Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

821

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

5.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ваем, что данное уравнение определяет эллипс. Преобразуем уравнение:

2							2																									9						9
			+					= 1. Полуоси эллипса =																														, =				.
9		2	+			9 2		= 1. Полуоси эллипса =																													4	, =		5		.
(4)				(5)
						10) 9 2				+ 4 2 = 1. Представим 9 следующим образом:																																													9 =						1		. Ана-
						10) 9 2				+ 4 2 = 1. Представим 9 следующим образом:																																													9 =						1		. Ана-
																																																													9
																											1																																			2
логично представим 4: 4 =																															. Исходное уравнение принимает вид:																																	+
логично представим 4: 4 =																													1		. Исходное уравнение принимает вид:																															1		+
																											4																																		9
+		2			= 1. Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением эллипса
+		1
		4
2					2
		+					= 1, устанавливаем, что данное уравнение определяет эллипс. Пре-
2		+			2
																				2									2																							1			1
образуем уравнение:																						+										= 1. Полуоси эллипса =																						, =						.
образуем уравнение:																				1 2		+						1 2				= 1. Полуоси эллипса =																				3		, =			2			.
										(3) (2)
						Ответ: 3), = 4, = 3; 5), = 2, = 1; 6), = √15, = √7;
8) = 2, = √															; 9), =									9			, =						9		; 10) =				1		, =		1		.
											3													9									9						1				1
											3
										4																						5						3			2
						Пример. 2.5. Установить, какие линии определяются следующими
уравнениями:
									4
						1) =			4	√25 − 2											;																				2) = −2√4 − 2;
						1) =				√25 − 2											;																				2) = −2√4 − 2;
				5									3

						3) = −								√16 − 2											;																4) = 5√1 − 2;
						3) = −								√16 − 2											;																4) = 5√1 − 2;
										2								6																														3

						5) = −3 −													√25 − 2;																						6) = 5 +									√49 − 2									;
						5) = −3 −													√25 − 2;																						6) = 5 +									√49 − 2									;
										5																																					7
																1
						7) = 3 −										1	√60 − 4 − 2																		.
						7) = 3 −											√60 − 4 − 2																		.
										2
						Решение.
										4																																									≥ 0,
						1) =				4		√25 − 2											.				Запишем											ограничения: {													≥ 0,										Отсюда:
						1) =				5		√25 − 2											.				Запишем											ограничения: {									25 − 2 ≥ 0.														Отсюда:
			≥ 0,							5																																					25 − 2 ≥ 0.
{			≥ 0,							Возведём обе части уравнения в квадрат:																																											2 =			16		(25 − 2).
{	−5 ≤ ≤ 5.									Возведём обе части уравнения в квадрат:																																											2 =		25			(25 − 2).
	−5 ≤ ≤ 5.																																											2					2						25
Преобразуем:													2 = 16 −													16				2		,		16		2		+ 2 = 16,						2		+			2			= 1.				Полученное
Преобразуем:													2 = 16 −																	2		,				2		+ 2 = 16,								+		16				= 1.				Полученное
										25																						25									25							16

уравнение определяет эллипс с центром в точке (0; 0) и полуосями = 5,= 4. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет верхнюю половину эллипса (рис. 2.14).

−5				5
	−4
		4
Рис. 2.14. Линия, заданная уравнением =		4	√25 − 2		(к Примеру 2.5(1))
Рис. 2.14. Линия, заданная уравнением =			√25 − 2		(к Примеру 2.5(1))
	5
	81

≤ 0,

= −2√4 − 2. Запишем ограничения:

{

Отсюда:

4 − 2 ≥ 0.

{

≤ 0,

Возведём обе части уравнения

в квадрат: 2

= 4(4 − 2).

−2 ≤ ≤ 2.

Преобразуем: 2 = 16 − 4 2, 2 + 4 2 = 16,

= 1. Полученное урав-

нение определяет эллипс с центром в точке (0; 0) и полуосями = 4, =

2. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет левую половину эллипса (рис. 2.15).

−4

−2

Рис. 2.15. Линия, заданная уравнением = −2√4 − 2 (к Примеру 2.5(2))

≤ 0,

3) = −

√16 − 2

Запишем ограничения: {

Отсюда:

16 − 2 ≥ 0.

