Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

821

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

5.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

				5) Так как директрисы задаются уравнениями = ±																																	, то расстояние
				5) Так как директрисы задаются уравнениями = ±																																	, то расстояние
																2
между директрисами равно																2		. Учитывая, что по условию расстояние меж-
между директрисами равно																		. Учитывая, что по условию расстояние меж-

ду директрисами равно															16√6	и = 4, получаем:									16√6			=			2∙4			. Отсюда =
ду директрисами равно															3	и = 4, получаем:												=						. Отсюда =
															3											3
=	3∙8			=		3		=	√6			. Далее, учитывая, что =												, запишем выражение для :
	16√					2√			4
	16√		6			2√	6		4

																																			= √42 − (√							6)2 =
																	√6									√
= . Подставляем: = 4 ∙																	√6		= √6. Тогда =								2		− 2
= . Подставляем: = 4 ∙																			= √6. Тогда =								2		− 2
																4
																														2						2
= √10. Составляем каноническое уравнение эллипса:																														2			+			2	= 1.
= √10. Составляем каноническое уравнение эллипса:																													16				+			10	= 1.
											2			2					2		2			2				2	16							10		2		2
				Ответ: 1)							2		+	2	= 1; 2)				2	+	2	= 1; 3)		2		+		2	= 1; 4)									2	+	2	= 1;
				Ответ: 1)						25			+	9	= 1; 2)				25	+	16	= 1; 3)	100			+		36	= 1; 4)								18		+	9	= 1;
	2				2					25				9					25		16		100					36									18			9
5)	2	+			2	= 1.
5)	16	+			10	= 1.																								2
	16				10
				Пример. 2.10. Эксцентриситет эллипса равен																												,		фокальный радиус
				Пример. 2.10. Эксцентриситет эллипса равен																									3			,		фокальный радиус
																													3

точки эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки до односторонней с этим фокусом директрисы.

Решение. Воспользуемся формулой = , где – расстояние от про-

извольной точки эллипса до какого-либо фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, – эксцентриситет.

Из этой формулы = . В условиях примера = 10, = 23 . Подставляем:

= 102 = 15.

Ответ: 15.

Пример. 2.11. Точка (−4; 2,4) лежит на эллипсе 252 + 162 = 1. Найти фокальные радиусы точки .

Решение. Используем формулы фокальных радиусов точки эллипса:1 = + , 2 = − , где – большая полуось эллипса, – эксцентриситет эллипса, – абсцисса точки эллипса. Из канонического уравнения эллипса записываем: 2 = 25, = 5. Абсцисса точки равна −4, то есть= −4. Для нахождения используем формулу = с . Для нахождения

используем формулу = √ 2 − 2. Из канонического уравнения эллипса

2 = 25, 2 = 16. Подставляем: = √25 − 16 = 3, = 35 .

Находим фокальные радиусы точки :

1 = 5 + 35 ∙ (−4) = 5 − 125 = 135 , 2 = 5 − 35 ∙ (−4) = 5 + 125 = 375 .

Ответ: 1 = 135 , 2 = 375 .

2.8.Касательная к эллипсу

Вряде задач аналитической геометрии, связанных с эллипсом, требу-

ется использовать условие, при котором прямая касается эллипса, а также составлять уравнения касательных к эллипсу.

Условие, при котором прямая касается эллипса с центром в начале координат.

Выведем условие, при котором прямая = + касается эллипса22 + 22 = 1. Если прямая касается эллипса, то они имеют одну общую точ-

ку. Условие, при котором прямая касается эллипса, можно получить, совместно решая уравнения прямой и эллипса. При этом результатом совместного решения должна быть одна точка.

Составляем систему уравнений:

= + ,

{22 + 22 = 1.

Подставим выражение для из первого уравнения во второе уравне-

ние:

2 + ( + )2 = 12 2 .

Преобразуем:

2 2 + 2( + )2 = 2 2,2 2 + 2( 2 2 + 2 + 2) = 2 2,

2 2 + 2 2 2 + 22 + 2 2 = 2 2, ( 2 + 2 2) 2 + 22 + ( 2 2 − 2 2) = 0.

Получили квадратное уравнение, которое должно иметь два одинаковых решения, то есть прямая и эллипс будут иметь одну общую точку, если дискриминант уравнения равен нулю.

