821

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова"

Н. В. Деменева

Аналитическая геометрия

Кривые второго порядка

Учебное пособие

Пермь

ИПЦ "Прокростъ"

2019

УДК 514.12 ББК 22.151.5 Д-30

Рецензенты:

И. К. Березин, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник (ИМСС УрО РАН).

В. В. Аюпов, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики (ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ).

Д-30 Деменева, Н. В.

Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка : учебное пособие / Н. В. Деменева; Министерство сельского хозяйства Российской Федерации, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова". – Пермь : ИПЦ "Прокростъ", 2019. – 310 с. : ил. ; 29 см. – Библиогр.: с.310. – 50 экз. – ISBN 978-5-94279-461-3.– Текст : непосредственный

В учебном пособии доступно и наглядно изложен математический аппарат кривых второго порядка, необходимый инженеру для решения профессиональных задач.

Учебное пособие содержит теоретический материал, примеры, прикладные задачи, в том числе задачи, ориентированные на профессиональную деятельность инженера, контрольные вопросы, упражнения, индивидуальные задания и тесты.

Учебное пособие предназначено для организации учебной и самостоятельной работы, а также текущего и итогового контроля знаний и умений обучающихся направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств.

УДК 514.12 ББК 22.151.5

Печатается по решению методического совета Пермского государственного аг- рарно-технологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова (Протокол № 8 от 13.05.19.)

Учебное издание Деменева Надежда Валерьевна

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Учебное пособие

Подписано в печать 11.10.19. Формат 60x80 1⁄8 Усл. печ. л. 38,75. Тираж 50 экз. Заказ №150.

ИПЦ "Прокростъ"

Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова

614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 Тел. (342) 217-95-42

2

Оглавление

5

Введение

Учебное пособие "Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка" предназначено для организации учебной и самостоятельной работы, а также текущего и итогового контроля знаний и умений обучающихся ин- женерно-технических направлений подготовки бакалавриата по разделу Аналитическая геометрия дисциплин Математика и Высшая математика.

Цель учебного пособия состоит в доступном и наглядном изложении математического аппарата кривых второго порядка, необходимого инженеру для решения профессиональных задач.

В предлагаемом учебном пособии рассматриваются окружность, эллипс, гипербола и парабола, которые называют кривыми второго порядка, поскольку координаты любой точки кривой связаны алгебраическим уравнением второй степени.

Кривые второго порядка находят широкое применение в науке, технике и повседневной жизни. Так в машиностроении и приборостроении значительная часть деталей в поперечном сечении имеют эллипс. В связи с этим на различных этапах проектирования встаёт вопрос построения эллипса с заданным эксцентриситетом. В теории механизмов и машин рассматривается антипараллельный кривошип, где точка пересечения равных звеньев, в зависимости от закрепеления малого или большого звена, описывает эллипс или гиперболу. В строгальных и долбёжных станках, дыропробивочных прессах, формовочных машинах используются эллиптические колёса, обеспечивающие медленный, но мощный рабочий ход и быстрый холостой ход.

Поверхность Земли принимают за тело, называемое геоидом, для аппроксимации которого используют эллипсоид вращения, получаемый при вращении эллипса вокруг его малой оси. В математической картографии используют эллипс искажений или индикатрису Тиссо, позволяющую определить характер искажений в какой либо точке проекции.

Если вращать гиперболу вокруг её оси симметрии, не пресекающей её ветвей, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Русский инженер В. Г. Шухов предложил использовать эту поверхность в строительной технике. Конструкции, выполненные в виде однополостного гиперболоида являются наиболее прочными. При строительстве зданий и сооружений используются параболические арки. Так в некоторых арочных мостах несущая конструкция пролётного строения выполняется по параболической кривой.

Это лишь немногие факты, подтверждающие важную роль кривых второго порядка в подготовке инженеров, в частности инженеров для агропромышленного комплекса.

Содержание учебного пособия соответствует рабочей программе по дисциплине Математика для направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих

6

производств; по дисциплине Высшая математика для направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность.

Изучение данного учебного пособия направлено на формирование следующих компетенций:

по направлению подготовки 35.03.06 Агроинженерия:

–способность к использованию основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности (ОПК-2);

–готовность к обработке результатов экспериментальных исследований (ПК-3);

по направлению подготовки 23.03.03 Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов:

–готовность применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных, инженерных и экономических) для идентификации, формулирования и решения технических и технологических проблем эксплуатации транспортно-технологических машин и комплексов

(ОПК-3);

по направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность:

–способность использовать законы и методы математики, естественных, гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач (ПК-22);

по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры:

–способность использовать основы экономических знаний в различных сферах деятельности (ОК-3);

–способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);

по направлению подготовки 08.03.01 Строительство:

–способность решать задачи профессиональной деятельности на основе использования теоретических и практических основ естественных и технических наук, а также математического аппарата (ОПК-1);

–способность вести обработку, анализ и представление информации

впрофессиональной деятельности с использованием информационных и компьютерных технологий (ОПК-2);

по направлению подготовки 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств:

–способность применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных, инженерных и экономических) для идентификации, формулирования и решения технологических проблем лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств (ОПК-2);

–способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ПКП-5).

