Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

821

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

5.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


		2

			1
				2
1					2
−	1			2

1 −

Рис. 2.2. Форма эллипса

Здесь ( 0; 0) – новое начало координат; – старая система координат, ′ ′ – новая система координат; , – старые координаты; ′, ′

– новые координаты. Подставим в уравнение эллипса формулы преобразо-

вания координат. Получаем:			′2		+	′2	= 1. Центр такого эллипса находится
вания координат. Получаем:			2		+	2	= 1. Центр такого эллипса находится
в точке ( 0; 0) (рис. 2.3).
								′
0	+
	0										′
0	−
		0 −						0		+
										0
Рис. 2.3. Эллипс с центром в точке (0; 0)
Уравнение эллипса, записанное в виде
				( − )				( −	)
							+			= ,
							+			= ,

называют нормальным уравнением эллипса. Оно представляет эллипс со смещённым центром и осями, параллельными координатным осям.

Пример 2.1. Составить каноническое или нормальное уравнение эллипса с центром в точке , полуосями и , если фокусы эллипса лежат на оси абсцисс (ординат) или на прямой, параллельной этой оси, симметрично

относительно точки :

1) (0; 0), = 8, = 3;

2) (0; 0), = 2√2

, = 3√2

;

3) (0; 0), =

, =

;

4) (0; 0), =

√21

, =

3√6

;


5) (0; 0), = 1, =					√6	;		6) (0; −3), = 7, = 4;

		4									8				15
7) (5; 6), = 10, = 4							;	8) (−4; −2), =					, =				;

								3							2
9) (	5	;	12	), = 6, = 5			;	10) (−	11	; 0), =			7	, =		2		.

4		7						5				4				5

Решение.

1)Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями

и: 22 + 22 = 1. В условиях примера = 8, = 3. Подставляем эти значе-

																																														2									2
ния в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																		+								= 1. Преобразу-
ния в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																															2			+						2		= 1. Преобразу-
		2								2																																				8								3
ем:		2			+					2				= 1.
ем:		64			+			9						= 1.
		64						9
					2) Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями
			2									2
и :			2				+					2					= 1.						В условиях примера = 2√2,																			= 3√2.															Подставляем эти
и :			2				+					2					= 1.						В условиях примера = 2√2,																			= 3√2.															Подставляем эти
значения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																					2								+			2						= 1.
значения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																											2		+								2	= 1.
																																																								(2√2)											(3√2)
Преобразуем:																				2		+		2		= 1.
Преобразуем:																			8			+		18		= 1.
																			8					18
					3) Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями
и :			2			+					2						= 1. В условиях примера =																		5		, =						4	. Подставляем эти значе-

			2								2																								3								3
																																															2										2
ния в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																				+											= 1. Преобра-
ния в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																															5		2			+					4 2						= 1. Преобра-
																																													( )											( )
					2										2																																3										3
зуем:					2				+						2				= 1.
зуем:					25				+						16				= 1.
					9											9
					4) Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями
				2									2
и :				2			+						2				= 1.						В условиях примера =															√21		,		=						3√6						.			Подставляем эти
и :				2			+						2				= 1.						В условиях примера =															7		,		=							17					.			Подставляем эти
				2									2																									7											17										2											2
значения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																								+			2						= 1.					2
значения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																								+				2				3√					2
																																																								(		√		21			)							(	6	)
																																																								(		7					)					17				)
																				2					2																																													(
Преобразуем:																							+				= 1.
Преобразуем:																				21			+		54		= 1.
																			49					289
					5) Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями
			2									2
и :			2			+						2					= 1.						В условиях примера = 1,																=					√6			. Подставляем эти зна-
и :			2			+						2					= 1.						В условиях примера = 1,																=					4			. Подставляем эти зна-
			2									2																																4							2									2
чения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																			2			+						2						= 1. Преоб-
чения в каноническое уравнение эллипса. Получаем:																																																	2					+										2		= 1. Преоб-
																																																	1								(		√		6	)
																																																									(		4			)
разуем: 2														+				2			= 1.
разуем: 2														+				3			= 1.
																			8
					6) Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в точ-
ке ( ;																)			полуосями и :											( − 0)2			+		( − 0)2								= 1.								В условиях примера
ке ( ;																)			полуосями и :														+					2					= 1.								В условиях примера
						0								0																2								2
0 = 0,									0 = −3, = 7, = 4.																				Подставляем эти значения в нормальное
уравнение эллипса. Получаем:																												( −0)2			+	( −(−3))2									= 1. Преобразуем:																												2		+
уравнение эллипса. Получаем:																													2		+			4		2					= 1. Преобразуем:																											49			+
	( +3)2																												7					4																																		49
+	( +3)2							= 1.
+		16						= 1.
		16
																															72

7) Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в точ-

ке ( ;

)

полуосями и :

( − 0)2

= 1.