Найдём дискриминант полученного квадратного уравнения, когда коэффициент перед чётный (если квадратное уравнение записано в виде2 + + = 0, причём – чётное, то формула дискриминанта имеет вид

= (2)2 − ):

= ( 2 )2 − ( 2 + 2 2)( 2 2 − 2 2).

Преобразуем:

= 4 2 2 − ( 2 + 2 2) 2( 2 − 2) =

=2[ 2 2 2 − ( 2 + 2 2)( 2 − 2)] =

=2[ 2 2 2 − 2 2 + 4 − 2 2 2 + 2 2 2] =

=2(−2 2 + 4 + 2 2 2) = 2 2(−2 + 2 + 2 2).

Приравняем дискриминант к нулю:

2 2(−2 + 2 + 2 2) = 0.

Преобразуем: 2 2 + 2 = 2.

Таким образом, получено следующее условие, при котором прямая

касается эллипса:

+ = .

Уравнение касательной к эллипсу с центром в начале координат.

Пусть точка 0( 0; 0) лежит на эллипсе 22 + 22 = 1. Через точку 0 проведём касательную к эллипсу. Касательную обозначим через

(рис. 2.23). Уравнение касательной к эллипсу 22 + 22 = 1 в точке 0( 0; 0)

имеет вид:


													+						= .
													+						= .


																			0

								−

												−
																					2				2
							Рис. 2.23. Касательная к эллипсу																+			= 1
							Рис. 2.23. Касательная к эллипсу														2		+		2	= 1
				Пример. 2.12. Составить уравнение касательной к эллипсу 3 2 +
+5 2
+5 2				= 59 в его точке (√13; 2).
				Решение. Преобразуем данное уравнение к каноническому виду:
	2	+		2	= 1. По условию дан эллипс с центром в начале координат, квадра-
	59	+		59
3				5
ты полуосей которого 2 =										59		, 2				59
										59			=			59		. Точка (√13; 2) лежит на этом эл-
													=					. Точка (√13; 2) лежит на этом эл-
									3					5
липсе. Воспользуемся уравнением касательной																								к эллипсу в его точке
		( ; ) с центром в начале координат полуосями и :																									0	+		0		= 1.
		( ; ) с центром в начале координат полуосями и :																									2	+		2		= 1.
0		0			0												59			59							2			2
									= 2, 2 =										, 2 =			. Получаем:
Подставляем:							= √13,
Подставляем:							= √13,
					0		0							3				5
														3				5
	√13				2						3√13				10
	√13		+		2	= 1. Преобразуем:					3√13		+		10				= 1, 3√13 + 10 − 59 = 0.
	59		+		59	= 1. Преобразуем:							+						= 1, 3√13 + 10 − 59 = 0.
3					5				59					59
3					5

				Ответ: 3√13 + 10 − 59 = 0.
				Пример. 2.13. Составить уравнения касательных к эллипсу																									2	+	2 2		=
				Пример. 2.13. Составить уравнения касательных к эллипсу																								10		+		5	=
																												10				5

= 1, параллельных прямой 3 + 2 + 7 = 0.

Решение. Обозначим точки касания с эллипсом через 1 и 2. Пусть0 – угловой коэффициент касательных. Преобразуем исходное уравнение

												2		2
эллипса к каноническому виду:													+			= 1.				Из канонического уравнения
эллипса к каноническому виду:											10		+	5		= 1.				Из канонического уравнения
											10		2
				5									2
2 = 10, 2 =				5	. Далее воспользуемся уравнением касательной к эллипсу в
2 = 10, 2 =				2	. Далее воспользуемся уравнением касательной к эллипсу в
				2		0			0
её точке			( ; ):			0	+		0	= 1. Подставляем значения квадратов полу-
её точке			( ; ):			2	+			= 1. Подставляем значения квадратов полу-
0				0	0	2			2						0					0
осей эллипса в уравнение касательной:															0			+		0	= 1. Преобразуем уравне-
осей эллипса в уравнение касательной:																		+		5	= 1. Преобразуем уравне-
													10							2
																				2
ние касательной к уравнению прямой с угловым коэффициентом =
= + . Получаем:						2 0		= 1 −			0		, =				5		(1 −			0	) =	5	−	5	∙	0	=
= + . Получаем:								= 1 −			10		, =						(1 −				) =		−	2	∙		=
						5					10						2			10				2		2	10
	0		5										0											0		0				0
= −	0	+	5	. Выпишем угловой коэффициент касательной: 0																							= −			0	.
= −		+		. Выпишем угловой коэффициент касательной: 0																							= −				.
	4 0		2 0																											4 0
													93

Далее найдём угловой коэффициент данной прямой. Для этого преобразуем её уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом: =

− 32 − 72 . Выпишем угловой коэффициент данной прямой: = − 32 .

