821

Преобразуем:

4 − 6√3 + 8 = 3 ( − 3+42√3), 8 − 12√3 + 16 = 3(2 − 3 − 4√3),

8 − 12√3 + 16 = 6 − 9 − 12√3, 6 − 8 − 25 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через точки 1 и 2, составлено. Сейчас можно найти расстояние от точки до хорды, используя формулу

нахождения расстояния от точки до прямой: = | 0+ 0+ | . Выражение

√ 2+ 2

под знаком модуля представляет собой левую часть общего уравнения прямой, в которую подставлены координаты точки. В знаменателе и – ко-

эффициенты при и в общем уравнении прямой. Подставляем: =

= |6∙6−8∙(−8)−25| = 75 = 7,5

√62+(−8)2 10 .

Ответ: 7,5.

Уравнение касательной к окружности с центром в произвольной точке.

Пусть точка 0( 0; 0) лежит на окружности ( − )2 + ( − )2 = = 2. Составим уравнение касательной к этой окружности в точке 0.

Решение аналогично составлению уравнения касательной к окружности с центром в начале координат. Касательную обозначим через 0, центр окружности обозначим через ( ; ). Через точку касания и центр окружности проведём прямую, которая, как известно из элементарной геометрии, перпендикулярна касательной. Эту прямую обозначим через . Выполним схематичный чертёж (рис. 1.22).

− 0 = − 0− ( − 0).

0−

Преобразуем:

( 0 − )( − 0) = −( 0 − )( − 0),0 − 02 − + 0 + 0 − 02 − + 0 = 0,

0 − + 0 + 0 − + 0 = 02 + 02.

Так как точка 0( 0; 0) лежит на окружности ( − )2 + ( − )2 = = 2, то координаты точки удовлетворяют уравнению окружности. Полу-

чаем:

( 0 − )2 + ( 0 − )2 = 2.

Раскроем скобки и выразим 02 + 02:

02 − 2 0 + 2 + 02 − 2 0 + 2 = 2,02 + 02 = 2 + 2 0 − 2 + 2 0 − 2.

Подставляем полученное выражение:

0 − + 0 + 0 − + 0 = 2 + 2 0 − 2 + 2 0 − 2.

Преобразуем:

( 0 − − 0 + 2) + ( 0 − − 0 + 2) = 2, [( 0 − ) − ( 0 − )] + [( 0 − ) − ( 0 − )] = 2, ( 0 − )( − ) + ( 0 − )( − ) = 2.

Таким образом, уравнение касательной к окружности ( − )2 +

+( − )2 = 2 в точке 0( 0; 0) имеет вид:

( − )( − ) + ( − )( − ) = .

Пример 1.12. Составить уравнение касательной к окружности

( − 1)2 + ( + 4)2 = 34 в её точке (6; −1).

Решение. По условию дана окружность с центром в точке (1; −4), квадрат радиуса которой 2 = 34. Точка (6; −1) лежит на этой окружности. Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке

0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. Подставляем: 0 = 6, 0 = −1, = 1, = −4, 2 =

34. Получаем: (6 − 1)( − 1) + (−1 − (−4))( − (−4)) = 34. Преобразуем: 5( − 1) + 3( + 4) = 34, 5 + 3 − 27 = 0.

Ответ: 5 + 3 − 27 = 0.

Пример. 1.13. Из точки (1; 6) проведены касательные к окружности2 + 2 + 2 − 19 = 0. Составить их уравнения.

Решение. Обозначим точки касания с окружностью через 1 и 2. Выполним схематичный чертёж (рис. 1.23).

Приведём уравнение окружности к нормальному виду. Сгруппируем

слагаемых с :

( 2 + 2 ) + 2 − 19 = 0.

Дополним выражение в скобках до полного квадрата:

[( 2 + 2 + 1) − 1] + 2 − 19 = 0.

Учитывая, что 2 + 2 + 1 = ( + 1)2, получаем:

[( + 1)2 − 1] + 2 − 19 = 0.

32

1

2

Рис. 1.23. Вывод уравнений касательных к окружности, проведённых из точки (к Примеру 1.13.)

Преобразуем:

( + 1)2 + 2 = 20.

Получили нормальное уравнение окружности с центром в точке

(−1; 0) радиуса = √20.

Далее воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точ-

ке 0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. Здесь = −1, = 0, 2 = 20. Подставляем:

( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20.

Так как точка (1; 6) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и подставляем координаты точки :

( 0 + 1) ∙ 2 + 6 0 = 20, 0 + 1 + 3 0 = 10, 0 + 3 0 = 9.