В условиях примера

0 = 5,

0 = 6, = 10,

= 4.

Подставляем эти значения в нормальное

уравнение эллипса. Получаем:

( −5)2

( −6)

= 1. Преобразуем:

( −5)2

( −6)2

100

= 1.

8) Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в точ-

ке ( ;

)

полуосями и :

( − 0)2

= 1.

В условиях примера

= −4,

= −2, =

, =

Подставляем эти значения в нормальное

( −(−4))2

( −(−2))2

уравнение

эллипса. Получаем:

= 1. Преобразуем:

8 2

( )

(

)

( +2)2

( +4)

= 1.

225

9)Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в точ-

ке ( ;																) полуосями и :																					( − 0)2											+				( − 0)2													= 1. В условиях примера
ке ( ;																) полуосями и :																																+																	= 1. В условиях примера
					0					0																															2															2
=					5		,										=			12					, = 6, = 5.																	Подставляем эти значения в нормальное
=							,										=								, = 6, = 5.																	Подставляем эти значения в нормальное
0					4					0												7
					4																	7																								2															2																							2
																																											5			2					( −							12			2																			5				2
																																						( − )													( −								7		)																			( − )
уравнение эллипса. Получаем:																																											4					+											7					= 1. Преобразуем:																4					+
уравнение эллипса. Получаем:																																										2						+										2						= 1. Преобразуем:																36					+
							2																																6																	5																								36
					12		2
+		( −			7 )					= 1.
+										= 1.
			25
						10) Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в
точке ( ;																						)		полуосями и :																					( − 0)2															+	( − 0)2											= 1. В условиях примера
точке ( ;																						)		полуосями и :																																				+												= 1. В условиях примера
										0								0																														2																2
= −								11				,								= 0, =														7	, =				2		.				Подставляем эти значения в нормальное
= −												,								= 0, =															, =						.				Подставляем эти значения в нормальное
0							5											0																4					5
							5																											4					5																									2
																																																	( −(−										11					2						(		2
																																																	( −(−										5		))									(		2
уравнение																			эллипса.															Получаем:																									5							+						−0)			= 1.		Преобразуем:
уравнение																			эллипса.															Получаем:																						7			2							+						2 2			= 1.		Преобразуем:
																																																					( )																			( )
					2																																																			4																5
	( +		11		2								2
	( +		5	)			+						2					= 1.
			5
	49													4
16										25															2						2									2								2																			2							2				2					2
						Ответ: 1)																			2			+			2			= 1; 2)						2				+				2			= 1; 3)																2				+			2	= 1; 4)			2			+		2			= 1;
						Ответ: 1)																		64				+			9			= 1; 2)					8					+				18			= 1; 3)																25				+			16	= 1; 4)			21			+		54			= 1;
																								64							9								8									18																				9				9					49			289
																																																																				9				9					49			289
5) 2					+				2						= 1; 6)											2				+			( +3)2			= 1;						7)					( −5)2										+					( −6)2										= 1; 8)				( +4)	2		+			( +2)2					=
5) 2					+				3						= 1; 6)															+						= 1;						7)															+															= 1; 8)				64			+			225					=
										8														49										16														100																16											9					4
										8								2												2																		2																											9					4
										5								2									12			2														11				2							2
								( − )															( −					7	)										( +					5		)									2
= 1; 9)										4									+									7				= 1; 10)												5						+										= 1.
= 1; 9)										36									+					25								= 1; 10)										49								+					4					= 1.
										36														25																		16														25
																																										16														25
						Пример 2.2. Определить координаты центра и полуоси эллипса по
его каноническому или нормальному уравнению:
					1)							2						+			2			= 1;																								2)						2					+				2					= 1;
					1)					121								+		64				= 1;																								2)					98						+				60					= 1;
										121										64																																	98										60
											2									2																																			2									2
					3)												+							= 1;																								4)												+									= 1;
					3)						9						+			25				= 1;																								4)								83				+				30					= 1;
										4										49																																				5								7
					5)						( −5)2											+			( +3)2							= 1;																6)								2					+				( +6)2								= 1;
					5)					9												+					64					= 1;																6)					100								+												= 1;
										9																	64																										100															49
																																																73

