с инета для метод

сосредоточена половина всей энергии поля, а внутри сферы радиуса 3R уже 2/3 всей энергии.

Задача 5.3.2. Вычислить потенциальную энергию заряда q, равномерно распределенного по объему шара радиуса R. Диэлектрическая проницаемость вещества шара равна ε. Сравнить энергию поля внутри шара и вне его.

Решение

С помощью формулы (5.3) нельзя определить энергию электрического поля вне шара, поэтому сразу будем решать задачу, исследуя распределение энергии поля в пространстве.

Вне шара поле ничем не отличается от поля равномерно заряженной сферы, поэтому запасенная в нем энергия точно равна

Отношение этих энергий равно W1 = 5ε .

W2

Ответ: отношение энергии электрического поля вне шара, к энергии электрического поля внутри него равно 5ε.

Замечание. Полная потенциальная энергия шара W равна

q2 5ε +1

W = W1 +W2 = 8πε0 5εR .

Это же значение полной энергии шара можно также получить,

Аналогично задаче 2.3.9 главы 2 получаем, что потенциал электрического поля внутри равномерно заряженного по объёму шара из вещества с диэлектрической проницаемостью ε определяется как

152 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.3.3. Имеется проводящий шар радиуса r1 и концентричный с ним сферический проводящий слой, внутренняя поверхность которого имеет радиус r2 (r2 > r1), а внешняя – радиус r3 (r3 > r2). Заряды шара и слоя равны соответственно q1 и q2. Найти энергию этой системы зарядов.

Решение

Ввиду сферической симметрии системы, ее энергию легко подсчитать как энергию электрического поля.

Внутри шара и внутри проводящего слоя поля нет, т.е. при r < r1 и r2 < r <r3 E = 0. Напряженность поля в области r1 < r < r2

плотность энергии поля согласно (5.5), находим энергию в каждой области, вычисляя соответствующие интегралы (5.4):

154 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Полная энергия взаимодействия одного заряда со всеми остальными определяется суммой (5.2):

Задача 5.3.6. Точечный заряд q находится на расстоянии h от безграничной проводящей плоскости. Найти:

а) энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости,

б) собственную энергию зарядов, индуцированных на плоскости,

в) полную электрическую энергию этой системы.

Решение

а) Энергия взаимодействия W системы двух точечных зарядов определена формулой (5.1) теоретического материала. Для её применения следует выделить на плоскости участок очень малой площади dS, заряд которого dq = σ(r)dS можно считать точечным (см. рис. 5.2), записать энергию взаимодействия dW этого заряда с зарядом

q и просуммировать вклады в энергию всех зарядов плоскости, т.е. вычислить интеграл от dW по всем точкам плоскости.

Для расчета удобно использовать полярную систему координат (r, ϕ) с началом координат в основании перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки расположения заряда q (точка О на рисунке 5.2). В этой системе координат dS = rdr dϕ, и интегрирование по всей плоскости означает вычисление интеграла по ϕ в пределах от нуля до 2π и по r от нуля до бесконечности.

Плотность индуцированного на плоскости заряда σ, вычисленная в задаче 3.3.10 (глава 3), равна

б) для расчета собственной энергии индуцированных зарядов воспользуемся формулой (5.3), примененной к этим зарядам:

W = 12 ∫S ϕσσdS ,

пункт а). В данную формулу входит потенциал ϕσ, созданный самими поверхностными зарядами. Чтобы его найти, отметим, что потенциал бесконечной проводящей плоскости складывается из потенциала ϕσ, создаваемого самим поверхностным зарядом, и по-

1 q

тенциала точечного заряда ϕq = 4πε0 (h2 + r2 )1 2 . Примем потен-

циал на бесконечном расстоянии от заряда равным нулю. Тогда потенциал бесконечной проводящей плоскости тоже везде равен нулю (ϕσ + ϕq = 0), получаем

Вычисляя интеграл с найденным потенциалом, находим:

в) Согласно методу изображений поле над плоскостью совпадает с полем, создаваемым зарядом q вместе с его зарядомизображением –q. Так как в данном случае энергия сосредоточена лишь в полупространстве над плоскостью, то полная энергия сис-

156 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

темы равна половине энергии взаимодействия заряда q с его заря- дом-изображением. Отсюда, используя (5.1) получим:

Задача 5.3.7. Два диполя с моментами p1 и p2, которые лежат в одной плоскости на расстоянии r друг от друга, образуют с прямой, соединяющей диполи, углы θ1 и θ2 соответственно. Вычислить энергию взаимодействия диполей (рис. 5.3).

rкоторая определяет энергию диполя p

Рис. 5.3. Взаимная ориентация

диполей в задаче 5.3.7 во внешнем поле E. В нашем случае внешнее поле, действующее на ди-

поль p1, создается диполем p2. Поэтому энергия взаимодействия диполей равна

– напряженность поля, создаваемая вторым диполем в точке расположения диполя p1. Раскрывая скалярное произведение, находим

– равна нулю при θ1 = 0, θ2 = π/2;

Задачи типа 5.3

Определение работы электрических сил при изменении конфигурации системы.

