821

2

−2

Рис. 1.15. Линия, заданная уравнением = −√4 − 2 (к Примеру 1.5 (2))

Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке (0; 15) радиуса = 8. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет нижнюю половину окружности (рис. 1.16).

23

−8 8

Рис. 1.16. Линия, заданная уравнением = 15 − √64 − 2 (к Примеру 1.5 (3))

4) = −2 + √9 − 2. Преобразуем: + 2 = √9 − 2. Запишем огра-

в квадрат: ( + 2)2 = 9 − 2. Преобразуем: ( + 2)2 + 2 = 9. Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке (−2; 0) радиуса = 3. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет правую половину окружности (рис. 1.17).

5) = −3 − √21 − 4 − 2. Преобразуем: + 3 = −√21 − 4 − 2.

3

−2 −5 1

−3

Рис. 1.17. Линия, заданная уравнением = −2 + √9 − 2 (к Примеру 1.5 (4))

Возведём обе части уравнения в квадрат: ( + 3)2 = 21 − 4 − 2.

Преобразуем: ( + 3)2 + 2 + 4 − 21 = 0.

Выделим полный квадрат относительно переменной :

( + 3)2 + [( 2 + 2 ∙ 2 + 22) − 22] − 21 = 0, ( + 3)2 + [( + 2)2 − 22] − 21 = 0.

Раскроем квадратные скобки и слагаемые, содержащие переменные,

оставим в левой части:

( + 2)2 + ( + 3)2 = 25.

Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке(−2; −3) радиуса = 5. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет нижнюю половину окружности (рис. 1.18).

2 −7 −2 3

−8

Рис. 1.18. Линия, заданная уравнением = −3 − √21 − 4 − 2 (к Примеру 1.5 (5))

Пример. 1.6. Установить, как расположена точка (3; −1) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

Решение. Установить расположение точки относительно окружности можно по расстоянию от точки до центра окружности. Если это расстояние меньше радиуса окружности, то точка лежит внутри окружности, равно – точка лежит на окружности и больше – точка лежит вне окружности.

Напомним нормальное уравнение окружности: ( − 0)2 + +( − 0)2 = 2, где ( 0; 0) – центр окружности, – радиус окружности,

причём левая часть уравнения представляет квадрат расстояния от центра окружности до произвольной точки ( ; ) окружности, то есть квадрат радиуса окружности. Поэтому, подставляя координаты заданной точки в левую часть уравнения и сравнивая полученное значение с правой частью уравнения, можно сделать вывод о расположении точки относительно окружности.

Как поступить, если уравнение окружности записано в виде общего уравнения второй степени: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0? В

этом случае запишем нормальное уравнение окружности в следующем ви-

де: ( − 0)2 + ( − 0)2 − 2 = 0. Здесь выражение ( − 0)2 + ( − 0)2

представляет квадрат расстояния от центра окружности до произвольной точки ( ; ) окружности, то есть квадрат радиуса окружности. Поэтому для установления расположения точки относительно окружности надо сравнить выражение левой части уравнения с нулём. Если левая часть уравнения отрицательна, то точка расположена внутри окружности, равно нулю – точка расположена на окружности и положительно – точка лежит вне окружности.

С учётом сказанного выше, решение данного примера состоит в подстановке координат точки в левую часть уравнения окружности и в зависимости от значения левой части уравнения заключаем о расположении точки относительно окружности.

1) 2 + 2 = 1. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: 32 + (−1)2 = 10. Получаем: 10 > 1, то есть расстояние от центра окружности до произвольной точки окружности больше радиуса, поэтому точка расположена вне окружности.

2) 2 + 2 = 16. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: 32 + (−1)2 = 10. Получаем: 10 < 16, то есть расстояние от центра окружности до произвольной точки окружности меньше радиуса, поэтому точка расположена внутри окружности.

3) ( + 1)2 + 2 = 25. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: (3 + 1)2 + (−1)2 = 17. Получаем: 17 < 25, то есть расстояние от центра окружности до произвольной точки окружности меньше радиуса, поэтому точка расположена внутри окружности.