																					13		2								19	2
		7) ( + 2)2 +									( −7)2						= 1;	8)	( −		4 )				+			( −15)							= 1;
		7) ( + 2)2 +											9				= 1;	8)							+										= 1;
					2								9							36						2					9			2
				7	2		2															10				2						5		2
				( + )			2													( +			7	)						( − )
9)				3		+				= 1;								10)					7				+					7				= 1.
9)				81		+	25			= 1;								10)			3						+				18					= 1.
																					4										5
		Решение.
		1) Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса с
									2						2																							2				2
полуосями					и :							+					= 1. Преобразуем данное уравнение:																							+			= 1.
полуосями					и :					2		+				2	= 1. Преобразуем данное уравнение:																					2		+		2	= 1.
																																						11		8
Центр эллипса находится в точке (0; 0), полуоси = 11, = 8.
		2) Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса с
								2						2																								2
полуосями и :										+						= 1. Преобразуем данное уравнение:																									+
полуосями и :								2		+				2		= 1. Преобразуем данное уравнение:																					(7√		2)2		+
	2																												(				)
	2
+			2 = 1.		Центр эллипса находится в точке																										0; 0				, полуоси					= 7√2,
(2√15)			2 = 1.		Центр эллипса находится в точке																										0; 0				, полуоси					= 7√2,

= 2√15.

3)Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса с

полуосями и :	2	+	2	= 1. Преобразуем данное уравнение:	2	+	2	=
полуосями и :	2	+	2	= 1. Преобразуем данное уравнение:	3 2	+	5 2	=
					(2)		(7)

=1. Центр эллипса находится в точке (0; 0), полуоси = 32 , = 57 .

4)Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса с

полуосями и :	2	+	2	= 1. Преобразуем данное уравнение:	2		+
	2		2			2
					(√835 )

+2 2 = 1. Центр эллипса находится в точке (0; 0), полуоси = √83 ,

30) 5

= √307 .

5)Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с

центром в точке (	;	) полуосями и :					( − 0)2	+	( − 0)2	= 1. Преобра-
центром в точке (	;	) полуосями и :					2	+		= 1. Преобра-
0	0			( −(−3))2			2		2
зуем данное уравнение:		( −5)2	+	( −(−3))2		= 1. Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:		2	+		2	= 1. Центр эллипса находится в
		3			8
точке (5; −3), полуоси = 3, = 8.
6) Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с
центром в точке ( ;		) полуосями и :					( − 0)2	+	( − 0)2	= 1. Преобра-
центром в точке ( ;		) полуосями и :					2	+		= 1. Преобра-
0	0			( −(−6))2			2		2
зуем данное уравнение:		( −0)2	+	( −(−6))2		= 1. Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:		2	+		2	= 1. Центр эллипса находится в
		10			7
точке (0; −6), полуоси = 10, = 7.
7) Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с
центром в точке ( ;		) полуосями и :					( − 0)2	+	( − 0)2	= 1. Преобра-
центром в точке ( ;		) полуосями и :					2	+		= 1. Преобра-
0	0						2		2
зуем данное уравнение:		( −(−2))2		+	( −7)2	= 1. Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:		2		+	2	= 1. Центр эллипса находится в
		1			3

точке (−2; 7), полуоси = 1, = 3.

8) Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с

центром в точке ( ;																											) полуосями и :																											( − 0)2										+				( − 0)2							= 1. Преобра-
центром в точке ( ;																											) полуосями и :																															2						+							2				= 1. Преобра-
																		0					0								2										2																	2													2
																												( −	13		2					( −			19		2
																												( −	4	)						( −			)
зуем данное уравнение:																													4				+						15					= 1.												Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:																													2				+						2					= 1.												Центр эллипса находится в
																											6										3
точке (		13			;		19					), полуоси = 6, = 3.
точке (					;							), полуоси = 6, = 3.
	4				15
9) Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с
центром в точке ( ;																											) полуосями и :																											( − 0)2										+				( − 0)2							= 1. Преобра-
центром в точке ( ;																											) полуосями и :																															2						+							2				= 1. Преобра-
																		0					0									2																										2													2
																														7		2									2
																										( −(− ))															2
зуем данное уравнение:																													3					+			( −0)										= 1.										Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:																													2					+			2										= 1.										Центр эллипса находится в
																											9												5
точке (−				7		; 0 ), полуоси = 9, = 5.
точке (−				3		; 0 ), полуоси = 9, = 5.
				3
10) Сравним данное уравнение с нормальным уравнением эллипса с
центром в точке ( ;																											) полуосями и :																											( − 0)2										+				( − 0)2							= 1. Преобра-
центром в точке ( ;																											) полуосями и :																															2						+							2				= 1. Преобра-
																		0					0									2																										2													2
																																2						( −5)2
																									( −(−10))													( −5)2
зуем данное уравнение:																														7					+				7							= 1.												Центр эллипса находится в
зуем данное уравнение:																														2					+									2		= 1.												Центр эллипса находится в
																												(√3)										(√18)
																													4										5

точке (−				10				;					5			), полуоси =															√3			, =						3√10										.
точке (−					7			;								), полуоси =																2		, =																.
					7								7																			2									5

Ответ: 1) (0; 0), = 11, = 8; 2) (0; 0), = 7√2																																																				, = 2√15;

3) (0; 0), =														3					, =			5		; 4) (0; 0), = √																								83				, = √													30				; 5) (5; −3), = 3,
3) (0; 0), =													2						, =			7		; 4) (0; 0), = √																								5				, = √																	; 5) (5; −3), = 3,
													2									7																										5																7
= 8; 6) (0; −6), = 10, = 7; 7)																																							(−2;													7), = 1,																		= 3; 8) (							13		;	19		),
= 8; 6) (0; −6), = 10, = 7; 7)																																							(−2;													7), = 1,																		= 3; 8) (									;			),
																																																																										4					15

= 6, = 3; 9) (−																					7	; 0 ), = 9, = 5; 10) (−																																							10			;			5		), =						√3	, =		3√10			.
= 6, = 3; 9) (−																						; 0 ), = 9, = 5; 10) (−																																							7			;					), =							, =					.
																		3																																											7			7										2					5
Пример. 2.3. Построить эллипс по его каноническому или нормаль-
ному уравнению:
1)	2			+					2								= 1;																						2)			2						+				2				= 1;
1)	16			+						9							= 1;																						2)		36							+				81				= 1;
	16									9																															36											81
3)	2			+					2								= 1;																						4)				2						+				2					= 1;
3)	27			+				49									= 1;																						4)					1					+						1			= 1;
	27							49																																				4								64
																																												4								64
5)	( −2)2										+								( +5)2			= 1;																	6)			( +5)2											+ 2 = 1;
5)											+							4				= 1;																	6)														+ 2 = 1;
	25																	4																														9																							2
			( −1)2																	( −1)2																																																1			2
			( −1)2																	( −1)2																																					2						( − )
7)														+										= 1;															8) ( + 1)																		2			+								2				= 1;
7)					25									+						121				= 1;															8) ( + 1)																					+				4								= 1;
					4													9																																					2													2
																																																			25				2									7				2
9)			( −4)							2					+					( −1)		2		= 1;															10)						( −						8 )							+				( −6)									= 1.
9)			37												+					19				= 1;															10)									16										+						9							= 1.
					3													3																														16																9
					3													3
Решение.
1)			2		+					2								= 1. Преобразуем уравнение:																																									2		+					2		= 1.					Центр эллипса
1)	16				+					9								= 1. Преобразуем уравнение:																																								4		2	+			2				= 1.					Центр эллипса
	16									9																																																4						3
находится в точке (0; 0), полуоси = 4, = 3 (рис. 2.4).
2)			2		+					2								= 1. Преобразуем уравнение:																																									2		+					2		= 1.					Центр эллипса
2)	36				+					81								= 1. Преобразуем уравнение:																																								6		2	+			2				= 1.					Центр эллипса
	36									81																																																6						9

находится в точке (0; 0), полуоси = 6, = 9 (рис. 2.5).

−4

−3

Рис. 2.4. Эллипс с центром в точке (0; 0), полуоси = 4, = 3 (к Примеру 2.3(1))

−6

−9

Рис. 2.5. Эллипс с центром в точке (0; 0), полуоси = 6, = 9 (к Примеру 2.3(2))

3)	2	+	2	= 1. Преобразуем уравнение:	2		+	2	= 1. Центр эллипса
3)		+		= 1. Преобразуем уравнение:		2	+	2	= 1. Центр эллипса
	27		49		(3√3)			7

находится в точке (0; 0), полуоси = 3√3, = 7 (рис. 2.6).

