Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

821

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

5.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

8.8.1) = 3, (3; 9);

3)= √3 , (√3; − 1415 ).

8.9.1) = 4, (4; − 512);

3)= 5√2, (5√2; 1720 ).

8.10.1) = 1, (1; − 4);

3)= 3√43 , (3√43 ; 79 ).

8.11.1) = 2, (2; 524);

3)= √42 , (√42 ; − 56 ).

8.12.1) = 3, (3; − 38 );

3)= √6, (√6; 1115 ).

8.13.1) = 1, (1; − 720);

3)= 2√5 , (2√5; 59 ).

8.14.1) = 7, (7; 3);

3)= √62 , (√62 ; − 1718 ).

8.15.1) = 2, (2; − 49 );

3)= 3√55 , (3√55 ; 1120 ).

8.16.1) = 4, (4; 6);

3)= √66 , (√66 ; − 1315 ).

8.17.1) = 3, (3; 25 );

3)= √10, (√10; − 1724 ).

8.18.1) = 1, (1; − 3);

3)= 2√3, (2√3; 1118 ).

8.19.1) = 4, (4; − 12);

3)= 2√37 , (2√37 ; 1315 ).

8.20.1) = 5, (5; − 29 );

3)= 6√73 , (6√73 ; 45 ).

8.21.1) = 2, (2; − 518);

3)= √43 , (√43 ; − 1924 ).

8.22.1) = 3, (3; 38 );

2) = 67 , (67 ; 0);

2) = 12 , (12 ; );

2) = 83 , (83 ; − 2);

2) = 76 , (76 ; 2);

2) = 52 , (52 ; 0);

2) = 49 , (49 ; );

2) = 47 , (47 ; − 2);

2) = 13 , (13 ; 2);

2) = 78 , (78 ; 0);

2) = 59 , (59 ; − 2);

2) = 53 , (53 ; );

2) = 14 , (14 ; 2);

2) = 89 , (89 ; − 2);

2) = 16 , (16 ; 0);

2) = 38 , (38 ; );


	3) =		√5	, (				√5					; −																		11										).
	3) =			, (									; −																												).
		2				2											15
8.23.	1)	= 4, (4; −																					);																								2) =	9	, (	9	;		);
8.23.	1)	= 4, (4; −															6						);																								2) =		, (		;		);
																	6																									5							5		2
	3) =		4√2			, (				4√2											;								7								).
	3) =					, (				3											;																).
		3								3							10
8.24.	1)	= 2, (2;								2						);																															2) =	7	, (	7	; 0);
8.24.	1)	= 2, (2;								9						);																															2) =		, (		; 0);
										9																																4							4
																						−											3							).
	3)	= √5			, (√5;																												3
	3)	= √5			, (√5;
																	5
8.25.	1)	= 5, (5;													);																																2) =	1	, (	1	; −			);
8.25.	1)	= 5, (5;								10					);																																2) =		, (		; −			);
										10																																2							2		2
																																										2				).
	3) = 2√3, (2√3; −																																									2
	3) = 2√3, (2√3; −																																									3
																																										3
8.26.	1)	= 1, (1; −																					);																								2) =	5	, (	5	; );
8.26.	1)	= 1, (1; −															8						);																								2) =		, (		; );
																	8																									9							9
																																										13					).
	3) = 4√2, (4√2; −																																									13
	3) = 4√2, (4√2; −																																									20
																																										20
8.27.	1)	= 4, (4; −															2											);																			2) =	7	, (	7	;		);
8.27.	1)	= 4, (4; −															15											);																			2) =		, (		;		);
																	15																									4							4		2
	3) =		√5	, (			√5				;			5											).
	3) =		8	, (			8				;			6											).
8.28.	1)	= 2, (2; −																								);																					2) =	9	, (	9	; 0);
8.28.	1)	= 2, (2; −															10									);																					2) =		, (		; 0);
																	10																									2							2

