Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

с инета для метод

.pdf

Скачиваний:

1529

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

5.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Гл. 3. Проводники в электростатическом поле

Для расчета потенциала используем его связь с напряженностью поля (2.17) и условие его непрерывности. Считая значение потенциала на бесконечности равным нулю, получаем следующий ответ:

r ≥ R3 :

φ1(r) = k

;

R2 ≤ r ≤ R3:

φ2(r) = k

– потенциал постоянен;

Рис. 3.3а

R22

R32

−

Рис. 3.3б

R1 ≤ r ≤ R2: φ3(r) = k

+ С;

Константа С определится из условия непрерывности потенциа-

ла при r = R2:

−

C = kq

Итак, в области R1 ≤ r ≤ R2 имеем

φ3(r) = kq

−

При r ≤ R1 потенциал остается постоянным и равным

ϕ4

= kq

−

График зависимости φ(r) представлен на рис.3.3б.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Ответ: r > R3

: Е = k

φ1(r) = k

;

R2 < r < R3

: Е = 0,

φ2

= k

;

−

R1 < r < R2

: Е = k

2 ,

φ3(r) = kq

;

r < R1

: Е = 0,

φ4

−

= kq

Замечание. Разумеется, ответ можно сразу получить, если использовать известные формулы для потенциала сферы радиуса R:

φ(r) = k	q	при r ≥ R;	φ = k	q	= const при r ≤ R

	r			R
и принцип суперпозиции.

Задача 3.3.5. В условиях задачи 3.3.4. сферический слой заземлен. Найти потенциал шара.

Решение

Вданном случае поле Е и потенциал φ в области пространства

сr > R2 равны нулю. Поле Е в пространстве с R1 < r < R2 будет равно

Е= k q2

и разность потенциалов φ12, а, следовательно, и потенциал шара φ1, будут равны

R2		1		1
ϕ1 = ∫			−
	Еdr = kq	R1		R2	.
R1

		1		1
Ответ:	ϕ = kq		−		.
Ответ:	ϕ = kq		−		.
	1	R1		R2
		R1		R2

Замечание. Внутренняя поверхность металлического слоя в этом случае имеет заряд –q, а внешняя поверхность не заряжена.

Задача 3.3.6. Имеются три концентрические сферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. Сферы 1 и 3 несут заряды соответственно +Q и −Q. Средняя сфера 2 заземлена проводником, искажающим действием которого на поле можно пренебречь (рис.3.4). Найти заряд q заземленной сферы 2.

Гл. 3. Проводники в электростатическом поле

Решение

Пусть индуцированный заряд на сфере 2 равен q. Так как потенциал φ2 этой сферы равен нулю, то

∞

q + Q

∞ q + Q −Q

0 =

ϕ2

= ∫Е(r)dr = k ∫

dr + k ∫

1 ∞

(q + Q)

1 R3

= kq

−

+ k

−

= k

+ k(Q + q)

−

r R3

r R2

= k

−

Отсюда

−

или

q = Q

< 0 .

= Q

−1

	R
	2		< 0 .

Ответ: q = Q	R3	−1
	R3

Замечание. При решении этой задачи можно воспользоваться известными формулами для потенциала заряженной сферы и сразу записать потенциал средней заземленной сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:

		Q		q		Q
ϕ2			+		−		= 0 , откуда сразу

	= k	R1		R2		R3
		R1		R2		R3

		R
получаем ответ		2

	q = Q	R3	−1 .
		R3

R3 R2

O Q

–Q

Рис.3.4. Система из трёх концентрических сфер с заземлённой средней сферой (задача 3.3.6)

Отметим, что теперь, зная заряды всех сфер, можно по аналогии с задачей 3.3.4 найти зависимости Е(r) и φ (r).

Задача 3.3.7. Имеются три незаряженные концентрические сферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. На вторую сферу помещают заряд +Q, а сферы 1 и 3 соединяют проводником, искажающим действием которого можно пренебречь (рис.3.5). Найти зависимости E(r) и φ(r) и построить их графики.

