821

2) Точка расположена на левой ветви гиперболы (рис. 3.26). По чертежу можно записать выражение для : = − + . Далее за-

пишем формулу для правого фокального радиуса: = −( − ). Состав-

2

Рис. 3.26. Доказательство связи , и для левой ветви гиперболы

Таким образом, в обоих случаях = , что и требовалось доказать.

Доказанную теорему можно положить в основу определения гипер-

болы.

Пример. 3.8. Дана гипербола 812 − 362 = 1. Найти: 1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис; 5) уравнения асимптот.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением

гиперболы 22 − 22 = 1, заключаем, что данное уравнение каноническое.

1) Исходя из канонического уравнения гиперболы 22 − 22 = 1 запишем квадраты полуосей гиперболы: 2 = 81, = 9 и 2 = 36, = 6.

координат до фокуса, берём положительное значение = 2. Далее находим

2√193, то есть 2 = 2√193, то = √193. Далее воспользуемся формулой, связывающей , и : 2 + 2 = 2. Подставляем = 127 , = √193. По-

лучаем: (127 )2 + 2 = (√193)2. Преобразуем: 14449 2 + 2 = 193, 19349 2 = = 193, 2 = 49, = 7. Тогда = 127 ∙ 7 = 12. Составляем каноническое

уравнение гиперболы: 1442 − 492 = 1.

Ответ: 1) 492 − 252 = 1; 2) 202 − 162 = 1; 3) 92 − 42 = 1; 4) 812 − 502 = 1; 5) 32 − 12 = 1; 6) 1442 − 492 = 1.

Пример. 3.10. Эксцентриситет гиперболы равен 2, фокальный радиус её точки , проведённый из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки до односторонней с этим фокусом директрисы.

Решение. Воспользуемся формулой = , где – расстояние от про-

извольной точки гиперболы до какого-либо фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, – эксцентриситет. Из этой формулы = . В условиях примера = 16, = 2. Подстав-

ляем: = 162 = 8.

Ответ: 8.

Пример. 3.11. Эксцентриситет гиперболы равен 2, центр её лежит в начале координат, один из фокусов (12; 0). Вычислить расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

153

Решение. Так как фокус гиперболы (12; 0), то = 12. Далее воспользуемся формулой эксцентриситета = . Выразим : = . По усло-

вию = 2, = 12. Подставляем: = 122 = 6.

Фокус (12; 0) является правым фокусом гиперболы. Так как абсцисса точки равна 13, то расстояние от точки до фокуса является правым фокальным радиусом точки правой ветви гиперболы. Для его нахождения воспользуемся формулой: = − . Подставляем = 2, = = 13, = 6. Получаем: = 2 ∙ 13 − 6 = 20.

Для нахождения расстояния от точки до директрисы, соответствующей заданному фокусу, применим формулу = . Подставляем: = 202 =

10.

Ответ: 10.

3.10.Касательная к гиперболе

Вряде задач аналитической геометрии, связанных с гиперболой, требуется использовать условие, при котором прямая касается гиперболы, а также составлять уравнения касательных к гиперболе.

Условие, при котором прямая касается гиперболы с центром в начале координат.

Выведем условие, при котором прямая = + касается гиперболы 22 − 22 = 1. Если прямая касается гиперболы, то они имеют одну общую

точку. Условие, при котором прямая касается гиперболы, можно получить, совместно решая уравнения прямой и гиперболы. При этом результатом совместного решения должна быть одна точка.

Составляем систему уравнений:

= + ,

{22 − 22 = 1.

Подставим выражение для из первого уравнения во второе уравне-

ние:

2 − ( + )2 = 12 2 .

Преобразуем:

2 2 − 2( + )2 = 2 2,2 2 − 2( 2 2 + 2 + 2) = 2 2,

2 2 − 2 2 2 − 2 2 − 2 2 = 2 2, ( 2 − 2 2) 2 − 2 2 − ( 2 2 + 2 2) = 0.

Получили квадратное уравнение, которое имеет два одинаковых решения, то есть прямая и гипербола имеют одну общую точку, если дискриминант уравнения равен нулю.

Найдём дискриминант полученного квадратного уравнения, когда коэффициент перед чётный (если квадратное уравнение записано в виде

154

2 + + = 0, причём – чётное, то формула дискриминанта имеет вид

= (2)2 − ):

= (− 2 )2 − ( 2 − 2 2) ∙ (−1)( 2 2 + 2 2).

Преобразуем:

= 4 2 2 + ( 2 − 2 2) 2( 2 + 2) =

=2[ 2 2 2 + ( 2 − 2 2)( 2 + 2)] =

=2[ 2 2 2 + 2 2 + 4 − 2 2 2 − 2 2 2] =

=2( 2 2 + 4 − 2 2 2) = 2 2( 2 + 2 − 2 2).