	3) =		6√2			, (			6√2									;						8										).
	3) =		7			, (			7									;						15										).
8.29.	1)	= 3, (3;											);																																		2) =	6	, (	6	; −			);
8.29.	1)	= 3, (3;								5			);																																		2) =		, (		; −			);
										5																																5							5		2
																																										7				).
	3)	= 2√2, (2√2; −																																								7
	3)	= 2√2, (2√2; −																																								12
																																										12
8.30.	1)	= 1, (1; −															7											);																			2) =	2	, (	2	; );
8.30.	1)	= 1, (1; −															18											);																			2) =		, (		; );
																	18																									7							7
	3) = √				, (√																	3										).
				3							3;											3
				3							3;
																	4
8.31.	1)	= 4, (4;													);																																2) =	9	, (	9	;		);
8.31.	1)	= 4, (4;								15					);																																2) =		, (		;		);
										15																																4							4		2
	3) =		7√5			, (				7√5											; −																	7							).
	3) =					, (															; −															8									).
		3								3																										8
8.32.	1)	= 2, (2;													);																																2) =	7	, (	7	; 0);
8.32.	1)	= 2, (2;								24					);																																2) =		, (		; 0);
										24																																2							2
	3) =		√5	, (				√5					; −																		5								).
	3) =			, (									; −																										).
		8				8											8
8.33.	1)	= 5, (5; −															9										);																				2) =	1	, (	1	; −			);
8.33.	1)	= 5, (5; −															20										);																				2) =		, (		; −			);
																	20																									6							6		2
	3) =		√6	, (				√6				;							2											).
	3) =			, (								;																		).
		2				2											3
8.34.	1)	= 3, (3;													);																																2) =	2	, (	2	; );
8.34.	1)	= 3, (3;								18					);																																2) =		, (		; );
										18																																7							7
																				−															4								).
	3)	= √2			, (√2;																														4
	3)	= √2			, (√2;
																																				5
8.35.	1)	= 2, (2; −																								);																					2) = 1, (1;					);
8.35.	1)	= 2, (2; −															15									);																					2) = 1, (1;					);
																	15																																		2
																																				7								).
	3) = 5√3 , (5√3;																																			7
	3) = 5√3 , (5√3;
																																				8
8.36.	1)	= 6, (6;								3						);																															2) =	8	, (	8	; 0);
8.36.	1)	= 6, (6;								10						);																															2) =		, (		; 0);
										10																																9							9
	3) =		2√2			, (				2√2											; −																	3							).
	3) =					, (															; −																								).
		3								3																										4
																																										62

Третий уровень сложности

9. Определение полярных координат центра окружности и радиуса по её полярному уравнению

Задание 9. Дано полярное уравнение окружности. Определить полярные координаты её центра и радиус.

9.1.1) = 4 cos ( − 12);

3)= −√7 cos ( + 8).

9.2.1) = 8 cos ( − 715);

3)= −2√2 cos ( + 25 ).

9.3.1) = 6 cos ( + 4);

3)= − 32 cos ( + 29 ).

9.4.1) = 4 cos ( − 25 );

3)= −√5 cos ( + 415).

9.5.1) = 8 cos ( − 9);

3)= −√2 cos ( + 512).

9.6.1) = 4 cos ( − 5);

3)= − √33 cos ( − 12).

9.7.1) = 12 cos ( + 10);

3)= − 32 cos ( + 3).

9.8.1) = 6 cos ( − 29 );

3)= −4√2 cos ( − 310).

9.9.1) = 4 cos ( + 3);

3)= −4√3 cos ( + 38 ).

9.10.1) = 5 cos ( − 4);

3)= −√3 cos ( − 29 ).

9.11.1) = 6 cos ( + 512);

3)= − 12 cos ( + 5).

9.12.1) = 8 cos ( − 8);

3)= −2√2 cos ( − 38 ).

9.13.1) = 2 cos ( + 49 );

3)= − 45 cos ( + 6).

