с инета для метод
.pdf
Гл. 8. Электромагнитная индукция |
241 |
нении магнитного поля В(t). В отличие от электростатического поля, поле Евихр не потенциально и возникает в отсутствие электрических зарядов. Локальная взаимная связь Евихр и В(t) определяется следующим уравнением (8.5), которое входит в систему четырех фундаментальных уравнений электродинамики Максвелла.
Дифференциальная форма закона электромагнитной индукции
∂B
rotEвихр = − ∂ . (8.5) t
Пользуясь теоремой Стокса ((7.8) главы 7) величину ЭДС индукции в замкнутом контуре L, вызванной вихревым электрическим полем, можно представить в виде (8.2):
|
|
∂ B |
|
∂ |
∂Φ |
|
E = ∫Eвихрdl = ∫rotE dS = −∫ ∂t |
dS = − |
|
∫BdS = − |
∂t . |
||
∂t |
||||||
L |
S |
S |
|
|
S |
|
Таким образом, интегральное соотношение (8.2) является универсальным, так как описывает оба варианта возникновения ЭДС, в том числе и при их совместном действии.
Индуктивность линейного проводящего контура (коэффициент самоиндукции) – коэффициент пропорциональности L между силой тока в контуре I и магнитным потоком Ф(I), который этот ток создает через произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур
Ф(I) = LI. |
(8.6) |
Индуктивность положительна, ее величина в вакууме определяется только формой и размером контура.
Единица индуктивности в системе СИ называется генри (Гн).
Энергия магнитного поля линейного контура с током
W = |
1 |
ФI = |
1 |
LI2 . |
(8.7) |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
||
Индуктивность произвольного проводящего контура определя-
ется из соотношения W = 1 LI2 . 2
Коэффициентом взаимной индукции линейных контуров Lji
называется коэффициент пропорциональности между магнитным
Гл. 8. Электромагнитная индукция |
243 |
8.4.Расчет индуктивности контуров, состоящих из линейных проводников.
8.5.Расчет индуктивности проводников с пространственно распределенными токами.
8.6.Определение коэффициента взаимной индукции контуров
§ 8.3. Методы решения и примеры решения задач
Задачи типа 8.1
Нахождение ЭДС индукции в линейных проводниках, движущихся в постоянном магнитном поле
Метод решения – применение общего интегрального соотношения (8.2) либо расчет на основании силы Лоренца (8.3).
В обоих случаях требуется выбрать контур, который проводится по линейным проводникам цепи.
Использование (8.3) требует расчета контурного интеграла для расчета работы силы Лоренца, и поэтому удобно при простой форме контура, например прямоугольной.
Применение (8.2) для нахождения ЭДС индукции требует определения потока через площадь контура, то есть интегрирования по поверхности, ограниченной контуром. Этот вариант будет проще, если все проводники лежат в одной плоскости, а величина нормальной компоненты индукции Вn на поверхности контура постоянна или задана легко интегрируемой функцией координат.
Использование релятивистского соотношения (8.4) для решения типовых задач курса общей физики в большинстве случаев не оправдано, поскольку приводит к ненужному усложнению. Это особенно проявляется в случае непоступательного движения проводников, например, при их вращении, поскольку закон преобразования полей (8.4) относится к инерциальным системам отсчета.
Задача 8.3.1 (базовая задача). Длинный прямой провод, по которому течет ток I0, и П-образный проводник ABCD с подвижной перемычкой AB длины l расположены в одной плоскости. Сторона CD контура расположена на расстоянии а от проводника. Перемычку перемещают с заданной постоянной скоростью v (рис.8.2). Найти:
Гл. 8. Электромагнитная индукция |
245 |
|||||
E(t) = − |
∂Ф = µ0I0l |
1 |
|
db |
= µ0I0l v . |
|
|
|
|||||
|
∂t |
2π b dt 2πb |
||||
ЭДС получилась положительной, то есть при переносе положительного заряда по выбранному положительному направлению обхода контура ее работа больше нуля.
Данный способ нахождения ЭДС индукции здесь не оптимален, так как в процессе решения после интегрирования выполняется дифференцирование полученного выражения, то есть, фактически, обратная операция.
Способ 2. Расчет ЭДС исходя из силы Лоренца (8.3).
Магнитная компонента силы Лоренца F действует только на подвижные заряды, находящиеся в движущейся перемычке, и при указанных направлениях векторов v и B направлена вверх; согласно (8.3)
1 |
∫FLdl = ∫[vB]dl = ∫Bvdl = Bv ∫dl = Bvl = |
µ0I0l |
|||||
E = |
|
|
v . |
||||
q |
2πb(t) |
||||||
|
|
Γ |
AB |
AB |
AB |
|
|
Интегрирование здесь происходит только по длине перемычки AB, поскольку остальные проводники неподвижны. Интеграл свелся к умножению, поскольку вектор индукции В одинаков во всех точках перемычки.
Этот способ, отражающий физическую причину появления ЭДС, в данном случае наиболее удобен.
Способ 3. Расчет с использованием релятивистского преобразования полей (8.4).
Рассмотрим задачу в системе отсчета, движущейся со скоростью перемычки v. В данной системе отсчета перемычка АВ неподвижна, а участок CD движется со скоростью –v. Согласно (8.4) в перемычке AB возникает вихревое электрическое поле EAB = [vB(b)], а на участке CD – поле EСD = [vB(a)], векторы напряженности которых на всех участках контура направлены вверх. На заряды, находящиеся в участке CD, действует также магнитная составляющая силы Лоренца F = q [(–v)B(a)], которая компенсирует действие электрического поля EСD. Таким образом, сила Лоренца в контуре действуют на заряды в направлении вдоль проводников только на участке AB и обусловлена электрическим полем, модуль напряженности которого E = vB(b). Это поле и вызывает появление ЭДС
246 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
E = El = Bvl = µ0I0l v .