≤ 0,

{

Возведём обе части уравнения в

квадрат: 2 =

(16 − 2).

−4 ≤ ≤ 4.

Преобразуем:

2 = 36 −

2 + 2 = 36,

= 1.

Полученное

уравнение определяет эллипс с центром в точке

(0; 0) и полуосями = 4,

= 6. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет нижнюю половину эллипса (рис. 2.16).

−4

−6

Рис. 2.16. Линия, заданная уравнением = −

√16 − 2

(к Примеру 2.5(3))

≥ 0,

4) = 5√1 − 2. Запишем

ограничения:

{

Отсюда:

1 − 2 ≥ 0.

{

≥ 0,

Возведём обе части уравнения в квадрат:

2 = 25(1 − 2).

−1 ≤ ≤ 1.

Преобразуем:

2 = 25 − 25 2, 2

+ 25 2 = 25,

= 1.

Полученное

уравнение определяет эллипс с центром в точке (0; 0) и полуосями = 5,= 1. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет правую половину эллипса (рис. 2.17).

−5

−1

Рис. 2.17. Линия, заданная уравнением = 5√1 − 2 (к Примеру 2.5(4))

. Преобразуем: + 3 = −

= −3 −

√25 − 2

√25 − 2. Запи-

+ 3 ≤ 0,

≤ −3,

шем ограничения: {25 − 2 ≥ 0.

Отсюда:

{−5 ≤ ≤ 5.

Возведём обе части

уравнения в квадрат: ( + 3)2 =

(25 − 2). Преобразуем: ( + 3)2 =

= 36 −

2, ( + 3)2 +

2 = 36,

( +3)2

= 1. Полученное уравнение

определяет эллипс с центром в точке (−3; 0) и полуосями = 6, = 5.

Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет левую половину эллипса (рис. 2.18).


							−9								−3		3
																	−5
																				6
				Рис. 2.18. Линия, заданная уравнением = −3 −																6	√25 − 2
				Рис. 2.18. Линия, заданная уравнением = −3 −																	√25 − 2
																		5
												(к Примеру 2.5(4))
					3					Преобразуем: − 5 =								3
		6)		= 5 +	3	√49 − 2		.										3	√49 − 2			. Запишем
		6)		= 5 +		√49 − 2		.											√49 − 2			. Запишем
				7														7
ограничения: { − 5 ≥ 0,										Отсюда:						{	≥ 5,	Возведём				обе части
				49 − 2 ≥ 0.									9				−7 ≤ ≤ 7.
уравнения в квадрат: ( − 5)2										=			9		(49 − 2). Преобразуем: ( − 5)2 = 9 −
уравнения в квадрат: ( − 5)2										=		49			(49 − 2). Преобразуем: ( − 5)2 = 9 −
−	9	2,	9	2 + ( − 5)2 = 9,					2		+			( −5)2		= 1. Полученное уравнение опреде-
−		2,		2 + ( − 5)2 = 9,				49			+					= 1. Полученное уравнение опреде-
49		49						49				9

ляет эллипс с центром в точке (0; 5) и полуосями = 7, = 3. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет верхнюю половину эллипса (рис. 2.19).

−7

Рис. 2.19. Линия, заданная уравнением = 5 +

√49 − 2

(к Примеру 2.5(1))

7) = 3 −

√60 − 4 − 2

. Преобразуем: − 3 = −

√60 − 4 − 2

− 3 ≤ 0,

≤ 3,

Запишем ограничения: {60 − 4 − 2 ≥ 0.

Отсюда: {−10 ≤ ≤ 6.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

( − 3)2 =

(60 − 4 − 2).

Преобразуем:

4( − 3)2 = −( 2 + 4 − 60),

4( − 3)2 = −[( + 2)2 − 64],

( + 2)2 + 4( − 3)2 = 64,

( +2)2

( −3)2

= 1.

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке (−2; 3)

и полуосями = 8, = 4. Учитывая полученные выше ограничения, заключаем, что исходное уравнение определяет нижнюю половину эллипса

(рис. 2.20).