2) = − 52 sin ;

2) = − 103 sin ;

2) = −2√3 cos ;

2) = sin ;

2) = − 163 sin ;

2) = 14 cos ;

2) = −√2 cos ;

2) = 52 sin ;

2) = − 72 sin ;

2) = cos ;

2) = − √45 cos ;

2) = − 43 sin ;

2) = √6 sin ;

9.14.	1)	= 4 cos						( +		3				);															2) =	5	cos ;
9.14.	1)	= 4 cos						( +						);															2) =		cos ;
							10																						3
	3)	= −	4√2					cos ( +												4								).
	3)	= −						cos ( +																				).
		3																		9
9.15.	1)	= 2 cos						( −			);																		2) = −3 cos ;
9.15.	1)	= 2 cos						( −			);																		2) = −3 cos ;
							3
						cos ( −																).
	3)	= −√5
	3)	= −√5
							8
9.16.	1)	= 6 cos						( +		2				);															2) = −			√7		sin ;
9.16.	1)	= 6 cos						( +						);															2) = −					sin ;
							5																						2
	3)	= −9 cos ( +																	).
	3)	= −9 cos ( +																	).
							12
9.17.	1)	= 10 cos ( −										3						);											2) = sin ;
9.17.	1)	= 10 cos ( −																);											2) = sin ;
							8
	3)	= −	√6		cos ( −																).
	3)	= −			cos ( −																).
		2					4
9.18.	1)	= 8 cos						( +			);																		2) =	5	cos ;
9.18.	1)	= 8 cos						( +			);																		2) =		cos ;
							6																						4
		= −√				cos ( +											2									).
	3)			3													2
	3)			3
							15
9.19.	1)	= 4 cos						( −		4				);															2) = −			3	sin ;
9.19.	1)	= 4 cos						( −						);															2) = −				sin ;
							9																						8
	3)	= −	3√7					cos ( −												5								).
	3)	= −						cos ( −																				).
		2																		12
9.20.	1)	= 6 cos						( −		3				);															2) = −			5	cos ;
9.20.	1)	= 6 cos						( −						);															2) = −				cos ;
							10																						4
	3)	= −	2√6					cos ( −												4								).
	3)	= −						cos ( −																				).
		3																		15
9.21.	1)	= 4 cos						( +		2				);															2) =	3	cos ;
9.21.	1)	= 4 cos						( +						);															2) =		cos ;
							9																						2
	3)	= −	√5		cos ( +										3									).
	3)	= −			cos ( +																			).
		2					10
9.22.	1)	= 8 cos						( +		5				);															2) =	7	sin ;
9.22.	1)	= 8 cos						( +						);															2) =		sin ;
							6																						2
						cos ( +																			).
	3)	= −√5
	3)	= −√5
							10
9.23.	1)	= 6 cos						( −			);																		2) = −			4	cos ;
9.23.	1)	= 6 cos						( −			);																		2) = −				cos ;
							6																						5
	3)	= −	√7		cos ( −										4									).
	3)	= −			cos ( −																			).
		4					9
9.24.	1)	= 2 cos						( −		5				);															2) =	8	cos ;
9.24.	1)	= 2 cos						( −						);															2) =		cos ;
							12																						3
	3)	= −	2√3					cos ( −															).
	3)	= −						cos ( −															).
		5																		3
9.25.	1)	= 4 cos						( −		4				);															2) = −6 cos ;
9.25.	1)	= 4 cos						( −						);															2) = −6 cos ;
							15
						cos ( −																).
	3)	= −√2
	3)	= −√2
							4
								( −		2				);
9.26.	1)	= 4 cos								2																			2) = −5√3 sin ;
9.26.	1)	= 4 cos																											2) = −5√3 sin ;
							15
	3)	= − cos ( −											).
	3)	= − cos ( −											).
							9
9.27.	1)	= 10 cos ( +														);													2) =	9	sin ;
9.27.	1)	= 10 cos ( +														);													2) =		sin ;
							12																						2
		= −2√							cos ( +																		).
	3)					3
	3)					3
																				5
9.28.	1)	= 6 cos						( +		7				);															2) =	7	cos ;
9.28.	1)	= 6 cos						( +						);															2) =		cos ;
							15																						4
																				64