−3√3

3√3

−7

Рис. 2.6. Эллипс с центром в точке (0; 0), полуоси = 3√3, = 7 (к Примеру 2.3.(3))

4)	2	+	2		= 1. Преобразуем уравнение:			2		+	2	= 1. Центр эллип-
4)	1	+		1	= 1. Преобразуем уравнение:			1	2	+	1 2	= 1. Центр эллип-
	4		64					( )			( )
						1		2	1		8
са находится в точке (0; 0), полуоси =						1	, =		1	(рис. 2.7).

									8
					2				8
					76


										1

										8
							1					1
							1
												2
							2			−	1	2
											1

										8
	Рис. 2.7. Эллипс с центром в точке (0; 0), полуоси =														1		, =				1
	Рис. 2.7. Эллипс с центром в точке (0; 0), полуоси =														2		, =
															2				8
									(к Примеру 2.3(4))
5)		( −2)2		+		( +5)2		= 1. Преобразуем уравнение:					( −2)2			+		( −(−5))2				= 1.
5)	25			+		4		= 1. Преобразуем уравнение:					2			+			2			= 1.
	25					4							5						2
Центр эллипса находится в точке (2; −5), полуоси = 5,														= 2					(рис. 2.8).

								−3		2		7
									−3
									−3
									−5
									−7
Рис. 2.8. Эллипс с центром в точке (2; −5), полуоси = 5, = 2
										(к Примеру 2.3(5))
6)			( +5)2		+ 2 = 1.				Преобразуем			уравнение:	( −(−5))2					+		( −0)2			= 1.
6)	9				+ 2 = 1.				Преобразуем			уравнение:	3	2				+	2				= 1.
	9												3						1
Центр эллипса находится в точке (−5; 0), полуоси = 3,														= 1					(рис. 2.9).

−8

−5

−2 −1

Рис. 2.9. Эллипс с центром в точке (−5; 0), полуоси = 3, = 1 (к Примеру 2.3(6))

7)	( −1)2	+	( −1)2	= 1. Преобразуем уравнение:			( −1)2		+		( −1)2			= 1.
7)	25	+	121	= 1. Преобразуем уравнение:			5 2		+			11	2	= 1.
	4		9			( )					(	3	)
					5	2		11				3
Центр эллипса находится в точке (1; 1), полуоси =					5	, =		11		(рис. 2.10).
Центр эллипса находится в точке (1; 1), полуоси =						, =		3		(рис. 2.10).
				2				3
				77

																	1
													3						1			7
															−
															−	2						2
															−		8
															−		3
																	3
Рис. 2.10. Эллипс с центром в точке (1; 1), полуоси =																																			5		, =							11
Рис. 2.10. Эллипс с центром в точке (1; 1), полуоси =																																					, =							3
																																		2										3
																		(к Примеру 2.3(7))
8) ( + 1)2										( −1)2																			( −(−1))2																( −1)2
							+				2				= 1. Преобразуем уравнение:																									+								2		=
							+			4					= 1. Преобразуем уравнение:																			2						+			2					2		=
										4														1					1														2
= 1. Центр эллипса находится в точке (−1;																								1		), полуоси = 1, = 2
= 1. Центр эллипса находится в точке (−1;																								2		), полуоси = 1, = 2
																								2
(рис. 2.11).

																								5

																								2
																								1

																								2
																	−2		−1
																										−		3
																										−
																								2
Рис. 2.11. Эллипс с центром в точке (−1;																									1		), полуоси = 1 , = 2
Рис. 2.11. Эллипс с центром в точке (−1;																											), полуоси = 1 , = 2
																								2
																		(к Примеру 2.3(8))
9)	( −4)			2		+		( −1)			2		= 1.				Преобразуем уравнение:														(		−4)2					+			(					−1)2			= 1.
9)	37					+		19					= 1.				Преобразуем уравнение:																			2		+									2		= 1.
	3									3																			37														19
	3									3																					(√ 3 )										(√ 3 )
																															(√ 3 )										(√ 3 )
Центр эллипса находится в точке (4; 1), полуоси = √																														37		, = √										19
Центр эллипса находится в точке (4; 1), полуоси = √																																, = √
																													3														3
(рис. 2.12).
		( −	25			2				7		2																	25								2						7					2
		( −	8		)				( − )																					( −				8		)					( − )
10)			8				+			6				= 1.				Преобразуем уравнение:																8					+				6						= 1.
10)	16						+			9				= 1.				Преобразуем уравнение:											4					2					+				2						= 1.
	16									9										25		7							4														3
Центр эллипса находится в точке (																				25	;	7	), полуоси = 4, = 3 (рис. 2.13).
Центр эллипса находится в точке (																					;		), полуоси = 4, = 3 (рис. 2.13).
																			8			6
																			78