							−2	3
						−10		−1	6
								−1
											1
		Рис. 2.20. Линия, заданная уравнением = 3 −									1	√60 − 4 − 2
		Рис. 2.20. Линия, заданная уравнением = 3 −									2	√60 − 4 − 2
											2
						(к Примеру 2.5(1))
	Пример. 2.6.			Определить, какие				из точек		1(6; −3), 2(−2; 5),
3(3; −6),																2
		4(√50;		0), 5(−4; 2√6), 6(1; √26)						лежат на эллипсе						2	+
		4(√50;		0), 5(−4; 2√6), 6(1; √26)						лежат на эллипсе						48	+
2																48
2	= 1, какие внутри и какие вне эллипса. Указание. Если точка														( ; )
	= 1, какие внутри и какие вне эллипса. Указание. Если точка														( ; )
36														0	0		0
36			2		2								2
			2		2								2
лежит на эллипсе				+		= 1, то имеет место равенство					0			+
лежит на эллипсе			2	+	2	= 1, то имеет место равенство					2			+
			2		2						2
						84

+ 022 = 1; если точка 0( 0; 0) лежит внутри эллипса, то имеет место не-

равенство 022 + 022 < 1; если точка 0( 0; 0) лежит вне эллипса, то имеет

место неравенство 022 + 022 > 1.

Решение.

Подставим координаты точки 1(6; −3) в левую часть уравнения эл-

липса: 4862 + (−363)2 = 3648 + 369 = 34 + 14 = 1, следовательно, точка 1 лежит на эллипсе.

Подставим координаты точки 2(−2; 5) в левую часть уравнения эл-

липса: (−2)48 2 + 3652 = 484 + 2536 = 121 + 2536 = 2836 < 1, следовательно, точка 2 ле-

жит внутри эллипса.

Подставим координаты точки 3(3; −6) в левую часть уравнения эл-

липса: 4832 + (−366)2 = 489 + 3636 = 163 + 1 = 1619 > 1, следовательно, точка 3 лежит вне эллипса.

Подставим координаты точки 4(√50; 0) в левую часть уравнения эллипса: (√50)48 2 + 3602 = 5048 + 0 = 2524 > 1, следовательно, точка 4 лежит вне эллипса.

Подставим координаты точки 5(−4; 2√6) в левую часть уравнения

эллипса: (−4)48 2 + (2√366)2 = 1648 + 2436 = 13 + 23 = 1, следовательно, точка 5 лежит на эллипсе.

Подставим координаты точки 6(1; √26) в левую часть уравнения

эллипса: 4812 + (√3626)2 = 481 + 2636 = 481 + 1318 = 107144 < 1, следовательно, точка 6

лежит внутри эллипсе.

Ответ: точки 1 и 5 лежат на эллипсе; точки 2 и 6 лежат внутри эллипса; точки 3 и 4 лежат вне эллипса.

Пример. 2.7. Найти точки пересечения прямой и эллипса, если они заданы следующими уравнениями:

1)2 − − 3 = 0, 162 + 92 = 1;

2)2 + − 10 = 0, 92 + 42 = 1;

3)3 + 2 − 20 = 0, 402 + 102 = 1;

4)2 + + 1 = 0, 6 2 + 5 2 + 36 − 50 + 153 = 0.

Решение.

Для нахождения координат точек пересечения прямой и эллипса

нужно совместно решить их уравнения.

2 − − 3 = 0,

1) { 162 + 92 = 1.

Выразим из первого уравнения : = 2 − 3 и подставим полученное выражение во второе уравнение:

2 + (2 −3)2 = 1

16 9

Преобразуем:

9 2 + 16(2 − 3)2 = 144, 9 2 + 16(4 2 − 12 + 9) = 144,

9 2 + 64 2 − 192 + 144 = 144, 73 2 − 192 = 0,(73 − 192) = 0,

1 = 0, 2 = 19273 .

Отсюда: 1 = 2 ∙ 0 − 3 = −3, 2 = 2 ∙ 19273 − 3 = 16573 .

Таким образом, точки пересечения прямой с эллипсом: (0; −3),

(19273 ; 16573 ). 2 + − 10 = 0,

2) { 92 + 42 = 1.

