −1

Следовательно, P = ε σ , а направление вектора P совпадает с

направлением поля в конденсаторе. Этот же результат можно получить непосредственно из граничного условия (4.2). В нашем примере для нижней границы пластины можно записать (см. рис. 4.1)

Положительность результата означает совпадение направлений векторов нормали n12 и P1.

Эти рассуждения не зависят от толщины диэлектрической пластинки. Поэтому полученные выводы применимы и в том случае, когда диэлектрик занимает все пространство между пластинами конденсатора.

Замечание. Поле вектора электрической индукции D внутри конденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно найти поляризацию среды

Задача 4.3.3. Точечный заряд q находится в центре шара радиуса R из диэлектрика с проницаемостью ε1. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью ε2 (рис. 4.2). Найти поверхностную плотность связанных зарядов σ′ на границе раздела этих диэлектриков.

120 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учитывая выбранное на рис. 4.3 направление оси Х и знаки за-

Это следует также из (4.3), если в качестве поверхности S взять поверхность внутри конденсатора, заключающую в себе оба диэлектрика (суммарный связанный заряд внутри такой поверхности должен быть равен нулю). Тот же результат легко получить из граничного условия (4.2), если использовать найденные выше значения P1 и P2.

Замечание. Поле вектора электрической индукции D внутри конденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно сразу найти поляризацию сред

Задача 4.3.5. Однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью ε заполняет все нижнее полупространство. В вакууме на расстоянии h от его поверхности находится точечный заряд q. Определить поверхностную плотность поляризационных (связанных)