821

гиперболы = 2√2, = 2√6.

4)4 2 − 9 2 = 25. Разделим уравнение на 25. Получаем: 4252 − 9252 =

=1. Разделим числитель и знаменатель первой дроби на 4, второй дроби –

на 9. Получаем: 252 − 252 = 1. Сравнивая данное уравнение с каноническим

4 9

уравнением гиперболы 22 − 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение

определяет гиперболу. Преобразуем уравнение: 22 − 22 = 1. Полуоси ги-

(52) (53)

перболы = 52 , = 53 .

5) 2 + 2 = 1. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением гиперболы 22 − 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не опре-

деляет гиперболу, так как в уравнении гиперболы между квадратами стоит знак минус, а в данном уравнении стоит знак плюс. Оно представляет окружность, которая была рассмотрена выше.

нием гиперболы 22 − 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не опре-

деляет гиперболу, так как содержит квадрат только одной переменной. Оно представляет параболу, которая будет рассмотрена позже.

9) 3 − 2 + 4 = 0. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением гиперболы 22 − 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не

141

определяет гиперболу, так как не содержит квадраты переменных. Оно представляет прямую.

10) − 5 = 0. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением гиперболы 22 − 22 = 1, устанавливаем, что данное уравнение не опре-

деляет гиперболу, так как не содержит квадраты переменных. Оно представляет прямую, параллельную оси и отсекающей на оси отрезок

= 5.

Ответ: 2), = 4, = 3; 3), = 2√2, = 2√6; 4), = 52 , = 53 ; 6), = 1, = √5; 7), = 12 , = √77 .

Пример. 3.5. Установить, какие линии определяются следующими

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке (0; 0) и полуосями = 4, = 3. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет часть гиперболы, расположенной в нижней полуплоскости (рис. 3.17).

1002 = −1. Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке

(0; 0) и полуосями = 7, = 10. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет часть гиперболы, расположенной в правой полуплоскости (рис. 3.18).

3

Рис. 3.17. Линия, заданная уравнением = − 34 √ 2 − 16 (к Примеру 3.5 (1))

Рис. 3.18. Линия, заданная уравнением = 107 √ 2 − 100 (к Примеру 3.5 (2))

Преобразуем: 2 = 8125 2 + 81, 2 − 8125 2 = 81, 812 − 252 = 1. Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке (0; 0) и полуосями

= 9, = 5. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет часть гиперболы, расположенной в правой полуплоскости (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Линия, заданная уравнением = 59 √ 2 + 25 (к Примеру 3.5 (3))

143

лученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет часть гиперболы, расположенной в нижней полуплоскости (рис. 3.20).

1

−1

Рис. 3.20. Линия, заданная уравнением = 12 √ 2 + 4 (к Примеру 3.5 (4))

= 6. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет часть гиперболы, расположенной правее прямой = −4 (рис. 3.21).

Рис. 3.21. Линия, заданная уравнением = −4 + 32 √ 2 − 36. (к Примеру 3.5 (5))

144

ченное уравнение определяет гиперболу с центром в точке (0; −2) полу-

осями = 4, = 5. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет левую ветвь гиперболы (рис. 3.22).

3

дём обе части уравнения в квадрат:

( + 5)2 = 49 ( 2 − 6 + 45).

Преобразуем:

9( + 5)2 = 4[( − 3)2 + 36], 4( − 3)2 − 9( + 5)2 = −4 ∙ 36,

( −3)36 2 − ( +5)16 2 = −1.

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке(3; −5) полуосями = 6, = 4. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет верхнюю ветвь гиперболы (рис. 3.23).

Пример. 3.6. Определить, какие из точек 1(5; −6), 2(−2; −4),

3(0; 3), 4(−√6; 0) лежат на гиперболе 8 2 − 5 2 = −48. Указание. Ес-

ли точка лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению этой гиперболы.

145

(к Примеру 3.5 (7))

Решение.

Подставим координаты точки 1(5; −6) в левую часть уравнения гиперболы: 8 ∙ 52 − 5 ∙ (−6)2 = 200 − 180 = 20 ≠ −48, следовательно,

точка 1 не лежит на гиперболе.

Подставим координаты точки 2(−2; −4) в левую часть уравнения гиперболы: 8 ∙ (−2)2 − 5 ∙ (−4)2 = 32 − 80 = −48, следовательно, точка 2 лежит на гиперболе.

Подставим координаты точки 3(0; 3) в левую часть уравнения гиперболы: 8 ∙ 02 − 5 ∙ 32 = 0 − 45 = −45 ≠ −48, следовательно, точка 3 не лежит на гиперболе.

Подставим координаты точки 4(−√6; 0) в левую часть уравнения

гиперболы: 8 ∙ (−√6)2 − 5 ∙ 02 = 48 − 0 = 48 ≠ −48, следовательно, точка4 не лежит на гиперболе.

Ответ: точка 2 лежит на гиперболе.

Пример. 3.7. Найти точки пересечения прямой и гиперболы, если они заданы следующими уравнениями:

1)4 − 3 − 16 = 0, 252 − 162 = 1;

2)2 − + 1 = 0, 92 − 42 = 1;

3)2 − − 10 = 0, 202 − 52 = 1;

4)5 − 4 − 19 = 0, 8 2 − 3 2 − 48 − 6 + 16 = 0.

Решение.

Для нахождения координат точек пересечения прямой и гиперболы

Преобразуем:

−16 2 + 200 − 625 = 0, 16 2 − 200 + 625 = 0, (4 − 25)2 = 0.

