с инета для метод

Внутри цилиндра потенциал убывает по квадратичному закону, а снаружи – как логарифм расстояния от оси цилиндра.

Сохраняя цилиндрическую симметрию, перенесем весь заряд на поверхность цилиндра, сохраняя линейную плотность заряда τ = πR2ρ. Внутри заряженной цилиндрической поверхности заряда нет и напряженность поля равна нулю. Значит, потенциал во внутренней области равен нулю (при нормировке потенциала, указанной в условии). Потенциал вне цилиндра опять, как и прежде, будет

τ r

равен φ2(r) = − 2πε0 ln R .

Если уменьшать радиус цилиндрической поверхности, то в пределе она превратится в бесконечную прямую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью τ. Из-за неопределенности значения ln(rR) при r → 0 и R → 0 нельзя полагать равным нулю

значение потенциала на нити. Поэтому для нормировки потенциала придется использовать какое-либо другое условие, т.е. положить равным нулю значение потенциала в произвольно выбранной точке. Отметим, что физический смысл имеет только разность потенциалов. Например, в точках, удаленных от нити на заданные расстоя-

Задачи типа 2.4

Построение картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для заданной системы неподвижных зарядов

Метод решения. Обычно рассматриваются достаточно простые конфигурации, когда условия симметрии в достаточной мере определяют характер силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Хорошо, если задача сводится к построению плоской картины. Иногда из общих соображений удается сделать вывод о расположении поверхностей, на которых потенциал равен нулю, иногда приходится выполнить расчет для получения уравнения эквипотенциальной поверхности. Силовые линии должны начинаться на положительных зарядах (или приходить из бесконечности) и заканчиваться на отрицательных зарядах (или уходить на бесконечность). Принимаем во внимание, что вблизи точечных зарядов силовые линии расходятся радиально и равномерно. Во всех точках следим, чтобы силовые линии и эквипотенциальные поверхности были взаимно перпендикулярными. Силовые линии нигде не должны пересекаться друг с другом. Густота линий тем больше, чем больше напряженность поля в данной области. Вблизи точечного заряда эквипотенциальные поверхности будут сферами (на плоскости – окружностями). Если заряды расположены в ограниченной области, то на больших расстояниях от них эквипотенциальные поверхности также будут сферами.

Задача 2.3.12. Начертить схему силовых линий электрического поля и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точеч-

не меняет знака при удалении от центральной точки. Это означает, что в некоторой промежуточной точке плоскости величина напряженности достигает максимума, и именно там густота линий будет наибольшей. Направление на эту точку (точка А на рис. 2.6) задается углом, для которого tg φ = 12 (φ – угол, отсчитываемый от линии, проведенной через заряды). Картина силовых линий показана на рис. 2.6. Картину эквипотенциальных поверхностей легко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям. На больших расстояниях от зарядов эквипотенциальные поверхности будут сферами.

Задача 2.3.14. Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов +q и +2q, находящихся на расстоянии d друг от друга.

Решение

Решение. Ввиду осевой симметрии системы достаточно рассмотреть картину силовых линий в плоскости, проходящей через заряды. Поскольку оба заряда положительные, все силовые линии начинаются на зарядах и заканчиваются на бесконечности. Отсюда ясно, что на выделенной плоскости должна существовать линия,

близка к картине силовых линий положительного заряда: силовые линии выходят из каждого заряда симметрично, а сечением эквипотенциаль-

ных поверхностей рассматриваемой плоскостью, являются окружности. В то же время понятно, что на очень больших расстояниях от зарядов эквипотенциальные линии вновь становятся почти ок-

ружностями. Ясно, что внутренняя часть должна отделяться от внешней части некоторой эквипотенциальной линией, проходящей через точку А. Потенциал поля в точке А равен

На линии, соединяющей заряды +q и +2q, находим точки В и О, в которых потенциал равен потенциалу точки А. Разграничительная эквипотенциальная линия проходит через точки А, В, и О. Общая картина изображена на рис. 2.7.