94	ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение

Для решения задачи нужно сначала узнать заряды сфер 1 и 3. Пусть на сфере с радиусом R1 индуцируется заряд q1, на сфере с радиусом R3 – заряд q2. Тогда q1 + q2 = 0, φ1 = φ3 и, следовательно,

R3 q + Q

∫

∫r2

∫

0 =

= k

E(r)dr = k

dr + k

−

= k(Q + q1 )

+ kq1

−

+ kq

−

= kQ

R3 − R2

+ kq

R3 − R1

R2 R3

R1R3

Рис.3.5. Система из

трёх кон-

Отсюда q = −q

= −Q

R3 − R2

, при

центрических

сфер,

которой

R3 − R1

внутренняя и

внешняя

сферы

этом

соединены проводником (задача

3.3.7).

Зная заряды всех сфер, можно по

Q + q1

аналогии с задачей 3.3.4.

найти зави-

− k

симости Е(r) и φ (r) и построить их

графики (рис. 3.6).

r Ответ:
r < R1:
	q			Q		q
E(r) = 0;		1	+		−	1	;

	φ(r) = k	R1		R2		R3
ϕ		R1		R2		R3
ϕ

R1 < r < R2:

E(r) =

k r2

; φ(r) =

r + R2

−

;

< r < R

0 R1 R2 R3

Q + q1

Рис. 3.6. Зависимость

напряжен-

E(r) = k

;

φ (r) =

;

ности и потенциала от расстоя-

ния до центра сфер в задаче 3.3.7

r > R3:

E(r) = k

;

φ (r) =

Гл. 3. Проводники в электростатическом поле

Замечание. Для определения зарядов сфер 1, 3 проще воспользоваться готовыми формулами для потенциала сферы и сразу найти потенциал каждой сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:

ϕ1

, ϕ3

= k , q1 = –q2, ϕ1 = ϕ3,

= k

отсюда

−

и q = −Q

R3 − R2

R3 − R1

Задачи типа 3.3

Определение силы взаимодействия точечного заряда или диполя с проводящей сферой или плоскостью, а также определение поверхностной плотности индуцированных на проводнике зарядов

Метод решения. Применение метода электростатических изображений (см. теоретический материал). Замена полей, создаваемых зарядами на поверхности проводника, полем одного (или более) фиктивного точечного заряда позволяет легко вычислить силу взаимодействия, применяя закон Кулона. Чтобы определить плотность индуцированных зарядов, надо найти напряженность поля, создаваемого этой системой точечных зарядов в произвольной точке на поверхности проводника, и затем применить формулу (3.1).

Задача 3.3.8 (базовая задача). На расстоянии h от проводящей бесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определить величину напряженности поля Е в точке А, отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h.

+q	h A	E1
+q		ϑ
h	E2	ϑ
	E2	E


	α

	Решение	–q
	Строим заряд-изображение –q в	–q
	Строим заряд-изображение –q в
	соответствии с теоретическим мате-	Рис 3.7. Определение напря-
	риалом (рис. 3.7). Напряженность поля	женности поля, создаваемого
	в точке А есть векторная сумма напря-	точечным зарядом +q над бес-
	женностей Е1 и Е2 от зарядов q и –q. Из	конечной проводящей плоско-
	геометрии задачи следует:	стью (задача 3.3.8)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Е1 = k h2 , E2 = k 5h2 .

По теореме косинусов

E2 = E2 + E2

– 2 E1E2 cosϑ,

где cosϑ = sinα =

. Отсюда получаем:

E = k

26 − 2

5 .

5h2

Ответ: E = k

26 − 2 5 .

5h2

Задача 3.3.9. На расстоянии h от заземленной проводящей

бесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определить

плотность индуцированного заряда в произвольной точке на плос-

кости.

Решение

Строим заряд-изображение –q (рис. 3.8). Ввиду осевой симмет-

рии системы положение произвольной точки А на плоскости можно

задать всего одним параметром –

ее расстоянием r от основания

перпендикуляра,

опущенного

из

точки

нахождения

заряда

на

плоскость. От такой точки плоско-

–q

сти расстояние

до

заряда

равно

r2 + h2

, а напряженность поля

Рис 3.8. К определению поверхност-

E1 = k

ной плотности заряда, индуцирован-

+ r2

ного на

бесконечной

проводящей

плоскости (задача 3.3.9)

Учитывая, что

E1 = E2,

нахо-

дим полную напряженность Е в точке А, суммируя векторы E1 и E2:

2qh

E = k

(h2 + r2 )3/ 2 .