Так как касательная и данная прямая параллельны, то их угловые ко-

эффициенты равны. Приравниваем угловые коэффициенты: −	0	= −	3	.
	4
		2
0
Преобразуем: 2 0 = 12 0, 0 = 6 0.

Так как точка 0( 0; 0) лежит на эллипсе, то её координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Подставим координаты точки 0 с учётом того, что 0 = 6 0, в уравнение эллипса:

(6 0)2			+				2 02	= 1.
			+					= 1.
10						5
Преобразуем:
36 2						2 2
0			+			0		= 1,
10			+			5		= 1,
10						5
(	18	+		2	) 2			= 1,
(		+			) 2			= 1,
5			5			0
5			5
4 2			= 1, = ±						1	, = 6 ∙ (±	1	) = ±3.
4 2			= 1, = ±							, = 6 ∙ (±		) = ±3.
0						0			2	0	2
									2		2
Получили две точки касания: 1 (3;													1	), 2	(−3; −	1	).
Получили две точки касания: 1 (3;													2	), 2	(−3; −		).
													2		2

Подставляем координаты точек касания в уравнение касательной.

			Подставляем координаты точки (3;																		1	):
			Подставляем координаты точки (3;																			):
																	1			2
					1															2
					1
			3		+		2		= 1,		3	+		= 1, 3 + 2 − 10 = 0.
			10		+		5		= 1,			+		= 1, 3 + 2 − 10 = 0.
			10		2					10		5
					2
			Подставляем координаты точки 2																	(−3; −			1	):
			Подставляем координаты точки 2																	(−3; −				):
									1											2
									1
			−3			+		−2		= 1, −			3	−	= 1, 3 + 2 + 10 = 0.
						+		5		= 1, −				−	= 1, 3 + 2 + 10 = 0.
				10					2			10		5
									2
			Ответ: 3 + 2 − 10 = 0, 3 + 2 + 10 = 0.
			Пример. 2.14. Из точки (													10	;	5	) проведены касательные к эллипсу
			Пример. 2.14. Из точки (														;		) проведены касательные к эллипсу
2		2												3			3
2	+	2		= 1. Составить их уравнения.
20	+	5		= 1. Составить их уравнения.
20		5

Решение. Обозначим точки касания с эллипсом через 1 и 2. Из канонического уравнения 2 = 20, 2 = 5. Далее воспользуемся уравнением касательной к эллипсу в её точке 0( 0; 0): 02 + 02 = 1. Подставляем

значения квадратов полуосей эллипса в уравнение касательной: 200 + 05 = = 1. Так как точка (103 ; 53) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и

							10 0		5 0
подставляем координаты точки :							3	+	3	= 1,	0	+	0	= 1,	= 6 − 2 .
подставляем координаты точки :								+		= 1,		+		= 1,	= 6 − 2 .
						20		5			6		3	0		0
	Так как точка 0( 0; 0)					20		5			6		3
	Так как точка 0( 0; 0)					лежит на эллипсе, то её координаты удо-
влетворяют уравнению эллипса. Подставим координаты точки 0																с учётом
того, что 0		= 6 − 2 0, в уравнение эллипса:
	(6−2 0)2		+	02	= 1.
			+		= 1.
20		5
						94

Преобразуем:

(3− 0)2			+	02	= 1,
			+		= 1,
	5	5				2 + 2
9 − 6 +						2 + 2		= 5,
2 2		0			0		0
2 2		− 6 + 4 = 0,
	0	0
	2 − 3 + 2 = 0,
0	(1)	0				(2)
	(1)	= 2,				(2)	= 1,
0		0
	(1)	= 6 − 2 ∙ 2 = 2, (2)							= 6 − 2 ∙ 1 = 4.
0								0
Получили две точки касания: 1(2; 2), 2										(4; 1).

Подставляем координаты точек касания в уравнение касательной.

Подставляем координаты точки 1(2; 2):

220 + 25 = 1, 10 + 25 = 1, + 4 − 10 = 0.

Подставляем координаты точки 2(4; 1):

420 + 5 = 1, 5 + 5 = 1, + − 5 = 0. Ответ: + 4 − 10 = 0, + − 5 = 0.