Задача 2.3.15. Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для тонкого равномерно заряженного стержня.

Решение

Учитывая свойства симметрии системы, поместим начало координат в центр стержня, а ось Z направим вдоль стержня. Ясно, что достаточно рассмотреть картину в плоскости XZ при x > 0 и z > 0. Все силовые линии должны начи-

Zнаться на стержне и уходить в бесконеч-

ность.

Силовая линия, выходящая из центра стержня, совпадает с положительной осью x, а силовая линия, выходящая из

конца стержня, пойдет вдоль оси Z. На большом расстоянии от стержня эквипотенциальные линии становятся близкими к окружностям. Для анализа картины вблизи начала координат можно воспользоваться решением задачи 2.3.1. Общая картина силовых линий схематически представлена на рис. 2.8. Поведение эквипотенциальных поверхностей

легко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям.

Задача 2.3.16. Два точечных заряда q и –nq (n >1) расположены на расстоянии d друг от друга. Доказать, что одна из эквипотенциальных поверхностей такой системы есть сфера конечного радиуса. Определить радиус этой сферы и положение ее центра.

d

x на расстояние b = − n2 −1 . Записывая это уравнение через координату x1 = x – b, получаем уравнение окружности в стандартном

Задача 2.3.17. Точечный диполь, момент которого равен p, находится в однородном поле напряженности E. Направление дипольного момента совпадает с направлением поля. Доказать, что

2.4.2. Найти потенциал в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда σ.

σR

Ответ: ϕ = 2ε0 .

2.4.3. Бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной плотностью заряда τ = 0,4 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов между точками 1 и 2, если точка 2 находится в η = 2 раз дальше от нити, чем точка 1.

2.4.4. Три плоскости расположены параллельно друг другу на расстоянии h одна от другой. Каковы разности потенциалов между плоскостями, если на первой находится равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью заряда +σ1, на второй +σ2 и на третьей (– σ3).

Δϕ13 =Δϕ12+Δϕ23.

2.4.5. Принимая Землю за шар радиуса R = 6400 км, определить заряд Q Земли, если напряженность электрического поля у поверхности Земли составляет Е = 130 В/м. Определить потенциал φ поверхности Земли, принимая φ∞ = 0.

2.4.6. Заряды распределены равномерно по поверхности двух концентрических сфер с радиусами R1= 10 см и R2 = 20 см, причем поверхностные плотности электрического заряда на обеих сферах одинаковы. Найти плотность заряда σ, если потенциал в центре сфер равен 300 В, а на бесконечности равен нулю.

Ответ: σ = ϕ0ε0 = 9·10-9 Кл/м2.

R1 + R2

2.4.7. Две концентрические сферы с радиусами R и 2R заряжены равномерно зарядами одного знака: внутренняя – одним микро-

80 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

кулоном, внешняя – двумя микрокулонами. На расстоянии 3R от центра сфер потенциал φ = 9000 В. Найти R.

2.4.8. Две концентрические сферы с радиусами R1 и R2 (R1 < R2) получили заряды Q1 и Q2 соответственно, которые распределились равномерно по их поверхностям. Найти потенциал на расстоянии r от центра сфер.

2.4.9. Две коаксиальные цилиндрические поверхности с радиусами R1 и R2 (R1 < R2) равномерно заряжены с поверхностными плотностями заряда σ1 и σ2 соответственно. Вычислить напряженность электрического поля и потенциал этой системы зарядов, считая, что на оси цилиндров потенциал φ0 = 0.

2.4.10. Шар радиуса R заряжен по объёму зарядом Q так, что объемная плотность заряда ρ ~ r2, где r – расстояние от центра шара. Определить разность потенциалов ∆φАВ между точками А и В, если они отстоят от центра на расстояния rA = 0,5R и rB = 2R соответственно.

Указание: см. задачу 1.4.9.