Вектор Е направлен перпендикулярно плоскости в сторону от положительного заряда к отрицательному, то есть в сторону плос-

кости (рис. 3.8). Вблизи проводника, согласно (3.1), Е = ε0 , причем

вектор Е направлен в сторону плоскости только в случае σ < 0. Приравнивая оба выражения для Е, находим

Гл. 3. Проводники в электростатическом поле

σ(r) = − 2π(h2 + r2 )3/ 2 .

Для проверки полученного результата вычислим полный заряд q', индуцированный на плоскости. Он должен быть равен –q, так как все силовые линии, исходящие из заряда q, заканчиваются на плоскости. Чтобы вычислить q', выделим часть плоскости, лежащую между окружностями радиусов r и r + dr. Площадь этой части плоскости равна 2πrdr, и на ней находится заряд dq'= σ(r) 2πrdr. Интегрируя по r в пределах от нуля до бесконечности, находим полный заряд q'

	∞		rdr
	q′ = −qh∫		rdr	= −q.

		(r2	+ h2 )3/ 2
	0
Ответ: σ(r) = −	qh		.

	2π(r2 + h2 )3/ 2

Задача 3.3.10. Точечный заряд q находится на расстоянии b от центра заземленного металлического шара радиуса r (b > r). Определить силу притяжения F между зарядом и шаром. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заряд в бесконечно удаленную точку?

Решение

Потенциал заземленного шара считаем равным нулю. В соответствии с §3.1. строим заряд-изображение

q′ = −q

находящийся

на

рас-

стоянии

q x

q' = –

a =

от

центра

шара

(рис 3.9).

Рис 3.9. Точечный заряд q вблизи заземлённого

Поскольку

поле,

металлического шара и заряд-изображение q' (за-

дача 3.3.10)

создаваемое

индуциро-

ванными зарядами на шаре в точке нахождения заряда q, эквивалентно полю заряда-"изображения" q′, то искомая сила взаимодействия между шаром и зарядом q равна силе притяжения данных

98	ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

зарядов противоположного знака q и q′, определяемой законом Кулона. Следовательно, величина этой силы F равна:

		qq′		brq	2

F = k			= k			.

	(b − a)2			(b2 − r2 )2

При удалении заряда от шара за счет внешней силы будет также изменяться и положение (координата x) заряда-изображения. Учитывая, что внешняя сила направлена по оси х и выполняя интегрирование, находим величину ее работы, необходимой для полного разведения зарядов:

∞	∞	rq2 xdx		rq2
A = ∫F(x)dx = k∫			= k		.
A = ∫F(x)dx = k∫		(x2 − r2 )2	= k	2(b2 − r2 )	.
b	b

Эта работа положительна, поскольку совершена внешней силой против электрических сил притяжения.

Ответ: F = k	brq2	;	A = k	rq2	.
	(b2 − r2 )2
				2(b2 − r2 )

Задача 3.3.11. Точечный заряд q находится на расстоянии b от центра изолированного незаряженного металлического шара радиуса r. Определить силу притяжения F между зарядом и шаром.

Решение

Если шар изолирован, то его потенциал, вычисленный в задаче

3.3.1, равен k	q	. Поскольку заряд-изображение	q′ = −	qr	обеспе-

	b			b

чивает равенство потенциала сферы нулю, то для увеличения ее потенциала до нужного значения надо добавить в центр шара то-

чечный заряд q'' такой, чтобы потенциал сферы стал равен k q . b

Величину заряда q'' легко установить: она должна удовлетворять

соотношению k	q′′	= k	q	, откуда	q′′ = q	r	. В области вне шара

	r		b			b

электростатическое поле будет в точности совпадать с полем, созданным тремя точечными зарядами: q, q'' и зарядом-изображением q′ = − qr .

Гл. 3. Проводники в электростатическом поле

К этому же выводу можно придти и по-иному: поток вектора Е через поверхность шара должен равняться нулю, т.к. шар не заряжен. Отсюда по теореме Гаусса следует, что сумма зарядов, размещаемых нами внутри шара для моделирования внешнего поля, так-

же должна равняться нулю: q'' + q' = 0, что опять приводит к равенству q′′ = q(rb).

Теперь вычисляем силу, действующую на заряд q, как сумму двух сил от точечных зарядов q′ и q′′. Первое слагаемое в скобках соответствует притяжению зарядов q, q', второе – отталкиванию зарядов q, q''. Хотя заряды q' и q'' одинаковы по модулю, в итоге получается сила притяжения, поскольку заряд q' находится к q ближе, чем заряд q''.