4) ( − 4)2 + ( + 2)2 = 2. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: (3 − 4)2 + (−1 + 2)2 = 2. Получаем: 2 = 2, то есть расстояние от центра окружности до произвольной точки окружности равно радиусу, поэтому точка расположена на окружности.

5) 2 + 2 + 4 − 2 − 24 = 0. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: 32 + (−1)2 + 4 ∙ 3 − 2 ∙ (−1) − 24 = 0. Получаем: 0 = 0, то есть расстояние от центра окружности до произволь-

23

ной точки окружности равно радиусу, поэтому точка расположена на окружности.

6) 2 + 2 − 2 + 2 + 10 = 0. Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности: 32 + (−1)2 − 2 ∙ 3 + 2 ∙ (−1) + 10 = = 12. Получаем: 12 > 0, то есть расстояние от центра окружности до про-

извольной точки окружности больше радиуса, поэтому точка расположена вне окружности.

Ответ: 1) вне; 2) внутри; 3) внутри; 4) на; 5) на; 6) вне.

Пример. 1.7. Найти координаты точек пересечения окружности 2 +2 + 2 − 4 − 20 = 0 с прямыми: 1) − − 4 = 0; 2) 3 − 4 +

+36 = 0; 3) − − 5 = 0.

Решение. Для нахождения координат точек пересечения окружности и прямой нужно совместно решить их уравнения.

Выразим из второго уравнения : = − 4 и подставим полученное

выражение в первое уравнение:

2 + ( − 4)2 + 2 − 4( − 4) − 20 = 0.

Преобразуем:

2 + 2 − 8 + 16 + 2 − 4 + 16 − 20 = 0, 2 2 − 10 + 12 = 0,2 − 5 + 6 = 0,

1 = 2, 2 = 3.

Отсюда: 1 = 2 − 4 = −2, 2 = 3 − 4 = −1.

Таким образом, точки пересечения окружности с прямой: (2; −2),

(3; −1).

2) { 2 + 2 + 2 − 4 − 20 = 0, 3 − 4 + 36 = 0.

Выразим из второго уравнения : = 34 + 9 и подставим получен-

ное выражение в первое уравнение:

2 + (34 + 9)2 + 2 − 4 (34 + 9) − 20 = 0.

Преобразуем:

2 + 169 2 + 272 + 81 + 2 − 3 − 36 − 20 = 0,

2516 2 + 252 + 25 = 0,

2 + 8 + 16 = 0.

Уравнение имеет два одинаковых действительных корня: = −4.

Отсюда: = 34 ∙ (−4) + 9 = 6.

Таким образом, прямая имеет одну точку пересечения с окружностью, то есть касается окружности в точке (−4; 6).

3){ 2 + 2 + 2 − 4 − 20 = 0,

− − 5 = 0.

Выразим из второго уравнения : = − 5 и подставим полученное выражение в первое уравнение:

24

2 + ( − 5)2 + 2 − 4( − 5) − 20 = 0.

Преобразуем:

2 + 2 − 10 + 25 + 2 − 4 + 20 − 20 = 0, 2 2 − 12 + 25 = 0.

Уравнение не имеет действительных корней, поэтому прямая не пересекает окружность.

Ответ: 1) (2; −2), (3; −1); 2) (−4; 6); 3) точек пересечения нет. Пример. 1.8. Составить уравнение окружности, проходящей через

точки (5; 0) и (1; 4), если её центр лежит на прямой + − 3 = 0. Решение. Обозначим центр точкой ( ; ). Так как по условию

центр лежит на прямой + − 3 = 0, то координаты центра удовлетворяют уравнению прямой. Подставляем: + − 3 = 0.

Так как по условию точки (5; 0) и (1; 4) лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Возьмём нормальное уравнение окружности с центром в точке ( ; ) радиуса : ( − )2 +

Полученные три уравнения объединим в систему:

+ − 3 = 0,

{(5 − )2 + 2 = 2,

(1 − )2 + (4 − )2 = 2.