Выразим из первого уравнения : = −2 + 10 и подставим полученное выражение во второе уравнение:

2 + (−2 +10)2 = 1

9 4

Преобразуем:

4 2 + 9(−2 + 10)2 = 36, 4 2 + 9(4 2 − 40 + 100) = 36,

4 2 + 36 2 − 360 + 900 = 36, 40 2 − 360 + 864 = 0, 5 2 − 45 + 108 = 0.

Уравнение не имеет действительных корней, поэтому прямая не пе-

ресекает эллипс.

3 + 2 − 20 = 0,

3) { 402 + 102 = 1.

Выразим из первого уравнения : = − 32 + 10 и подставим полу-

ченное выражение во второе уравнение:

2 + (−32 +10)2 = 1.

40 10

Преобразуем:

2 + 4 (− 32 + 10)2 = 40,

2 + 4 (49 2 − 30 + 100) = 40,

2 + 9 2 − 120 + 400 = 40,

10 2 − 120 + 360 = 0,2 − 12 + 36 = 0, ( − 6)2 = 0.

Уравнение имеет два одинаковых действительных корня: = 6. От-

сюда: = − 32 ∙ 6 + 10 = 1.

Таким образом, прямая имеет одну точку пересечения с эллипсом, то

есть касается эллипса в точке (6; 1).

2 + + 1 = 0, 4) {6 2 + 5 2 + 36 − 50 + 153 = 0.

Выразим из первого уравнения : = −2 − 1 и подставим полу-

ченное выражение во второе уравнение:

6 2 + 5(−2 − 1)2 + 36 − 50(−2 − 1) + 153 = 0.

Преобразуем:

6 2 + 5(4 2 + 4 + 1) + 36 + 100 + 50 + 153 = 0, 26 2 + 156 + 208 = 0,2 + 6 + 8 = 0,

1 = −4, 2 = −2.

Отсюда: 1 = −2 ∙ (−4) − 1 = 7, 2 = −2 ∙ (−2) − 1 = 3 .

Таким образом, точки				пересечения прямой с эллипсом: (−4; 7),
(−2; 3).
Ответ: 1)	(0; −3), (	192	;	165	); 2) точек пересечения нет; 3) (6; 1);
				73
	73

4) (−4; 7), (−2; 3).

2.5. Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния меж-

ду фокусами к большой оси. Эксцентриситет принято обозначать буквой . Можно записать: = 22 = .

Таким образом, формула для нахождения эксцентриситета:

= .

При выводе канонического уравнения эллипса было показано, что< , поэтому < 1.

При выводе канонического уравнения эллипса была записана форму-

: 2 − 2 = 2. Отсюда: = √

ла, связывающая , и

− 2

. С учётом

√

= √

2− 2

= √1 − (

)2 .

этого распишем : =

2− 2

Возведём полу-

ченное равенство в квадрат: 2 = 1 − (

)2. Выразим отсюда

: (

)2 = 1 −

− 2, = √1 − 2.

Полученное равенство означает: чем больше , то есть, чем ближе к

1, тем меньше и тем больше вытянут эллипс. Таким образом, эксцентри-

ситет характеризует форму эллипса.

Если полуоси эллипса равны: = , то есть кривая представляет окружность, то = √1 − ( )2 = √1 − 1 = 0. Таким образом, эксцентриси-

тет окружности равен 0.

2.6. Фокальные радиусы эллипса

При выводе канонического уравнения эллипса было получено равен-

ство

√( − )2 + 2 = 2 − .

Разделим это равенство на :

√( − )2 + 2 = − .

Учитывая, что = , получаем:

√( − )2 + 2 = − .

Учитывая также, что √( − )2 + 2 = 2, получаем формулу для нахождения фокального радиуса, проведённого из правого фокуса:

= − .

Из равенства 1 + 2 = 2 выразим 1:

1 = 2 − 2 = 2 − ( − ) = + .

Формула для нахождения фокального радиуса, проведённого из левого фокуса:

= + .

2.7. Директрисы эллипса

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и располо-

женные симметрично относительно центра на расстоянии от него, назы-

ваются директрисами эллипса.

Уравнения директрис имеют вид:

= ±

Так как для эллипса < 1, то

> и,

следовательно,

директрисы

расположены вне эллипса (рис. 2.21).