2πb(t)
Легко убедиться, что в данном случае div E = div [v B(t)] = 0, то есть поле Е является вихревым.
Нахождение силы тока
Сопротивление контура пропорционально его периметру и равно R(t) = r′ 2[l + (b(t) – a)]. Поскольку индуктивность контура по условию мала, можно пренебречь ЭДС самоиндукции, и сила тока в каждый момент времени определяется по закону Ома из найденной выше ЭДС индукции
I(t) = |
E(t) |
= |
µ0I0 l v |
, где b (t) = а + vt. |
R(t) |
4π r′b(l + b − a) |
Сила тока получилась положительной, то есть его направление совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура против часовой стрелки. Создаваемый этим током магнитный поток, очевидно, противоположен по знаку потоку, порождаемому током I0, что соответствует правилу Ленца.
Ответ: 1) |
E = |
µ0I0l |
v , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2πb(t) |
|
|
2) |
I = |
|
µ0I0 l v |
, где b(t) = а + vt. |
|
|
4π r′b(l + b − a) |
||||
Задача 8.3.2. Круглая проволочная петля радиуса а и сопротивлением R, находящаяся в однородном постоянном магнитном поле с индукцией В, равномерно вращается вокруг своего диаметра, перпендикулярного к В, с угловой скоростью ω (рис.8.3). Пренебрегая индуктивностью петли, найти среднюю механическую мощность, необходимую для поддержания вращения.
Решение
Пусть ϕ(t) = ωt – угол между вектором В и вектором n нормали к плоскости петли. Тогда магнитный поток через контур
Ф(t) = πa2Bcosωt,
а ЭДС индукции
E = −Фɺ = πa2Bωsin ωt .
248 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ленное вдоль его оси. Цилиндр вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг своей оси (рис.8.4).
Найти: 1) разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и осью; 2) поверхностную σ и объемную ρ(r) плотности заряда в цилиндре.
Решение |
B |
|
|
||
Пусть для определенности вектор угловой |
ω |
|
скорости ω параллелен В. В стационарном ре- |
|
|
жиме, движения электронов вдоль радиуса ци- |
|
|
линдра нет, т.е. радиальная компонента скоро- |
Рис. 8.4. К расче- |
|
сти vr = 0, а имеется только перпендикулярная к |
ту ЭДС индукции |
|
во вращающемся |
||
радиусу компонента vϕ(r) = ωr. В проекции на |
||
цилиндре (задача |
||
радиальное направление второй закон Ньютона |
8.3.3) |
|
для электронов, движущихся по окружности с |
|
центростремительным ускорением ац = –ω2r, имеет вид
− mω2r = −e(ωrB + Er (r)),
где справа стоит полная сила Лоренца, Еr – радиальная компонента напряженности электрического поля, е – модуль заряда электрона. Перепишем это выражение в виде
eEr (r) = −eωrB + mω2r .
Величина mω2r обычно пренебрежимо мала по сравнению со слагаемым eωrB . Действительно ее отношение к магнитной силе Лоренца равно
mω2r |
= |
ω |
|
|
|
, |
|
eωrB |
|
||
|
(e / m)B |
||
что в большинстве случаев мало ввиду большой величины удельного заряда электрона (e/m =1.76 1011 Кл/кг). Например, при В ~ 10-2 Тл и ω ~ 104 рад/с это отношение имеет порядок 10–5. Поэтому приближенно можно считать, что,
Er (r) = −ωrB .
Данное радиальное электрическое Er(r) поле создается за счет перераспределения плотности электронов в цилиндре при его вращении.
Разность потенциалов между периферией и центром цилиндра будет равна
Гл. 8. Электромагнитная индукция |
249 |
aa
U = −∫E(r)dr = ∫ωrBdr = 1 ωBa2 .
2
00
Зная напряженность электрического поля, можно найти объем-
ρ
ную плотность заряда ρ из уравнения divE = ε0 . Учитывая, что
поле Е имеет только радиальную компоненту Er и используя выражение дивергенции в цилиндрических координатах, получим
1∂
ρ= ε0divE = ε0 r ∂r (rEr ) = −2ε0ωB .
Так как плотность заряда получилась постоянной, то объемный
заряд цилиндра
qоб = ρ·V = – 2ωε0Bπа2b.
Он отрицателен, поскольку магнитная сила Лоренца при заданной ориентации векторов В и угловой скорости ω вытесняет электроны от поверхности к центру цилиндра.
Поскольку в целом цилиндр не имеет заряда, то на его поверхности остается противоположный по знаку (т.е. положительный) поверхностный заряд qпов = – qоб = 2ωε0Bπa2b, поверхностная плот-
ность которого
σ = qпов = 2ωε0Bπa2b = ε ωBa.
S 2πab 0
Еще проще можно найти σ из граничного условия для вектора электрической индукции:
σ = – Dr(a) = – ε0Er(a) = ε0ωBa.
Ответ: 1) U = 1 ωBa2 ; 2) σ = ε0ωBa, ρ = −2ωε0B = const . 2
Задачи типа 8.3
Нахождение ЭДС индукции в переменном магнитном поле
Метод решения – применение (8.2).
Задача 8.3.4 (базовая задача). Плоский контур, имеющий вид двух квадратов со сторонами а и b соответственно, находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен его плоскости и меняется по закону B(t) = B0 cos ωt. Найти зависи-