2.9. Полярное уравнение эллипса

Составим уравнение эллипса в полярной системе координат. Для этого направление полярной оси совместим с положительным направлением оси абсцисс, полюс поместим в левый фокус . Пусть ( ; ) – произвольная точка эллипса в полярной системе координат.

Для вывода полярного уравнения эллипса нам понадобится величина, называемая фокальным параметром. Фокальный параметр равен половине фокальной хорды эллипса, перпендикулярной к его оси. Для построения половины фокальной хорды проведём из точки перпендикуляр к оси эллипса. Точку пересечения этого перпендикуляра с эллипсом обозначим через . – это половина фокальной хорды эллипса, то есть . Затем из точки опустим перпендикуляр на левую директрису . Основание перпендикуляра обозначим через . Точку пересечения директрисы с осью обозначим через .

Нам понадобятся также величины и , где – фокальный радиус точки , который совпадает с полярной координатой ; – расстояние от точки до левой директрисы. Из точки опустим перпендикуляр на ось. Основание перпендикуляра обозначим через . Выполним чертёж

(рис. 2.24).

Рассмотрим треугольник . Выразим косинус угла : cos =

до

| |

директрисы: = | | = | | + | | = | | + cos .

Далее воспользуемся формулой, доказанной в предыдущем пункте:

= , где – эксцентриситет эллипса. Эта формула справедлива для любой

точки эллипса. Запишем её для точки : || || = | | = . Отсюда: | | = . Учитывая, что | | = | |, получаем: = + cos .

Воспользуемся ещё раз формулой		= для точки :	\| \|	=
Воспользуемся ещё раз формулой		= для точки :		=





	,




			,

		Рис. 2.24. Вывод полярного уравнения эллипса
=		= . Отсюда выразим : = (	+ cos ) = + cos ,
=		= . Отсюда выразим : = (	+ cos ) = + cos ,
	+ cos

(1 − cos ) = , =
		.
	1− cos

Таким образом, полярное уравнение эллипса, при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, полюс находится в левом фокусе, имеет вид:

=
		.
	−

Можно показать, если полюс находится в правом фокусе, то полярное уравнение эллипса имеет вид:

=
				.
		+		.
Можно также показать, что =	2		, где и – полуоси эллипса.
Можно также показать, что =			, где и – полуоси эллипса.
					2		2
Пример. 2.15. Дано уравнение эллипса					2	+	2	= 1. Составить его
Пример. 2.15. Дано уравнение эллипса					25	+	16	= 1. Составить его
					25		16

полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.

Решение.

1) Если полюс находится в левом фокусе, то полярное уравнение

имеет вид =		, где – фокальный параметр, равный половине фо-
	1− cos

кальной хорды эллипса, перпендикулярной к его оси; – эксцентриситет; и – полярные координаты.

Найдём полуоси эллипса: 2 = 25, = 5 и 2 = 16, = 4. Найдём := √ 2 − 2 = √25 − 16 = 3. Тогда левый фокус: (−3; 0). Укажем точку эллипса с абсциссой, равной −3: (−3; ). Здесь равно фокальному пара-

метру. Подставим координаты точки в уравнение эллипса: (−253)2 +

+ 162 = 1, 2 = 16 (1 − 259 ) = 16252 , = 165 и тогда = 165 .

		Величину можно найти также по формуле =																		2	. Подставляя =
		Величину можно найти также по формуле =																			. Подставляя =
												16
5, = 4, получаем: =												16	.
5, = 4, получаем: =													.
											5						3
		Найдём эксцентриситет: =													=		3	.
		Найдём эксцентриситет: =													=			.
															5
		Подставим найденные значения в полярное уравнение эллипса:
					16						16
		=				5		=			16			.
						5
				1−	3	cos				5−3 cos
				1−	5	cos				5−3 cos
					5
		2) Если полюс находится в правом фокусе, то полярное уравнение
																							16
имеет вид =											. Подставим найденные значения: =													5	=
																								5
							1+ cos															1+	3	cos
							1+ cos															1+	5	cos
	16																						5
=	16		.

		5+3 cos									16				16
		Ответ: 1) =									16			; 2) =	16				.

									5−3 cos							5+3 cos

2.10. Эллипс в прикладных задачах

Эллипс находит широкое применение в различных областях техники, архитектуре, оптике, астрономии, повседневной жизни. Относительно эллипса известны следующие факты.

1)В теории механизмов и машин используется антипараллельный кривошип, где точка пересечения равных больших звеньев при закреплённом малом звене описывает эллипс.