Пусть 0 и 0 – координаты точки 1, которая лежит на окружности. Поэтому координаты точки 1 должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляем:

( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20 координаты точки 1(−3;4): −2( + 1) +

33

+4 = 20. Преобразуем: −( + 1) + 2 = 10, − 2 + 11 = 0. Получили уравнение одной касательной.

Составим уравнение другой касательной. Подставляем в уравнение

( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20 координаты точки 2(3; 2): 4( + 1) + 2 = = 20. Преобразуем: 2( + 1) + = 10, 2 + − 8 = 0. Получили уравне-

ние другой касательной.

Ответ: − 2 + 11 = 0, 2 + − 8 = 0.

1.4. Полярное уравнение окружности

Составим уравнение окружности в полярной системе координат.

Окружность радиуса с центром в полюсе.

Пусть центр окружности находится в полюсе, то есть в точке(0; 0), – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.24).

( ; )

Рис. 1.24. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в полюсе)

В этом случае любая точка окружности расположена на расстоянии от полюса, поэтому полярное уравнение окружности имеет вид:

= .

Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в полюсе.

Окружность радиуса с центром в точке ( ; 0).

Пусть ( ; 0) – центр окружности, – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.25). Рассмотрим треугольник . Из точки проведём перпендикуляр к стороне . Основание перпендикуля-

= ( − ).

Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в точке ( ; 0).

Окружность радиуса с центром в точке ( 0; 0).

Пусть ( 0; 0) – центр окружности, – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.26).

34

( ; )

Рис. 1.25. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в точке ( ; 0))

0

Рис. 1.26. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в точке ( 0; 0))

Применим теорему косинусов для треугольника :

2 = 2 + 2 − 2 ∙ ∙ ∙ cos .

Подставляем значения: 2 = 2 + 02 − 20 cos( − 0). Преобразуем:

− ( − ) = − .

Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в точке ( 0; 0).

Пример. 1.14. Составить уравнение окружности в полярных координатах по заданному радиусу и полярным координатам центра окружно-

Решение. Воспользуемся полярным уравнением окружности

= 2 cos( − 0), где ( ; 0) – центр окружности, – радиус окружности, и – полярные координаты.

1)= 1, (1; 2).

Подставляем: = 2 ∙ 1 cos ( − 2) = 2 cos (2 − ) = 2 sin .

2)= 3, (3; − 2).

Подставляем: = 2 ∙ 3 cos ( − (− 2)) = 6 cos (2 + ) = −6 sin .

3)= 1, (1; 4).

Подставляем: = 2 ∙ 1 cos ( − 4) = 2 cos ( − 4).

4)= 2, (2; 23 ).

Подставляем: = 2 ∙ 2 cos ( − 23 ) = 4 cos ( − 23 ) =

=4 cos (23 − ) = 4 cos ( − 3 − ) = 4 cos ( − (3 + )) =

=−4 cos (3 + ).

Ответ: 1) = 2 sin ; 2) = −6 sin ; 3) = 2 cos ( − 4); 4) = −4 cos (3 + ).

1.5. Окружность в прикладных задачах

Окружность находит широкое применение в различных областях техники, в строительстве, архитектуре, повседневной жизни. В частности, в механике нередко рассматривается движение материальной точки по окружности; при строительстве туннеля его часть может представлять дугу окружности.

Задача 1.1. Под влиянием некоторой силы точка двигалась по окружности ( + 6)2 + ( + 1)2 = 52. Действие силы прервалось в тот момент, когда точка совпала с точкой (−2; −7). Определить дальнейшую траекторию подвижной точки. Указание. Дальнейшее движение точка продолжала по касательной к окружности в точке .

Решение. Согласно указанию к задаче, в момент прекращения действия силы точка продолжала свой путь по касательной к окружности в точке . Поэтому задача сводится к составлению уравнения касательной к окружности в точке .

Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке

лучаем: (−2 + 6)( + 6) + (−7 + 1)( + 1) = 52. Преобразуем: 4( + 6) −

36

−6( + 1) = 52, 2 − 3 − 17 = 0. Ответ: 2 − 3 − 17 = 0.

Задача 1.2. Точка двигалась по окружности ( + 1)2 + ( − 1)2 = = 20. Потом с неё сорвалась и при дальнейшем свободном движении пересекла ось в точке (0; 9). Определить точку окружности, с которой сорвалась движущаяся точка. Указание. Дальнейшее движение точка продолжала по касательной к окружности, проведённой из точки .

Решение. Согласно указанию к задаче, в момент прекращения действия силы точка продолжала свой путь по касательной к окружности, проведённой из точки . Поэтому задача сводится к нахождению точки касания окружности с прямой, проведённой из точки .

Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке

0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. По условию точка движется по окружности с цен-

тром в точке (−1; 1), квадрат радиуса которой 2 = 20. Точка (0; 9) лежит вне этой окружности. В условиях задачи = −1, = 1, 2 = 20. Под-

ставляем:

( 0 + 1)( + 1) + ( 0 − 1)( − 1) = 20.

Так как точка (0; 9) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и

подставляем координаты точки :

( 0 + 1)(0 + 1) + ( 0 − 1)(9 − 1) = 20,0 + 1 + 8( 0 − 1) = 20,0 + 8 0 = 27.

Так как точка 0( 0; 0) лежит на окружности, то её координаты

удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем:

( 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.

Решим совместно полученные уравнения:

{ 0 + 8 0 = 27, ( 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.

Выразим из первого уравнения 0: 0 = 27 − 8 0 и подставим полу-

ченное выражение во второе уравнение:

(27 − 8 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.

Преобразуем:

16(2 0 − 7)2 + ( 0 − 1)2 = 20, 64 02 − 448 0 + 784 + 02 − 2 0 + 1 = 20, 65 02 − 450 0 + 765 = 0, 13 02 − 90 0 + 153 = 0,

0(1) = 5113 , 0(2) = 3.

Тогда:

0(1) = 27 − 8 ∙ 5113 = − 5713 , 0(2) = 27 − 8 ∙ 3 = 3.

Таким образом, получаем следующие точки касания:

1 (− 5713 ; 5113), 2(3; 3). Ответ: 1 (− 5713 ; 5113), 2(3; 3).

37

Задача 1.3. На плане горной местности заданы две точки: (2; 2) и(16; 4). Через эти точки проходят две прямые, пересекающиеся в точке(10; 10). Точки и нужно соединить туннелем так, чтобы он составлялся из дуги окружности, проходящей через точку (8; 6), и отрезков прямых как касательных к этой окружности. Определить уравнение окружности.

Решение. Выполним схематичный чертёж (рис.1.27).

Рис. 1.27. Составление уравнения окружности, дуга которой является частью туннеля (к Примеру 1.17.)

Обозначим точки касания прямых с окружностью через и , центр окружности обозначим через ( ; ), радиус – . Для составления уравнения окружности нужно найти , , .

Сначала составим уравнения прямых, проходящих через точки и ,

и , используя уравнение прямой, проходящей через две точки: − 1 =

2− 1

= − 1 . Составим уравнения прямой, проходящей через точки и :

2− 1

отрезков и равны радиусу окружности , составим два уравнения:

| − | = , | + −20| = .

√2 √2

Так как точка по условию лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности. Возьмём нормальное уравнение

окружности ( − )2 + ( − )2 = 2. Подставляем координаты точки :

(8 − )2 + (6 − )2 = 2.

Таким образом, можно составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными , , :

38

| − | = , √2

| + −20| = ,

√2

{(8 − )2 + (6 − )2 = 2.

Решением системы являются значения = 10, = 2(1 + √6), = √2(4 − √6).

Составляем уравнение окружности:

( − 10)2 + ( − 2 − 2√6)2 = 2(4 − √6)2. Ответ: ( − 10)2 + ( − 2 − 2√6)2 = 2(4 − √6)2.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение окружности.

2.Запишите нормальное уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Постройте окружность.

3.Запишите каноническое уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Постройте окружность.

4.Запишите условие касания прямой и окружности.

5.Запишите уравнение касательной к окружности с центром в начале координат.

6.Запишите уравнение касательной к окружности с центром в произвольной точке.

7.Запишите уравнение окружности в полярной системе коорди-

нат.

8.Постройте окружность в полярной системе координат.

Упражнения

1.Составить каноническое или нормальное уравнение окружно-

2.Дано каноническое или нормальное уравнение окружности.

4.Среди приведённых уравнений указать уравнения окружности,

5.Построить окружность по заданному уравнению:

5) = −5 + √40 − 6 − 2

6.Установить, как расположена точка (1; −2) относительно

каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

7.Найти координаты точек пересечения прямой и окружности:

1) − 2 − 1 = 0, 2 + 2 − 8 + 2 + 12 = 0; 2) − + 10 = 0, 2 + 2 − 1 = 0; 3) 2 − − 3 = 0, 2 + 2 − 3 + 2 − 3 = 0.

8.Составить уравнение касательной к окружности 2 + 2 = 5 в её точке (−1; 2).

9.Составить уравнение касательной к окружности ( + 2)2 +

( − 3)2 = 25 в её точке (−5; 7).

10.Из точки (53 ; − 53) проведены касательные к окружности 2 +

2 = 5. Составить их уравнения.

11. Из точки (4; −4) проведены касательные к окружности ( − 3)2 + ( + 1)2 = 5. Составить их уравнения.

40