Приравняем дискриминант к нулю:

2 2( 2 + 2 − 2 2) = 0.

Преобразуем:

2 2 − 2 = 2.

Таким образом, получено следующее условие, при котором прямая

касается гиперболы:

− = .

Уравнение касательной к гиперболе с центром в начале коорди-

нат.

Пусть точка 0( 0; 0) лежит на гиперболе 22 − 22 = 1. Через точку

0 проведём касательную к гиперболе. Касательную обозначим через

(рис. 3.27).

гиперболе. Воспользуемся уравнением касательной к гиперболе в её точке

155

Пусть 0 – угловой коэффициент касательных. Далее воспользуемся уравнением касательной к гиперболе в её точке 0( 0; 0): 02 − 02 = 1. Ги-

пербола задана каноническим уравнением. Из канонического уравнения2 = 20, 2 = 5. Подставляем значения квадратов полуосей гиперболы в уравнение касательной: 200 − 05 = 1. Преобразуем уравнение касательной

к уравнению прямой с угловым коэффициентом = + . Получаем:

Далее найдём угловой коэффициент данной прямой. Для этого преобразуем её уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом: =

− 43 + 73 . Выпишем угловой коэффициент данной прямой: = − 43 .

Так как касательная и данная прямая перпендикулярны, то их угло-

влетворяют уравнению гиперболы. Подставим координаты точки 0 с учё-

Подставляем координаты точек касания в уравнение касательной.

Подставляем координаты точки 1(6; 2):

620 − 25 = 1, 6 − 8 − 20 = 0, 3 − 4 − 10 = 0.

Подставляем координаты точки 2(−6; −2):

−206 − −52 = 1, 6 − 8 + 20 = 0, 3 − 4 + 10 = 0. Ответ: 3 − 4 − 10 = 0, 3 − 4 + 10 = 0.

156

Пример. 3.14. Из точки (−1; −7) проведены касательные к гиперболе 2 − 2 = 16. Составить их уравнения.

Решение. Обозначим точки касания с гиперболой через 1 и 2. Преобразуем исходное уравнение гиперболы к каноническому виду: 162 −

162 = 1. Из канонического уравнения 2 = 16, 2 = 16. Далее воспользуемся уравнением касательной к гиперболе в её точке 0( 0; 0): 02 − − 02 = 1. Подставляем значения квадратов полуосей гиперболы в уравне-

ние касательной: 160 − 160 = 1. Преобразуем: 0 − 0 = 16. Так как точка(−1; −7) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравне-

нию касательной. В уравнение касательной вместо и подставляем коор-

динаты точки : −1 ∙ 0 − (−7) 0 = 16, 0 = 7 0 − 16.

Так как точка 0( 0; 0) лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставим координаты точки 0 с учё-

том того, что 0 = 7 0 − 16, в уравнение гиперболы:

(7 0 − 16)2 − 02 = 16.

Преобразуем:

49 02 − 14 ∙ 16 0 + 256 − 02 = 16, 48 02 − 14 ∙ 16 0 + 16 ∙ 15 = 0, 3 02 − 14 0 + 15 = 0,

0(1) = 3, 0(2) = 53 ,

0(1) = 7 ∙ 3 − 16 = 5, 0(2) = 7 ∙ 53 − 16 = − 133 .

Получили две точки касания: 1(5; 3), 2 (− 133 ; 53).

Подставляем координаты точек касания в уравнение касательной. Подставляем координаты точки 1(5; 3):

5 − 3 = 16, 5 − 3 − 16 = 0.

Подставляем координаты точки 2 (− 133 ; 53):

− 133 − 53 = 16, 13 + 5 + 48 = 0.

Ответ: 5 − 3 − 16 = 0, 13 + 5 + 48 = 0.

Пример. 3.15. Гипербола проходит через точку (√6; 3) и касается прямой 9 + 2 − 15 = 0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что её оси совпадают с осями координат.

Решение. Так как точка (√6; 3) лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставим координаты точки

уравнению прямой с угловым коэффициентом = + . Получаем: = − 29 + 152 . Сравнивая с формулой = + , получаем: = − 29 , = 152 .

157

Подставляем эти значения в условие касания прямой и гиперболы 2 2 −

2 = 2. Получаем: (− 29)2 2 − 2 = (152 )2. Преобразуем: 814 2 −

− 2 = 2254 .

Составим и решим систему полученных уравнений:

Выразим из второго уравнения 2:

2 = 814 2 − 2254 = 14 (81 2 − 225).

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

6(81 2 − 225) − 36 2 − 2(81 2 − 225) = 0, 486 2 − 1350 − 36 2 − 81 4 + 225 2 = 0,

81 4 − 675 2 + 1350 = 0, 3 4 − 25 2 + 50 = 0,

12 = 5, 22 = 103 .