2)В машиностроении и приборостроении значительная часть деталей

впоперечном сечении имеют эллипс. В связи с этим на различных этапах проектирования встаёт вопрос построения эллипса с помощью чертёжных инструментов. Для этого используют эллипсограф, позволяющий вычерчивать эллипс с заранее заданным эксцентриситетом.

3)Зубчатая передача с эллиптическим профилем зуба, в сравнении с эвольвентной передачей, даёт десятикратное превышение передаваемого крутящего момента и также даёт десятикратное увеличение контактной прочности, что позволяет повышать надёжность и долговечность машин.

4)Эллипс используют в конструкции прижимного устройства строгального станка.

5)В строгальных и долбёжных станках, дыропробивочных прессах, формовочных машинах используются эллиптические колёса, обеспечивающие медленный, но мощный рабочий ход и быстрый холостой ход.

6)Поверхность Земли принимают за тело, называемое геоидом, для аппроксимации которого используют эллипсоид вращения, получаемый при вращении эллипса вокруг его малой оси.

7)В математической картографии используют эллипс искажений или индикатрису Тиссо, позволяющую определить характер искажений в какой либо точке проекции.

8)С эллипсом имеют дело художники, изображая окружность в перспективе.

9)Если в одном из фокусов эллипса поместить источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе (оптическое

свойство эллипса). Также распространяются акустические волны, что используют архитекторы для создания звуковых эффектов.

10) И. Кеплер установил, что каждая планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, находящегося в одном из фокусов эллипса, что позволило повысить точность расчётов по определению положения планет по сравнению с системой Н. Коперника, считавшего все орбиты круговыми.

11) При запуске искусственного спутника Земли со скоростью, большей первой космической скорости, но меньшей второй, движение спутника будет происходить по эллипсу, причём центр Земли будет находится в одном из его фокусов.

12) Электроны в атоме движутся по круговым и эллиптическим орбитам.

13)Форму эллипса имеют некоторые части тела человека, например, нижняя челюсть представляет собой часть эллипса.

14)Форму эллипса имеют некоторые бильярдные столы. Если ударить по шару, находящемуся в одном из фокусов эллипса, то, отразившись от края стола, шар пройдёт через второй фокус.

15)В последнее время популярностью пользуются эллиптические тренажёры, сочетающие в себе велотренажёр, беговую дорожку и степпер. Во время движения педали тренажёра описывают эллиптическую траекторию, благодаря чему нагрузка на суставы снижается и переносится на мышцы.

Задача 2.1. Из левого фокуса эллипса 452 + 202 = 1 под тупым углом

к оси направлен луч света. Известно, что = −2. Дойдя до эллипса, луч от него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч. Указание. Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (оптическое свойство).

Решение. Пусть источник света находится в фокусе 1. Луч, выходящий из точки 1, отражается от эллипса в точке . Отражённый луч пересекает ось во втором фокусе 2. Выполним схематичный чертёж

(рис. 2.25).


1		2

Рис. 2.25. Нахождение уравнения отражённого луча (к Задаче 2.1)

Сначала найдём координаты фокусов 1 и 2. Для этого находим величину по формуле = √ 2 − 2. Получаем: = √45 − 20 = 5. Тогда фокусы: 1(−5; 0), 2(5; 0).

Далее составим уравнение прямой, проходящей через точки 1 и . Воспользуемся уравнением пучка прямых: − 0 = ( − 0). Получаем:

− 0 = −2( − (−5)), = −2 − 10.

Затем найдём точку , как точку пересечения прямой, проходящей через точки 1 и , с эллипсом. Для этого решим совместно уравнения прямой и эллипса. Составляем систему уравнений:

= −2 − 10,

{452 + 202 = 1.

Решением системы будет точка (−6; 2).

Сейчас можно составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч, то есть уравнение прямой, проходящей через точки и 2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки:

− 1

. Получаем:

−(−6)

−2

, −2( + 6) = 11( − 2),

−

5−(−6)

0−2

−2

2 + 11 − 10 = 0.

Ответ: 2 + 11 − 10 = 0.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение эллипса.

2.Запишите каноническое уравнение эллипса в прямоугольной системе координат. Постройте эллипс.

3.Запишите нормальное уравнение эллипса в прямоугольной системе координат. Постройте эллипс.

4.Дайте понятие фокусов эллипса. Как их находят?

5.Дайте определение эксцентриситета эллипса. Запишите формулу его нахождения.