Врезультате изучения аналитической геометрии, в частности кривых второго порядка, обучающиеся должны:

знать

–уравнения, свойства и виды кривых второго порядка;

–возможности применения кривых второго порядка в различных сферах деятельности, в том числе технической;

7

уметь

–составлять уравнения кривых второго порядка по их заданным свойствам;

–выявлять свойства кривых второго порядка по их заданному урав-

нению;

–по заданному алгебраическому уравнению второй степени строить кривые второго порядка, определяемые этими уравнениями;

–уметь применять теорию кривых второго порядка к решению прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера;

владеть

–техникой исследования свойств и вида кривых второго порядка.

Отличительная особенность данного учебного пособия от других учебных изданий состоит в ориентированности на обучающегося и на профессиональную деятельность инженера, что проявляется в следующем:

–доступность изложения материала, когда формирование основного понятия не ограничивается его строгим определением, а сопровождается подробными пояснениями;

–наглядность, когда изложение материала сопровождается большим числом пояснительных рисунков, особое внимание уделено построению кривых по их заданному каноническому уравнению;

–изложение материала сопровождается большим числом разнообразных примеров, упражнений и прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера;

–индивидуальный подход к обучающимся, что проявляется в наличии трёхуровневых индивидуальных заданий и тестов;

–все примеры и упражнения упорядочены по принципу от простого

ксложному, что делает пособие доступным для обучающихся с различным уровнем математической подготовки.

Пособие состоит из пяти глав: окружность, эллипс, гипербола, парабола, исследование общего уравнения кривой второго порядка. Каждая глава содержит теоретический материал, контрольные вопросы, упражнения, дополнительные упражнения, прикладные задачи для самостоятельного решения, в том числе задачи, ориентированные на профессиональную деятельность инженера, индивидуальные задания и тесты. Теоретический материал сопровождается большим числом подробно разобранных примеров, фактами применения кривых второго порядка в науке, технике и повседневной жизни, подробным решением прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера. К упражнениям, прикладным задачам для самостоятельного решения и тестам приведены ответы.

Прикладные задачи и факты применения кривых второго порядка в науке, технике и повседневной являются механизмом повышения мотивации обучающихся к изучению не только кривых второго порядка, но и в целом дисциплин Математика и Высшая математика, а также технических дисциплин.

8

Глава 1. Окружность

В этой главе будет рассмотрен такой простейший геометрический объект как окружность. Окружность – это линия, уравнение которой может

быть записано в виде 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0, где , , ,

, , – некоторые числа, причём 2 + 2 + 2 ≠ 0 и − 2 > 0. Указанное уравнение является общим уравнением второй степени. Этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на окружности, и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на окружности.

1.1. Определение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой её центром. Пусть точка ( 0; 0) – центр окружности, – расстояние от любой точки окружности до её центра (это расстояние называют радиусом окружности), (; ) – произвольная точка окружности. Сделаем чертёж (рис. 1.1).

0

0

Рис. 1.1. Окружность с центром в точке (0; 0) радиуса

1.2. Каноническое уравнение окружности

По определению окружности = (рис. 1.1). Найдём по формуле расстояния между двумя точками: = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2, где

( 1; 1) – одна точка, ( 2; 2) – другая точка. В наших условиях 1 = 0,

1 = 0, 2 = , 2 = . Подставляем: √( − 0)2 + ( − 0)2 = . Возве-

дём обе части последнего равенства в квадрат:

( − ) + ( − ) = .

Полученное уравнение называется нормальным уравнением окруж-

ности.

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение

окружности принимает вид:

+ =

и называется каноническим (простейшим) уравнением окружности

(рис. 1.2).

9

Рис. 1.2. Окружность с центром в начале координат радиуса

Уравнение окружности с центром в точке ( 0; 0) можно привести к уравнению окружности с центром в начале координат с помощью формул

преобразования координат при параллельном сдвиге осей: { ′ = − 0,′ = − 0.

Здесь ( 0; 0) – новое начало координат; – старая система координат, ′ ′ – новая система координат; , – старые координаты; ′, ′

– новые координаты. Подставим в уравнение окружности с центром в точке( 0; 0) формулы преобразования координат. Получаем: ′2 + ′2 = 2

(рис. 1.3).

′

0

Рис. 1.3. Окружность с центром в точке (0; 0) радиуса

Пример 1.1. Составить каноническое или нормальное уравнение

Решение.

1)Воспользуемся каноническим уравнением окружности радиуса :

2 + 2 = 2. В условиях примера = 2. Подставляем это значение в ка-

ноническое уравнение окружности. Получаем: 2 + 2 = 22. Преобразуем:

2 + 2 = 4.

10