1 + √193

	1

		4
			37

	19	4 + √
	19	4 + √
1 − √		3
1 − √	3	3
	3

Рис. 2.12. Эллипс с центром в точке (4; 1), полуоси = √373 , = √193

			(к Примеру 2.3(9))

25

	6
	7

	6

−	7		25	57
	7			57
			8
	8		8	8
−		11
−
	6

Рис. 2.13. Эллипс с центром в точке (258 ; 76), полуоси = 4, = 3 (к Примеру 2.3(10))

Пример. 2.4. Среди приведённых уравнений указать уравнения эллипса, найти полуоси каждого из них:

1) = −				1		+ 2;	2) 2 − 2 = 1;

		3
3)	2	+	2		= 1;		4) 2 = − + 2;
	16
		9
5)	2	+ 2 = 1;					6)	2	+	2	= 1;
	4
							15		7
7) = 4;							8) 3 2 + 4 2 = 12.
9)	16 2 + 25 2 = 81;						10) 9 2 + 4 2 = 1.

Решение.

1) = − 13 + 2. Сравнивая данное уравнение с каноническим урав-

нением эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не определяет эллипс, так как не содержит квадраты переменных. Оно представляет прямую с угловым коэффициентом = − 13 и отсекающей на оси отрезок = 2.

2) 2 − 2 = 1. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не опреде-

ляет эллипс, так как в уравнении эллипса между квадратами стоит знак плюс, а в данном уравнении стоит знак минус. Оно представляет гиперболу, которая будет рассмотрена позже.

3) 162 + 92 = 1. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравне-

нием эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение определяет

эллипс. Преобразуем уравнение: 422 + 322 = 1. Полуоси эллипса = 4, = 3. 4) 2 = − + 2. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не опре-

деляет эллипс, так как содержит квадрат только одной переменной. Оно представляет параболу, которая будет рассмотрена позже.

5) 42 + 2 = 1. Представим уравнение в виде: 42 + 12 = 1. Сравнивая

это уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, устанавли-

ваем, что данное уравнение определяет эллипс. Преобразуем уравнение:222 + 122 = 1. Полуоси эллипса = 2, = 1.

6) 152 + 72 = 1. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравне-

нием эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение определяет

эллипс. Преобразуем уравнение:	2		+	2		= 1. Полуоси эллипса	=
		2			2
	(√15)			(√7)

√15, = √7.

7) = 4. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не определяет

эллипс, так как не содержит квадраты переменных. Оно представляет прямую, параллельную оси и отсекающей на оси отрезок = 4.

8) 3 2 + 4 2 = 12. Разделим уравнение на 12. Получаем: 42 + 32 = 1.

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1,

устанавливаем,			что		данное уравнение определяет эллипс. Преобразуем
	2		2
уравнение:		+			= 1. Полуоси эллипса = 2, = √3.
	2			2
	2		(√3)

9)16 2 + 25 2 = 81. Разделим уравнение на 81. Получаем: 16812 +

+25812 = 1. Разделим числитель и знаменатель первой дроби на 16, разде-

лим числитель и знаменатель второй дроби на 25: 812 + 812 = 1. Сравнивая

16 25

это уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, устанавли-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20245.44 Mб0817.pdf
#
09.01.20245.44 Mб0818.pdf
#
09.01.20245.46 Mб0819.pdf
#
09.01.2024441.6 Кб082.pdf
#
09.01.20245.47 Mб0820.pdf
#
09.01.20245.5 Mб2821.pdf
#
09.01.20245.54 Mб0822.pdf
#
09.01.20245.55 Mб1823.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0824.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0825.pdf
#
09.01.20245.57 Mб0826.pdf