	3)	= −	√2		cos ( +							7				).
	3)	= −			cos ( +							18				).
		3										18
		= 2 cos ( +					);
9.29.	1)															2)		= −4√3 cos ;
9.29.	1)															2)		= −4√3 cos ;
		9
	3)	= −5 cos ( +										).
	3)	= −5 cos ( +						4				).
								4
9.30.	1)	= 8 cos ( +				2				);						2)		= −			5	sin ;
9.30.	1)	= 8 cos ( +								);						2)		= −				sin ;
					5													6
	3)	= −	√2		cos ( +							5				).
	3)	= −			cos ( +							18				).
		2										18
9.31.	1)	= 4 cos ( −							);							2)		=	4	sin ;
9.31.	1)	= 4 cos ( −							);							2)		=		sin ;
		10																7
														).
	3)	= −√3 cos ( −
	3)	= −√3 cos ( −										5
												5
9.32.	1)	= 6 cos ( +					);									2)		= −			9	cos ;
9.32.	1)	= 6 cos ( +					);									2)		= −				cos ;
					8													2
	3)	= −	√6		cos ( +							2				).
	3)	= −			cos ( +											).
		2										5
9.33.	1)	= 14 cos ( −									);					2)		= − sin ;
9.33.	1)	= 14 cos ( −									);					2)		= − sin ;
		5
																	).
	3)	= −4√2 cos ( −
	3)	= −4√2 cos ( −													18
															18
		= 4 cos ( +				3				);
9.34.	1)					3										2)		= 2√6 cos ;
9.34.	1)															2)		= 2√6 cos ;
		8
	3)	= −	3	cos ( +									).
	3)	= −		cos ( +									).
		4						6
9.35.	1)	= 8 cos ( +					);									2)		=	7	sin ;
9.35.	1)	= 8 cos ( +					);									2)		=		sin ;
					5													3
	3)	= −	√2		cos ( +							7				).
	3)	= −			cos ( +							24				).
		2										24
9.36.	1)	= 2 cos ( −							);							2)		= −			7	sin ;
9.36.	1)	= 2 cos ( −							);							2)		= −				sin ;
		18																4
														).
	3)	= −√3 cos ( −
	3)	= −√3 cos ( −										5
												5

Тесты
Вариант	1

Первый уровень сложности.

1. Уравнение окружности с центром в точке (−2; 5) радиуса = 4

имеет вид:
1) ( + 2)2 + ( − 5)2 = 4			2) ( + 2)2 + ( − 5)2 = 16
3) ( − 2)2 + ( + 5)2 = 4			4) ( − 2)2 + ( + 5)2 = 16
5) ( − 5)2 + ( + 2)2 = 16
2. Установить, как расположены точки (−2; −1) и (6; −5) относи-
тельно окружности ( − 2)2 + ( + 3)2 = 20:
1)	обе внутри	2) обе вне	3) обе на контуре
4)	внутри, вне	5) вне, на контуре
Второй уровень сложности.

3. Уравнение = −√− 2 − 12 − 11 определяет:
1)	окружность с центром в точке (0; −6) радиуса = 5

2) левую половину окружности с центром в точке (0; −6) радиуса

= 5

3) правую половину окружности с центром в точке (0; −6) радиуса

= 5

4) верхнюю половину окружности с центром в точке (0; −6) радиу-

са = 5

5) нижнюю половину окружности с центром в точке (0; −6) радиу-

са = 5

4. Прямая 2 − 3 + 18 = 0 пересекает окружность 2 + 2 + 12 −

−4 + 27 = 0 в следующих точках:
1)	1(0; −9), 2(4; −3)	2) 1(−9; 0), 2(−3; 4)
3)	прямая касается окружности в точке (−9; 0)
4) прямая касается окружности в точке (−3; 4)
5)	прямая проходит вне окружности

Третий уровень сложности.

5. Кратчайшее расстояние от точки (3; 9) до окружности 2 +

+ 2 − 26 + 30 + 313 = 0 равно:
1) 17	2) √17	3) −17	4) 81	5) 9

Вариант 2

Первый уровень сложности.

1. Дано уравнение окружности ( − 4)2 + ( + 9)2 = 36. Координа-

ты её центра и радиус равны:
1)	(−4;	9), = 36	2) (−4; 9), = 6
3)	(4; −9), = 36		4) (4; −9), = 6
5)	(−9;	4), = 6

2. Уравнение касательной к окружности		2 + 2 = 8 в её точке
(−2; 2) имеет вид:
1) + − 4 = 0	2) + + 4 = 0	3) − + 4 = 0
4) − − 4 = 0	5) − = 0

Второй уровень сложности.