12 = 14 (81 ∙ 5 − 225) = 45, 22 = 14 (81 ∙ 103 − 225) = 454 .

Таким образом, получаем две гиперболы:

52 − 452 = 1 и 102 − 452 = 1.

3 4

Ответ: 52 − 452 = 1, 102 − 452 = 1.

3 4

3.11. Полярное уравнение гиперболы

Полярное уравнение гиперболы составляется так же, как полярное уравнение эллипса. При этом рассматривают одну ветвь гиперболы и директрису, соответствующую выбранному фокусу.

Полярное уравнение для правой ветви гиперболы, когда направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс расположен в правом фокусе, имеет вид:

Полярное уравнение для правой ветви гиперболы, когда направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс расположен в левом фокусе, имеет вид:

Полярное уравнение для левой ветви гиперболы, когда направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс расположен в левом фокусе, имеет вид:

158

Полярное уравнение для левой ветви гиперболы, когда направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс расположен в правом фокусе, имеет вид:

= − .

+

В указанных уравнениях – фокальный параметр, равный половине фокальной хорды, перпендикулярной к действительной оси гиперболы; – эксцентриситет; и – полярные координаты.

Можно также показать, что = 2, где и – полуоси гиперболы.

Пример. 3.16. Дано уравнение гиперболы 162 − 92 = 1. Составить по-

лярное уравнение её правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в правом фокусе эллипса; 2) в левом фокусе.

Решение.

1) Если полюс находится в правом фокусе, то полярное уравнение

кальной хорды гиперболы, перпендикулярной к его оси; – эксцентриситет; и – полярные координаты.

Найдём полуоси гиперболы: 2 = 16, = 4 и 2 = 9, = 3. Найдём: = √ 2 + 2 = √16 + 9 = 5. Тогда правый фокус: (5; 0). Укажем точку гиперболы с абсциссой, равной 5: (5; ). Здесь равно фокальному пара-

метру. Подставим точку в уравнение гиперболы: 1652 − 92 = 1, 2 = = 9 (2516 − 1) = 1692 , = 49 и тогда = 49 .

Величину можно найти также по формуле = 2 . Подставляя =

Найдём эксцентриситет: = = 54 .

Подставим найденные значения в полярное уравнение гиперболы:

3.12. Гипербола в прикладных задачах

Гипербола находит широкое применение в различных областях техники, астрономии, физике, строительстве, оптике, логистике, военной раз-

159

ведке, повседневной жизни. Относительно гиперболы известны следующие факты.

1) В теории механизмов и машин используется антипараллельный кривошип, где точка пересечения равных малых звеньев при закреплённом большом звене описывает гиперболу.

2) При движении космического тела со скоростью, большей второй космической, траектория тела превратится в гиперболу, при этом ветви гиперболы будут приближаться к прямой, то есть к асимптотам гиперболы.

3) Комета или метеорит движутся по ветви гиперболы.

4) При бомбардировке атомного ядра -частица, пролетающая мимо ядра, движется по гиперболе.

5) Если вращать гиперболу вокруг её оси симметрии, не пресекающей её ветвей, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Русский инженер В. Г. Шухов предложил использовать эту поверхность в строительной технике. Конструкции, выполненные в виде однополостного гиперболоида являются наиболее прочными. Они используются при строительстве водонапорных башен, высоких радиомачт и т. д. Мачта московского телецентра составлена из кусков таких гиперболоидов.

6) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса (оптическое свойство).

7) Если вращать гиперболу вокруг оси симметрии, пересекающей её ветви, то получится поверхность, называемая двуполостным гиперболоидом. Свойства этой поверхности используется в устройстве телескопов.

8) Вокруг гиперболоида строится сюжет фантастического романа А. Толстого "Гиперболоид инженера Гарина". В действительности, в осно-

ву работы прибора, описанного в романе, положено оптическое свойство параболы, а не гиперболы.

Задача 3.1. Из правого фокуса гиперболы 52 − 42 = 1 под углом к

оси направлен луч света, причём = −2. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отражённый от гиперболы. Указание. Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса (оптическое свойство).

Решение. Источник света находится в правом фокусе 2. Луч, выходящий из точки 2, отражается от эллипса в точке . Продолжение отражённого луча пересекает ось в левом фокусе 1. Выполним схематичный чертёж (рис. 3. 28).

Сначала найдём координаты фокусов 1 и 2. Для этого находим ве-

личину по формуле = √ 2 + 2. Получаем: = √5 + 4 = 3. Тогда фо-

кусы: 1(−3; 0), 2(3; 0).

Далее составим уравнение прямой, проходящей через точки 2 и . Воспользуемся уравнением пучка прямых: − 0 = ( − 0). В задаче

= = −2 Получаем: − 0 = −2( − 3), = −2 + 6.

160