Ответ: F = 4πε0

	2			b					1
rq								−			.
rq			2		2		2	−		3	.
		(b	2	− r	2	)	2		b	3
		(b		− r		)			b

Замечание. Можно дополнительно вычислить и работу, необходимую для удаления заряда q на бесконечность. Она вычисляется совершенно аналогично расчету, приведенному в задаче 3.3.11. В

r3q2

нашем случае она равна A = k 2b2 (b2 − r2 ) . Как и следовало ожи-

дать, она меньше, чем в случае заземленного шара предыдущей задачи, потому что тогда за счет заземления на шаре появлялся отличный от нуля индуцированный заряд противоположного знака и требовалась дополнительная работа по преодолению его силы притяжения.

Задача 3.3.12. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии h от последней. Найти: а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости на оси кольца; б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.

Решение

Воспользуемся результатом решения базовой задачи 1.3.5, в которой получено значение напряженности поля на оси заряженного кольца на произвольном расстоянии z от его плоскости:

E(z) =	1			qz	.
			(R2	+ z2 )3/ 2
4πε		0

100	ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Заряд-изображение имеет вид заряженного отрицательно кольца, расположенного симметрично относительно плоскости. Ответы на вопросы задачи получим, суммируя вклады от заряда q и заряда-изображения.

а) Речь идет о точке плоскости, через которую проходит ось кольца. Для нее z = h и векторы напряженности от двух колец направлены одинаково. Поэтому суммарная напряженность равна

E = 2E(h) =	1			qh	.
E = 2E(h) =			(R2	+ h2 )3/ 2	.
2πε		0	(R2	+ h2 )3/ 2
		0

Искомую плотность заряда найдем из формулы (3.1), что дает

ответ а):

σ = −	1	qh	.
σ = −	2π (R2 + h2 )3/ 2		.
	2π (R2 + h2 )3/ 2

б) Напряженность в центре кольца создается только зарядомизображением. Для этой точки

z = 2h и E =	1	qh	.

2πε0 (R2 + 4h2 )3/ 2

Мы считали q > 0, поэтому вектор Е направлен вдоль оси кольца в сторону плоскости. Итак, получена первая часть ответа б).

Задача о потенциале для точек на оси такой системы двух колец решена в главе 2 (см. задачу 2.3.5). В общий ответ, полученный при нормировке потенциала на нуль в бесконечно удаленной точке,

	1	q1		q2
ϕ =	1	q1	+	q2	,
ϕ =			+		,
4πε0		R2 + (x − h)2		R2 + (x + h)2

надо подставить q1 = q, q2 = –q, x = h.

	q	1				1
В итоге получаем: ϕ =			−					, где ϕ – потен-
В итоге получаем: ϕ =			−					, где ϕ – потен-
		R		R	2	+ 4h	2
	4πε0	R		R		+ 4h

циал средней точки кольца относительно проводящей плоскости (или, эквивалентно, относительно бесконечно удаленной точки).

Вэтом частном случае, когда заряды q1 и q2 равны по величине

ипротивоположны по знаку, потенциал в точке x = 0 тоже равен нулю. Это означает, что вся проводящая плоскость из условия задачи имеет равный нулю потенциал.

Ответ: a) σ = −	1	qh	;
Ответ: a) σ = −	2π (R2 + h2 )3/ 2		;
	2π (R2 + h2 )3/ 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.20182.69 Mб27рустам курсовой (2).docx
#
14.11.2019118.27 Кб9рыночн.doc
#
20.12.2018239.62 Кб16РЭУБД.doc
#
17.03.2015860.16 Кб284Ряд и преобразование Фурье методичка.doc
#
26.09.201958.42 Кб9с 1 по 10 ТУ.docx
#
17.03.20155.91 Mб1529с инета для метод.pdf
#
17.03.2015652.72 Кб12С.И.К. 1995.doc
#
17.03.2015585.22 Кб27С.И.К. 1998.doc
#
08.11.2018775.71 Кб16САК лаба 1 Исследование передаточных функций.docx
#
17.03.20155.44 Mб19Салаватский Нефтехимик.pdf
#
14.11.2018822.27 Кб6Самостоят+расчет.doc