Решим систему. Так как правые части второго и третьего уравнений

равны, то приравняем их левые части:

(5 − )2 + 2 = (1 − )2 + (4 − )2.

Преобразуем:

25 − 10 + 2 + 2 = 1 − 2 + 2 + 16 − 8 + 2, 8 − 8 − 8 = 0,− − 1 = 0.

Решим совместно полученное уравнение с первым уравнением си-

стемы:

{ + − 3 = 0,− − 1 = 0.

Сложив уравнения, получаем:

2 − 4 = 0, = 2.

Подставим = 2, например, в первое уравнение. Получаем:

2 + − 3 = 0, = 1.

Таким образом, центр окружности находится в точке (2; 1).

Найдём квадрат радиуса окружности, подставив координаты центра,

например во второе уравнение первоначальной системы:

(5 − 2)2 + 12 = 2, 2 = 10.

Подставляем значения , и 2 в нормальное уравнение окружно-

сти: ( − 2)2 + ( − 1)2 = 10.

Ответ: ( − 2)2 + ( − 1)2 = 10.

25

1.3.Касательная к окружности

Вряде задач аналитической геометрии, связанных с окружностью, требуется использовать условие, при котором прямая касается окружности,

атакже составлять уравнения касательных к окружности.

Условие, при котором прямая касается окружности с центром в начале координат.

Выведем условие, при котором прямая = + касается окружно-

сти 2 + 2 = 2.

Способ 1. Прямая касается окружности при условии, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Напомним

формулу нахождения расстояния от точки до прямой: = | 0+ 0+ | . Вы-

√ 2+ 2

ражение под знаком модуля представляет собой левую часть общего уравнения прямой, в которую подставлены координаты точки. В знаменателе и – коэффициенты при и в общем уравнении прямой.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом. Преобразуем его к общему уравнению прямой: − + = 0. Центр окружности находится в начале координат: (0; 0). Применим формулу нахождения расстояния от точки до прямой, учитывая, что это расстояние должно быть равно :

Это и есть условие, при котором прямая касается окружности.

Способ 2. Если прямая касается окружности, то они имеют одну общую точку. Условие, при котором прямая касается окружности, можно получить, совместно решая уравнения прямой и окружности. При этом результатом совместного решения должна быть одна точка.

Составляем систему уравнений:

= + , { 2 + 2 = 2.

Подставим выражение для из первого уравнения во второе уравне-

ние:

2 + ( + )2 = 2.

Преобразуем:

2 + 2 2 + 2 + 2 = 2, (1 + 2) 2 + 2 + ( 2 − 2) = 0.

Получили квадратное уравнение, которое имеет два одинаковых решения, то есть прямая и окружность имеют одну общую точку, если дискриминант уравнения равен нулю. Найдём дискриминант полученного квадратного уравнения, когда коэффициент перед чётный (если квадратное уравнение записано в виде 2 + + = 0, причём – чётное, то

формула дискриминанта имеет вид = (2)2 − ):

= 2 2 − (1 + 2)( 2 − 2).

26

Преобразуем:

= 2 2 − ( 2 − 2 + 2 2 − 2 2) = −2 + 2 + 2 2.

Приравняем дискриминант к нулю:

−2 + 2 + 2 2 = 0.

Преобразуем:

2(1 + 2) = 2,

2 = 1+2 2 .

Таким образом, получено следующее условие, при котором прямая касается окружности: = + .

Уравнение касательной к окружности с центром в начале координат.

Пусть точка 0( 0; 0) лежит на окружности 2 + 2 = 2. Составим уравнение касательной к этой окружности в точке 0.

Касательную обозначим через 0. Через точку касания и начало координат проведём прямую, которая, как известно из элементарной геометрии, перпендикулярна касательной. Эту прямую обозначим . Выполним схематичный чертёж (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Вывод уравнения касательной к окружности 2 + 2 = 2

Запишем угловой коэффициент прямой (напомним формулу угло-

Далее воспользуемся формулой уравнения прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку: − 0 = ( − 0), где ( 0; 0 ) – данная точка прямой; – угловой коэффициент прямой.