= −

−

1 −

Рис. 2.21. Директрисы эллипса

Рассмотрим величину , равную расстоянию от произвольной точки эллипса до директрисы и рассмотрим фокальный радиус этой же точки,

проведённый из ближайшего к директрисе фокуса. Связь между величинами , и эксцентриситетом выражается теоремой.

Теорема. Если – расстояние от произвольной точки эллипса до ка- кого-либо фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей

этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, рав-

ная эксцентриситету эллипса: = .

Доказательство. Доказательство проведём для правого фокуса и правой директрисы. Пусть ( ; ) – произвольная точка эллипса, – расстояние от произвольной точки эллипса до правого фокуса, – расстояние от этой же точки до правой директрисы. Покажем на чертеже и

(рис. 2.22).

= −

−

Рис. 2.22. Доказательство связи , и

По чертежу можно записать выражение для : = − . Далее запишем формулу для правого фокального радиуса: = − . Составляем

искомое отношение:	=	−		=	( − )	= . Таким образом,	= , что и

			−		−

требовалось доказать. Доказанную теорему можно положить в основу определения эллипса.

Пример. 2.8. Дан эллипс 642 + 362 = 1. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением эллипса 22 + 22 = 1, заключаем, что данное уравнение каноническое.

1) Исходя из канонического уравнения эллипса 22 + 22 = 1 запишем

квадраты полуосей эллипса: 2 = 64, = 8 и 2 = 36, = 6.

2) Фокусы эллипса представляют точки 1(− ; 0), 2( ; 0). При выводе канонического уравнения эллипса была получена формула 2 − 2 =

= 2. Отсюда = √ 2 − 2. Подставляем значения квадратов полуосей: = √64 − 36 = √28 = 2√7. Тогда фокусы эллипса: 1(−2√7; 0), 2(2√7; 0).

3)Эксцентриситет эллипса находят по формуле: = . Подставляем числовые значения: = 2√87 = √47 .

4)Уравнения директрис имеют вид: = ± . Подставляем числовые

значения: = ±

= ±

32√7

√7

Ответ: 1) = 8, = 6; 2) (−2√

√7

7; 0), (2√

7; 0); 3) =

;

4) = ± 327√7 .

Пример. 2.9. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:

1)полуоси равны 5 и 3;

2)расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;

3)большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 45 ;

4)малая полуось равна 3 и эксцентриситет равен √22 ;

5)большая полуось равна 4 и расстояние между директрисами равно

16√6 .

Решение.

1) Подставим значение полуосей в каноническое уравнение эллипса

2		2		2		2
	+		= 1. Получаем:		+		= 1.
2	+	2	= 1. Получаем:	25	+	9	= 1.
		2) Так как расстояние между фокусами равно 6,						то есть 2 = 6, то
= 3.			Далее используем формулу, связывающую ,					и : 2 − 2 = 2.

Выразим : = √ 2 − 2. Подставляем числовые значения: = √52 − 32 =

=4. Составляем каноническое уравнение эллипса: 252 + 162 = 1.

3)Воспользуемся формулой эксцентриситета = . Выразим отсюда: = . Подставляем = 10, = 45 . Получаем: = 10 ∙ 45 = 8. Тогда =

√ 2 − 2 = √102 − 82 = 6. Составляем каноническое уравнение эллипса:

= 1.

100

4) Воспользуемся формулой эксцентриситета =

и формулой, свя-

зывающую ,

и : 2 − 2 = 2. Получаем: =

. Подставляем =

√ 2+ 2

3, =

√2

. Отсюда найдём . Возведём обе части равенства в

√3 +

квадрат:

. Преобразуем: 9 + 2 = 2 2, 2

= 9,

= 3. Тогда =

9+ 2

√

+ 2

= √32 + 32

= 3√2. Составляем каноническое уравнение эллипса:

= 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20245.44 Mб0817.pdf
#
09.01.20245.44 Mб0818.pdf
#
09.01.20245.46 Mб0819.pdf
#
09.01.2024441.6 Кб082.pdf
#
09.01.20245.47 Mб0820.pdf
#
09.01.20245.5 Mб2821.pdf
#
09.01.20245.54 Mб0822.pdf
#
09.01.20245.55 Mб1823.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0824.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0825.pdf
#
09.01.20245.57 Mб0826.pdf