с инета для метод

42 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение

Выберем систему координат так, чтобы диполь находился в на-

плоскостью у = const, будет иметь постоянное значение. При этом величина Е определяется разностью двух векторов, один из которых направлен по радиусу, а второй параллельно р.

Найдем проекции этой разности на координатные оси:

1 3p

Ex = 4πε0 R3 cos ϑ sinϑ

и

Разумеется, эту формулу можно было сразу взять из решения задачи 1.3.23, где она была получена в полярных координатах.

Задача 1.3.26. Точечный электрический диполь с моментом p = 10−12 Кл м равномерно вращается с угловой скоростью ω отно-

сительно оси, перпендикулярной вектору момента диполя и проходящей через его центр. Найти мгновенное значение напряженности электрического поля в точке М, лежащей в плоскости вращения диполя на расстоянии х0 = 2 см от него в момент t = T/6, где Т – период вращения. Угол поворота φ отсчитывается от направления от диполя на точку М. В начальный момент (t = 0) положить φ = 0.

Решение

В задаче 1.3.23 получена общая формула для вычисления модуля напряженности при заданном полярном угле φ. Здесь надо применить эту формулу в точке r = 2 см в момент времени t = T/6, когда φ = ωT = π/3. Остается только подставить все известные численные

значения и получить численный ответ: E = 91613 103 В/м.

Ответ: E = 91613 103 В/м.

Замечание. Приведенное решение, использующее формулы электростатики для нахождения переменного электрического поля от вращающегося диполя, асимптотически справедливо только на малых расстояниях r от диполя, удовлетворяющих условию r << c/ω, где с – скорость света (электромагнитной волны). В общем случае надо учитывать излучение электромагнитных волн вращающимся диполем [1, §61; 2, §99].

Задача 1.3.27. Пластины плоского конденсатора, имеющие вид тонких дисков, заряжены зарядами +q и (–q) соответственно. Расстояние между пластинами l много меньше размеров самих пластин. В дипольном приближении найти величину напряженности электрического поля на расстоянии r от конденсатора, много большем его размеров. Распределение заряда на пластинах считать равномерным.

Решение

Поскольку полный заряд системы равен нулю, дипольный момент можно считать относительно любой точки, в качестве которой удобно взять центр нижней пластины. Ввиду симметрии системы относительно оси Z (см. рис.1.24) вектор дипольного момента p будет иметь только z-компоненту pz. Найдем ее.

где Ar – проекция вектора A на радиальное направление. В более сложных случаях следует взять из справочника по математике полное выражение дивергенции в сферических или цилиндрических координатах.

Задача 1.3.28. Заряженный шар радиуса R создает в простран-

Задача 1.3.29. С какой объемной плотностью ρ следует распределить электрический заряд в шаре, чтобы поле внутри него было везде направлено вдоль радиуса и имело одинаковую величину Е?

Решение

Система сферически симметрична, поэтому используем формулу (1.15). Напряженность в произвольной точке внутри шара запишем в векторном виде: Е = Ее, где е – единичный вектор, направленный вдоль радиуса. Из (1.15) находим:

Отсюда получаем ответ: ρ = 2ε0Er . Из физических соображе-

ний ясно, что создать такое поле невозможно (в центре шара объемная плотность заряда должна быть бесконечно большой). Отме-

тим, что при этом полный заряд внутри любой малой сферы радиуса r, выделенной вокруг центра шара, будет конечным и равным q(r) = 4πε0Er2, т.е. будет стремиться к нулю с уменьшением радиуса выбранной сферы.

Ответ: ρ = 2ε0 E . r

§1.4. Задачи для самостоятельного решения

1.4.1. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках с радиус-векторами r1 и r2. Найти величину отрицательного заряда q3 и радиус-вектор r3 точки, в которую его необходимо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.

1.4.2. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

q

Ответ: Q = 3.

1.4.3. Тонкая непроводящая палочка длиной L = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равен q = 3,5·10–7 Кл. Какой точечный заряд Q нужно поместить на расстоянии d = 0,06 м от середины палочки на её продолжении, чтобы на него действовала сила F = 0,12 H?

1.4.4. Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

q

Ответ: E = 2π2ε0 R2 = 100 В/м.

1.4.5. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд (–q). Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии x >> R.

3qR2

Ответ: E = 8πε0x4 .

1.4.6. Система состоит из тонкого заряженного проводящего кольца радиуса R и очень длинной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет заряд q. Найти силу взаимодействия кольца и нити.

τq

Ответ: F = 4πε0 R .

1.4.7. Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиуса R и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояние L. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ.

1.4.8. Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены с линейной плотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии на расстоянии h от плоскости, в которой лежат провода.

2τd

Ответ: E = πε0 (4h2 + d 2 ) .

1.4.9. Шар радиуса R сферически симметрично заряжен по объему зарядом Q так, что ρ(r) ~ r2. Определить напряженность электрического поля в точках А и В, если rA = 0,5R, a rB = 2R.

1.4.10. Имеются два сферических распределения зарядов с объёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точках О1 и О2,

48 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

сдвинутых относительно друг друга на вектор а, такой, что a < │О1О2│< R), где R – радиус сфер. Найти напряженность электрического поля в пространстве перекрытия зарядов.

ρ

Ответ: E = 3ε0 a.

1.4.11. Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ0 cos ϑ, где σ0 – положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.

Ответ: E = − σ0 k , где k – орт оси Z, от которой отсчитывает- 3ε0

ся угол ϑ. Поле внутри данной сферы однородно.

1.4.12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R, объёмная плотность заряда которого ρ = ar, где а – постоянный вектор, а r – радиус-вектор, проведенный из центра шара.

R2

Ответ: E = − 6ε0 a .

1.4.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит от расстояния r до его центра по закону

а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r;

б) максимальное значение напряженности электрического поля Emax и соответствующее ему расстояние rm.

1.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объёмной плотностью ρ = ρ0e−αr3 , где ρ0 и α – положительные констан-

ты, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r.

1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Заряды сфер соответственно равны q1 = 2 нКл и q2 = –1 нКл. Определить напряженность электрического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии: 1) r1 = 3 см; 2) r2 = 6 см; 3) r3 =10 см.

Найти напряженность электрического поля во всём пространстве.

1.4.17. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностью σ = σ0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (оси X) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра (рис.1.25). Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси цилиндра Z.