Составим уравнение касательной 0:

− 0 = − 0 ( − 0).

0

27

окружности. Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке 0( 0; 0) с центром в начале координат радиуса : 0 + 0 = 2. Подставляем: 0 = −3, 0 = −2, 2 = 13. Получаем: −3 − 2 = 13. Пре-

образуем: 3 + 2 + 13 = 0. Ответ: 3 + 2 + 13 = 0.

Пример 1.10. Из точки (4; 2) проведены касательные к окружности2 + 2 = 10. Составить их уравнения.

Решение. Обозначим точки касания с окружностью через 1 и 2. Выполним схематичный чертёж (рис. 1.20).

1

2

Рис. 1.20. Составление уравнений касательных к окружности, проведённых из точки (к Примеру 1.10.)

Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке0( 0; 0) с центром в начале координат радиуса : 0 + 0 = 2. Учитывая, что 2 = 10, получаем: 0 + 0 = 10. Так как точка (4; 2) лежит

на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и подставляем координаты точки .

Получаем: 4 0 + 2 0 = 10, 2 0 + 0 = 5.

Пусть 0 и 0 – координаты точки 1, которая лежит на окружности. Тогда координаты точки 1 должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляем в уравнение окружности = 0, = 0: 02 + 02 = 10.

Решим совместно полученные уравнения:

{ 2 0 + 0 = 5,02 + 02 = 10.

28

Выразим из первого уравнения 0: 0 = −2 0 + 5 и подставим полу-

ченное выражение во второе уравнение:

02 + (−2 0 + 5)2 = 10.

Преобразуем:

02 + 4 02 − 20 0 + 25 = 10, 5 02 − 20 0 + 15 = 0,

02 − 4 0 + 3 = 0, 0(1) = 3, 0(2) = 1.

Тогда:

0(1) = −2 ∙ 3 + 5 = −1, 0(2) = −2 ∙ 1 + 5 = 3.

Таким образом, получаем следующие точки касания:

1(3; −1), 2(1; 3).

Далее найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки

Ответ: 3 − − 10 = 0, + 3 − 10 = 0.

Пример. 1.11. Из точки (6; −8) проведены касательные к окружности 2 + 2 = 25. Вычислить расстояние от точки до хорды, соединяющей точки касания.

Решение. Обозначим точки касания с окружностью через 1 и 2. Выполним схематичный чертёж (рис. 1.21).

Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке0( 0; 0) с центром в начале координат радиуса : 0 + 0 = 2. Учи-

тывая, что 2 = 25, получаем: 0 + 0 = 25. Так как точка (6; −8) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и подставляем координаты точки

. Получаем: 6 0 − 8 0 = 25.

Пусть 0 и 0 – координаты точки 1, которая лежит на окружности Тогда координаты точки 1 должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляем в уравнение окружности = 0, = 0: 02 + 02 = 25.

Решим совместно полученные уравнения:

{6 0 − 8 0 = 25,02 + 02 = 25.

29

1

2

Рис. 1.21. Вычисление расстояния от точки до хорды (к Примеру 1.11.)

Выразим из первого уравнения 0: 0 = 34 0 − 258 и подставим полу-

ченное выражение во второе уравнение:

02 + (34 0 − 258 )2 = 25.

Преобразуем:

02 + 169 02 − 7516 0 + 62564 = 25, 2516 02 − 7516 0 − 97564 = 0,

4 02 − 12 0 − 39 = 0,= 62 − 4 ∙ (−39) = 192 = (8√3)2,

Таким образом, получаем следующие точки касания:

Составим уравнение прямой, проходящей через точки 1 и 2, используя уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку: − 0 = ( − 0). В качестве данной точки

возьмём, например, точку 1 (3+42√3 ; 3√32−4). Угловой коэффициент прямой

найден. Подставляем:

− 3√32−4 = 34 ( − 3+42√3).

30