Уравнение имеет два одинаковых действительных корня: = 254 . От-

сюда: = 43 (254 − 4) = 3.

Таким образом, прямая имеет одну точку пересечения с гиперболой,

то есть касается гиперболы в точке (254 ; 3).

2 − + 1 = 0,

2) { 92 − 42 = 1.

Выразим из первого уравнения : = 2 + 1 и подставим полученное выражение во второе уравнение:

2 − (2 +1)2 = 1

9 4

.

Преобразуем:

4 2 − 9(2 + 1)2 = 36, 4 2 − 9(4 2 + 4 + 1) = 36, 4 2 − 36 2 − 36 − 9 = 36, −32 2 − 36 − 45 = 0, 32 2 + 36 + 45 = 0.

Уравнение не имеет действительных корней, поэтому прямая не пе-

ресекает гиперболу.

2 − − 10 = 0,

3) { 202 − 52 = 1.

Выразим из первого уравнения : = 2 − 10 и подставим получен-

ное выражение во второе уравнение:

2 − (2 −10)2 = 1.

20 5

Преобразуем:

2 − 4(2 − 10)2 = 20,

2 − 4(4 2 − 40 + 100) = 20,

2 − 16 2 + 160 − 400 = 20,

−15 2 + 160 − 420 = 0, 3 2 − 32 + 84 = 0.

1 = 6, 2 = 143 .

Отсюда: 1 = 2 ∙ 6 − 10 = 2, 2 = 2 ∙ 143 − 10 = − 23 .

Таким образом, точки пересечения прямой с гиперболой: (6; 2),

(143 ; − 23).

147

5 − 4 − 19 = 0, 4) {8 2 − 3 2 − 48 − 6 + 16 = 0.

Выразим из первого уравнения : = 54 − 194 и подставим получен-

ное выражение во второе уравнение:

8 2 − 3 (54 − 194 )2 − 48 − 6 (54 − 194 ) + 16 = 0.

Преобразуем:

8 2 − 163 (5 − 19)2 − 48 − 64 (5 − 19) + 16 = 0, 128 2 − 3(5 − 19)2 − 768 − 24(5 − 19) + 256 = 0,

128 2 − 3(25 2 − 190 + 361) − 768 − 120 + 456 + 256 = 0, 128 2 − 75 2 + 570 − 1083 − 888 + 712 = 0, 53 2 − 318 − 371 = 0,2 − 6 − 7 = 0,

1 = −1, 2 = 7.

Отсюда: 1 = 54 ∙ (−1) − 194 = −6, 2 = 54 ∙ 7 − 194 = 4.

Таким образом, точки пересечения прямой с гиперболой: (−1; −6),

(7; 4).

Ответ: 1) (254 ; 3); 2) точек пересечения нет; 3) (6; 2), (143 ; − 23); 4) (−1; −6), (7; 4).

3.7. Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к расстоянию между её вершинами. Эксцентриситет ги-

перболы, как и для эллипса, принято обозначать буквой . Можно записать:

= 22 = .

Таким образом, формула для нахождения эксцентриситета гипербо-

лы такая же как и для эллипса:

= .

При выводе канонического уравнения гиперболы было показано, что

больше вытянут основной прямоугольник. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, и самой гиперболы.

148

Если гипербола равносторонняя, то есть = , то = √1 + ( )2 =

= √1 + 1 = √2. Таким образом, эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

3.8. Фокальные радиусы гиперболы

При выводе канонического уравнения гиперболы было получено равенство

± √( − )2 + 2 = − 2.

Разделим это равенство на ± :

√( − )2 + 2 = ± ( − ).

Учитывая, что = , получаем:

√( − )2 + 2 = ±( − ).

Учитывая также, что √( − )2 + 2 = 2, получаем формулу для

нахождения фокального радиуса, проведённого из правого фокуса:

2 = ±( − ).

Воспользуемся равенством 1 − 2 = ±2 , где "+" относится к точ-

кам правой ветви гиперболы, "−" относится к точкам левой ветви гипербо-

лы. Получаем: 1 = 2 ± 2 = ±( − ) ± 2 = ±( + ).

Таким образом, формулы для нахождения фокальных радиусов точек правой ветви гиперболы:

= + , = − .

Формулы для нахождения фокальных радиусов точек левой ветви гиперболы:

= −( + ), = −( − ).

3.9. Директрисы гиперболы

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоя-

нии от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис имеют вид:

= ± .

Так как для гиперболы > 1, то < и, следовательно, левая дирек-

триса расположены между центром и левой вершиной, правая директриса расположены между центром и правой вершиной (рис. 3.24).

Рассмотрим величину , равную расстоянию от произвольной точки гиперболы до директрисы и рассмотрим фокальный радиус этой же точки, проведённый из ближайшего к директрисе фокуса. Связь между величинами , и эксцентриситетом выразим теоремой.

149

Рис. 3.24. Директрисы гиперболы

Теорема. Если – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-либо фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей

этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, рав-

ная эксцентриситету гиперболы: = .

Доказательство. Доказательство проведём для правого фокуса и правой директрисы. Пусть (; ) – произвольная точка гиперболы. Рассмотрим два случая.

1) Точка расположена на правой ветви гиперболы (рис. 3.25). По чертежу можно записать выражение для : = − . Далее запишем формулу для правого фокального радиуса: = − . Составляем искомое

Рис. 3.25. Доказательство связи , и для правой ветви гиперболы

150