3. Уравнение = √20 + 8 − 2 определяет:

1)окружность с центром в точке (4; 0) радиуса = 6

2)верхнюю половину окружности с центром в точке (4; 0) радиуса

= 6

3) нижнюю половину окружности с центром в точке (4; 0) радиуса

= 6

4) левую половину окружности с центром в точке (4; 0) радиуса

= 6

2) правую половину окружности с центром в точке (4; 0) радиуса

= 6

4. Точки пересечения прямой 2 − − 7 = 0 и окружности 2 + 2 −

−2 + 10 + 21 = 0 имею вид:
1) 1(0; −7), 2(2; −3)	2) 1(−7; 0), 2(−3; 2)

3)прямая касается окружности в точке (0; −7)

4)прямая касается окружности в точке (2; −3)

5)прямая проходит вне окружности

Третий уровень сложности.

5. Составить уравнения касательных к окружности 2 + 2 − 2 + +4 = 0, перпендикулярных к прямой − 2 + 9 = 0:

1)2 − − 5 = 0, 2 + + 5 = 0

2)2 + − 5 = 0, 2 + + 5 = 0

3)2 − − 5 = 0, 2 − + 5 = 0

4)− 2 − 5 = 0, + 2 + 5 = 0

5)+ 2 − 5 = 0, + 2 + 5 = 0

Глава 2. Эллипс

В этой главе будет рассмотрен такой простейший геометрический

объект как эллипс. Эллипс – это линия, уравнение которой может быть за-

писано в виде 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0, где , , , , ,

– некоторые числа, причём 2 + 2 + 2 ≠ 0 и − 2 > 0. Указанное уравнение является общим уравнением второй степени. Этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на эллипсе, и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на эллипсе.

2.1. Определение эллипса

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек 1 и 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2. Требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами.

2.2. Каноническое уравнение эллипса

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, начало координат находилось в середине между фокусами. Расстояние между фокусами обозначим через 2. Пусть (; ) – произвольная точка эллипса. Обозначим через 1 расстояние от точки до фокуса 1, обозначим через 2 расстояние от точки до фокуса 2. Величины 1 и 2 называют фокальными радиусами точки . Сделаем схематичный чертёж

(рис. 2.1).


		1
		2
1		2

Рис. 2.1. Определение эллипса

Исходя из определения эллипса, можно записать: 1 + 2 = 2, где1 – расстояние между точками и 1, 2 – расстояние между точками и

Учитывая, что точки 1 и 2 симметричны относительно начала координат и расстояние между этими точками равно 2, можно записать их

координаты: 1(− ; 0), 2(; 0).
	Далее, запишем выражение расстояния между точками и 1, ис-
пользуя		формулу		расстояния		между	двумя	точками	=

√(	−	)2 + (	−	)2, где ( ;		) – одна точка, ( ; ) – другая точка.
2	1	2	1	1	1		2	2
Здесь 1 = −, 1			= 0, 2 = , 2		= . Получаем:
						68

1 = | 1| = √( + )2 + ( − 0)2 = √( + )2 + 2.

Аналогично запишем выражение расстояния между точками и 2,

учитывая, что 1 = , 1 = 0, 2 = , 2 = . Получаем:

2 = | 2| = √( − )2 + ( − 0)2 = √( − )2 + 2.

Подставим полученные выражения в равенство 1 + 2 = 2 :

√( + )2 + 2 + √( − )2 + 2 = 2 .

Упростим полученное уравнение. Изолируем первый корень:

√( + )2 + 2 = 2 − √( − )2 + 2.

Возведём обе части равенства в квадрат:

( + )2 + 2 = 4 2 − 4 √( − )2 + 2 + ( − )2 + 2.

Раскроем квадраты, стоящие вне корня:

2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 − 4 √( − )2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2.

Часть слагаемых уничтожается. Перенесём корень в левую часть уравнения. Получаем:

4 √( − )2 + 2 = 4 2 − 4 .

Разделим уравнение на 4:

√( − )2 + 2 = 2 − .

Возведём обе части равенства в квадрат:

2(( − )2 + 2) = ( 2 − )2.

Раскроем скобки:

2 2 − 2 2 + 2 2 + 2 2 = 4 − 2 2 + 2 2.

Преобразуем:

2( 2 − 2) + 2 2 = 2( 2 − 2).

Так как 2 > 2 , то > и 2 − 2 > 0. Обозначим 2 − 2 через 2:

− = .

Получена формула, показывающая связь между , и .

Тогда уравнение принимает вид:

2 2 + 2 2 = 2 2.

Разделив уравнение на 2 2, получаем:

+ = .

Полученное уравнение называется каноническим (простейшим)

уравнением эллипса.

Отметим, если фокусы лежат на оси , то 2 − 2 = 2 и тогда >. Если же фокусы лежат на оси , то > .

2.3. Форма эллипса

Проанализируем полученное каноническое уравнение и установим форму эллипса.

1)Так как при замене на – , на – каноническое уравнение эллипса не меняется, то эллипс симметричен относительно обеих осей координат.

2)Найдём точки пересечения эллипса с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью возьмём = 0 и под-

ставим в уравнение эллипса. Получаем: 22 + 022 = 1, 22 = 1, 2 = 2, = = ±, то есть эллипс пересекает ось в двух точках: 1(− ; 0) и 2(; 0).

Для нахождения точки пересечения с осью возьмём = 0 и подставим в уравнение эллипса. Получаем: 022 + 22 = 1, 22 = 1, 2 = 2, =

=±, то есть эллипс пересекает ось в двух точках: 1(0; −) и 2(0; ).

3)Точки пересечения эллипса с осями координат, то есть точки 1,2, 1, 2 называются вершинами эллипса. Отрезок 1 2 длины 2 называется большой осью эллипса. Отрезок 2 длины называется большой полуосью эллипса. Отрезок 1 2 длины 2 называется малой осью эллипса. Отрезок 2 длины называется малой полуосью эллипса.

4)Если = , то каноническое уравнение эллипса принимает вид:

22 + 22 = 1, 2 + 2 = 2. Получили каноническое уравнение окружности с

центром в начале координат радиуса , то есть окружность представляет частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны.

5) Выразим из канонического уравнения :

22 = 1 − 22 , 2 = 2 (1 − 22), = ±√ 2 (1 − 22) = ±√1 − 22 =

= ±√ 2−2 2 = ± √2 − 2.

Из уравнения видно, что [− ; ]. Если приближается к , то приближается к 0. Аналогично, если приближается к – , то приближается к 0. При = 0 выражение 2 − 2 принимает наибольшее значение 2.

Таким образом, точка 1 – самая левая точка эллипса, точка 2 – самая правая точка эллипса, точка 1 – самая нижняя точка эллипса, точка 2

– самая верхняя точка эллипса. Линия эллипса идёт из точки 2 влево и вниз до точки 1, вправо и вниз до точки 2; из точки 1 влево и вверх до точки 1, вправо и вверх до точки 2.

2.4. Построение эллипса

На основании проведённого исследования изобразим эллипс. Начнём с построения вспомогательного прямоугольника. Для этого отложим по осиот начала координат влево и вправо единиц, по оси от начала координат вверх и вниз единиц. Получим вершины эллипса – точки 1, 2,1, 2. Эти точки являются серединами сторон вспомогательного прямоугольника. В полученный прямоугольник вписываем эллипс. Графически эллипс напоминает овал (рис. 2.2).

Если уравнение эллипса записано в виде ( − 0)2 + ( − 0)2 = 1, то его

2 2

можно привести к каноническому уравнению с помощью формул преобра-

зования координат при параллельном сдвиге осей: { ′ = − 0,′ = − 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20245.44 Mб0817.pdf
#
09.01.20245.44 Mб0818.pdf
#
09.01.20245.46 Mб0819.pdf
#
09.01.2024441.6 Кб082.pdf
#
09.01.20245.47 Mб0820.pdf
#
09.01.20245.5 Mб2821.pdf
#
09.01.20245.54 Mб0822.pdf
#
09.01.20245.55 Mб1823.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0824.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0825.pdf
#
09.01.20245.57 Mб0826.pdf