6.Дайте определение фокальных радиусов эллипса. Запишите формулы их нахождения.

7.Дайте определение директрис эллипса. Запишите их уравне-

ния.

8.Запишите условие касания прямой и эллипса.

9.Запишите уравнение касательной к эллипсу с центром в начале

координат.

10.Запишите уравнение эллипса в полярной системе координат.

Упражнения

1. Составить каноническое или нормальное уравнение эллипса с центром в точке , полуосями и , если фокусы эллипса лежат на оси абсцисс (ординат) или на прямой, параллельной этой оси, симметрично относительно точки :

	(0; 0), = 10, = 6;
1)	(0; 0), = 10, = 6;															2)	(0; 0), = 6√2						, = 5√2;
3) (0; 0), =								6	, =			4	;			4) (0; 0), =				14	, = 1;
3) (0; 0), =									, =				;			4) (0; 0), =					, = 1;
			11						3								5
5)	(−9; 3), = 5, = 4;															6)	(0; 7), = 2, = 4;
7)	(	16		; −		8	), = 8, = 3;									8)	(−6; −9), =					7		, =		15	;
7)	(			; −			), = 8, = 3;									8)	(−6; −9), =							, =			;
	9		3														4								2
9)	(−			12	; 0), =					13	, =			9	;	10) (		19	; 0), = 1, =						3
9)	(−		5		; 0), =						, =			7	;	10) (			; 0), = 1, =						7
			5						7					7			8								7

2.Определить координаты центра и полуоси и эллипса по

его каноническому или нормальному уравнению:

1)	2		+		2					= 1;						2)	2		+	2			= 1;
1)	81		+		25					= 1;						2)	98		+	56			= 1;
	81				25												98			56
3)	2			+					2			= 1;				4)	2		+		2				= 1;
3)	100			+				144				= 1;				4)	64		+		4				= 1;
	100							144									49				9
																	49				9
5)	2 +						2				= 1;					6)	( −7)2				+				( +3)2			= 1;
5)	2 +					12					= 1;					6)		121			+				64			= 1;
								13										121							64
								13												2							2
																			8	2					15		2
7)	( +1)2						+				( −4)2				= 1;	8)	( +9)					+				( − 4 )			= 1;
7)							+					18			= 1;	8)		36				+			9				= 1;
	90											18						36							9
	( +6)2											2						( −8)2										2
9)	5								+					= 1;		10)			3					+ ( −						4	)	= 1
9)	100								+				16	= 1;		10)			17					+ ( −							)	= 1
		49										25							2									3
		49										25							2

3.Построить эллипс по его каноническому или нормальному

уравнению:

1)	2	+	2				= 1;						2)	( +7)2					+				( +4)2			= 1;
1)	64	+	25				= 1;						2)						+			16				= 1;
	64		25											36								16
3)	2	+		2				= 1;					4)	2		+		2				= 1;
3)	1	+			1			= 1;					4)	25		+	100					= 1;
	9				36									25			100
	9				36					( −1)2				2				2
5)	( − 4)2 +									( −1)2		= 1;	6)	2		+		2			= 1;
5)	( − 4)2 +											= 1;	6)	90		+	32				= 1;
								4						90			32
7)	( +3)2					+			( −5)2		= 1;		8)	2		+		2				= 1;
7)	256					+			64		= 1;		8)	9		+	121					= 1;
		9						9												2							2
																	40			2					14		2
9)	2	+		2				= 1;					10)		( +		9 )					+		( −		5 )		= 1.
9)	43	+		29				= 1;					10)									+						= 1.
	3				8											4						16
	3				8

4.Дано уравнение эллипса 252 + 92 = 1. Найти: 1) его полуоси;

2)фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

5.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1) его полуоси равны 5 и 2; 2) расстояние между фокусами равно 8 и большая полуось равна 5;

3)большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 35 ;

4)малая полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1213 ;

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20245.44 Mб0817.pdf
#
09.01.20245.44 Mб0818.pdf
#
09.01.20245.46 Mб0819.pdf
#
09.01.2024441.6 Кб082.pdf
#
09.01.20245.47 Mб0820.pdf
#
09.01.20245.5 Mб2821.pdf
#
09.01.20245.54 Mб0822.pdf
#
09.01.20245.55 Mб1823.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0824.pdf
#
09.01.20245.55 Mб0825.pdf
#
09.01.20245.57 Mб0826.pdf