Метод решения. Применяется закон изменения энергии: в электростатике работа сил электрического взаимодействия равна уменьшению потенциальной энергии системы.

Задача 5.3.8 (базовая задача). Сферическая оболочка радиуса

R1, равномерно заряженная зарядом q, расширилась до радиуса R2. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.

Решение

Потенциальная энергия равномерно заряженной сферы опреде-

q2

лена в задаче 5.3.1 и равна W = 8πε0R . При расширении оболочки

ее радиус увеличивается и потенциальная энергия уменьшается. Разность начальной и конечной энергии и равна работе электрических сил.

Задача 5.3.9 (базовая задача). Плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью S и расстоянием между ними d заряжен до разности потенциалов U и отключен от батареи. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между его пластинами на x?

Решение

При увеличении расстояния между пластинами конденсатора его емкость С уменьшается и, следовательно, изменяется величина запасенной в нем энергии. Если конденсатор отключен от батареи, то заряд q на его обкладках не изменяется. Для определения энергии конденсатора в этом случае удобно использовать формулу

158 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Выражая заряд конденсатора через первоначальную разность потенциалов q = CU получаем

A = ε0S xU 2 . 2d 2

Ответ: A = ε0S xU 2 . 2d 2

Замечание. Задачу можно также решать, используя понятие ра-

одну из пластин конденсатора со стороны электрического поля второй пластины, не зависит от расстояния между обкладками и равна

на расстояние x внешние силы совершат работу, равную, с точностью до знака, работе силы электрического поля

A = F x = ε0S xU 2 . 2d2

Задача 5.3.10 (базовая задача). Плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью S заряжен до разности потенциалов U. Не отключая конденсатор от батареи, медленно увеличивают расстояние между пластинами от x1 до x2. Какую работу выполняют при этом внешние силы?

Решение

Если конденсатор остается подключенным к источнику ЭДС, то при квазистатическом изменении расстояния между пластинами напряжение на пластинах остается постоянным и для расчета энер-

гии конденсатора следует использовать формулу W = CU 22, где

C = ε0Sx , х – расстояние между пластинами. При увеличении х емкость конденсатора уменьшается и, следовательно, его энергия

уменьшается. Электростатические силы, существующие в конденсаторе, не могут увеличить расстояние между пластинами, так как являются силами притяжения. Поэтому необходимы внешние силы, работа которых увеличит потенциальную энергию системы.

При раздвижении пластин уменьшается заряд на пластинах согласно соотношению q = CU. Этот заряд перетекает в источник ЭДС. Происходит квазистатический процесс: при малом увеличении х разность потенциалов между пластинами увеличивается и становится больше U. «Избыточный» заряд преодолевает встречное электрическое поле источника ЭДС и перетекает в источник. Тем самым восстанавливается равновесие в системе. Происходит увеличение потенциальной (например, химической) энергии источника на величину, равную работе против ЭДС источника

Wист = –А = – U q = (С1 – С2)U 2

с одновременным уменьшением энергии, запасенной в конденсаторе. По завершении процесса энергия конденсатора изменится на величину

Согласно закону сохранения энергии механическая работа Амех, совершаемая при удалении стеклянной пластины, равна

Замечание 1. При увеличении расстояния между пластинами на dx работа электростатических сил равна dA1 = – Fdx, где F = qE1 – сила, действующая на одну из пластин. Здесь q – заряд пластины, Е1 – напряженность поля, созданного зарядом второй пластины; она равна половине напряженности поля в конденсаторе Е. Так как q = CU, E = U/x, находим

160 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Замечание 2. В обоих случаях q = const (задача 5.3.9) и U = const (данная задача) сила взаимодействия пластин получилась одинаковой. Действительно, силы определяются только зарядами на пластинах и не зависят от внешних цепей, куда подключен конденсатор.

Задача 5.3.11. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластина, толщина которой составляет η = 0,6 расстояния между обкладками. Конденсатор сначала подключили к источнику постоянного напряжения U = 200 В, затем отключили и после этого медленно извлекли пластину из зазора. Емкость конденсатора в отсутствие пластины С = 20 нФ. Найти работу, совершенную против электрических сил при извлечении пластины, если пластина: а) металлическая; б) стеклянная с диэлектрической проницаемостью ε = 5.

Решение

Работа, совершенная внешними силами, целиком пойдет на увеличение потенциальной энергии электрической системы, в данном случае – энергии отключенного от источника напряжения конденсатора. Согласно закону сохранения энергии можно искомую работу рассчитать как изменение энергии, запасенной в конденсаторе. При отключенном источнике ЭДС, на обкладках конденсатора сохраняется заряд Q и энергию конденсатора следует рассчитывать

по формуле W = Q2 . При вытягивании пластины емкость конден- 2C

сатора уменьшается, а запасенная в нем энергия увеличивается.

а) Пусть толщина металлической пластины равна h. Тогда на-

ε S

чальная емкость конденсатора будет C1 = d 0− h , где S – площадь

обкладки, d – расстояние между обкладками. После того как пластина будет удалена из конденсатора, его емкость станет равна

C = ε0S . Изменение потенциальной энергии конденсатора d

Выражая заряд конденсатора через начальную разность потенциалов Q = C1U, находим окончательный ответ: