книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Зам ечание 4 .4 .3 . Как и постановки задач термоупругости в пространствен­ ном описании (см. п. 3.3.3), представленные выше постановки задач термо­ вязкоупругости являются сильно связанными, поскольку они не могут быть разделены на постановки задач теплопроводности и задачи вязкоупругости, даже если пренебречь «энтропийным фактором» связанности (т. е. членом

( п )

(ос/р) • • Т в уравнении теплопроводности (4.4.9)).

К перечисленным в замечании 3.3.4 шести факторам связанности, в за­ дачах термовязкоупругости добавляется еще один: функция рассеивания в уравнении баланса энтропии (4.4.1в) или в уравнении теплопроводности

(4.4.9), что является следствием неидеальности вязкоупругих сред. Вклад функции рассеивания в уравнение теплопроводности (4.4.9) во многих задачах оказывается весьма существенным, и пренебрегать им при неизотер­ мических процессах нельзя.

Эффект повышения температуры в вязкоупругих средах без подвода тепла к телу извне, а только за счет внутреннего тепловыделения при деформирова­ нии (обусловленного функцией рассеивания w*), называют диссипативным разогревом или саморазогревом тел (см. § 4.6). □

Обратим внимание также на шестой фактор связанности по классифи­ кации из замечания 3.3.4 к п. 3.3.3: для вязкоупругих сред зависимость определяющих соотношений (4.4.2в) от температуры можно подразделить на три составляющие:

1)зависимость от тепловой деформации е (4.1.66), когда применяется модель Дюгамеля — Неймана;

2 ) зависимость упругих свойств от температуры 0{t)\

3) зависимость «вязких» свойств, т. е. интегральной части соотношений (4.4.2в), от предыстории температуры вг(т).

Экспериментально установлено, что для большинства вязкоупругих сред вязкие свойства значительно более существенным образом зависят от тем­

в модели Ап с экспоненциальными ядрами (4.4.11) эта зависимость прояв­ ляется в виде функции ao(0(t)). Температурная зависимость w*(0) приводит к интенсификации саморазогрева вязкоупругих сред и может вызывать при определенных условиях эффект типа теплового взрыва (см. п. 4.6.9).

4 .4 .2 . Постановки динамических задач в материальном описании

Если использовать постановку динамической 0[ЛЛР-задачи термоупруго­ сти в материальном описании (см. пп. 3.2.1 и 3.3.4) и заменить участвующие в ней определяющие соотношения (3.2.3) на соотношения вязкоупругости в

форме (4.1.38), (4.3.16), то для моделей А п и Вп получим постановку ди­ намической eUVF-задачи теории термовязкоупругости в материальном описании, которая состоит из системы уравнений

в области V х (0,£тах), а также определяющих соотношений в V х (0,£тах):

о

^СК5 Рек’ Рек II Е,

граничными условиями (3.3.10)—(3.3.17), которые при отсутствии фазовых превращений имеют следующий вид:

После подстановки определяющих соотношений (4.4.15) и (4.4.16) в (4.4.14) получим систему для 16 неизвестных функций — компонент следую­ щих векторов и тензоров:

Плотность р, в силу уравнения неразрывности, обычно исключают из числа неизвестных функций.

облегчает ее решение.

Для конкретных моделей вязкоупругих сред формулы (4.4.156)—(4.4.15г) заменяют на какие-либо из соотношений, представленных в §§ 4.1-4.3.

г] выражается по формуле (4.1.69). Полагая д'ус^/дв зависящей только от температуры, уравнение баланса энтропии в системе (4.4.14) в этом случае можно переписать в форме уравнения теплопроводности вязкоупругой среды в материальном описании:

причем вторым «энтропийным» членом в правой части уравнения, как прави­ ло, можно пренебречь по сравнению с w*.

В отличие от постановки задачи термоупругости в материальном опи­ сании, сформулированной в и. 3.3.4, задача термовязкоупругости (4.4.14)- (4.4.18) является сильно связанной даже при отсутствии фазовых превраще­ ний — ввиду наличия функции рассеивания w*. В общем случае неизотер­ мических процессов вклад функции в уравнение теплопроводности может быть весьма существенным и пренебрегать им нельзя (см. в и. 4.4.1).

Используя постановки динамических 0UV-, T0UVF- и 0?7-задач термо­ упругости в материальном описании (см. и. 3.3.4), можно сформулировать соответствующие динамические задачи термовязкоупругости. Так, постановка

динамической OU-задачи термовязкоупругости в материальном описании

состоит из системы уравнений (3.2.19):

о

в области V х (0,£тах), в которые подставляют определяющие соотношения

а также граничные условия (4.4.17) и начальные данные (4.4.18). Эта задача рассматривается относительно четырех скалярных функций — компонент вектора перемещений и и температуры 0.

4.4.3. Постановки квазистатических задач теории вязкоупругости в пространственном описании

Формально постановки квазистатических задач теории вязкоупругости мо­ гут быть образованы из соответствующих постановок квазистатических задач теории упругости при конечных деформациях (см. п. 3.3.5) путем замены входящих в них определяющих соотношений упругости на какие-либо соот­ ношения вязкоупругости из моделей, представленных в §§ 4.1-4.3. Так, по­ становка связанной квазистатической задачи термовязкоупругости в про­ странственном описании для линейных механически-детерминированных моделей Ап термореологически простых сред имеет следующий вид:

Vt = 0 : в = 90.

Здесь (4.4.21) — система уравнений равновесия и теплопроводности; (4.4.22) — определяющие соотношения; (4.4.23) — система кинематических соотношений и соотношений энергетической эквивалентности; (4.4.24) — гра­ ничные и начальное условия, где Х а = Hi U Х2 U Х3 U Х4 U Х7, X w = Х5 U Не,

Tig = Hi U X2 U Хз U Х4 U Xg, Хб> = Х5 U Х7.

После подстановки соотношений (4.4.22) и (4.4.23) в (4.4.21) получим систему четырех скалярных уравнений относительно четырех скалярных

H s 8 -n = 0’ n ' T ls8 - T“ = 0 -

Напомним, что согласно (3.1.4a): TIQ = 1, если G = А, и ho = 0, если G = B.

(n)(n)

Здесь также обозначен тензор: Е = 4Е • • Е.

Поскольку область V в пространственном описании является неизвестной, то для ее определения к системам (4.4.21)-(4.4.24), а также к (4.4.26) и (4.4.27) следует добавить соотношение (3.3.22) для определения неизвестной геометрии области V.

4.4.4. Постановки квазистатических задач для моделей вязкоупругих сред в материальном описании

Аналогичным образом получаем постановки квазистатических задач в ма­ териальном описании. Так, постановка связанной квазистатической задачи термовязкоупругости в материальном описании для линейных механиче­ ски детерминированных моделей Ап термореологически простых сред имеет вид

V • Р + pi = 0,

ооаг

После подстановки определяющих соотношений (4.4.29) и кинематических соотношений (4.4.30) в (4.4.28) получим систему четырех скалярных уравне­

нии равновесия и теплопроводности с граничными и начальным условиями (4.4.31) относительно четырех скалярных неизвестных — компонент вектора перемещений и температуры:

= const, то, в силу (4.4.28)-(4.4.31), получаем постановку квазистатической задачи вязкоупругости в материальном описании для линейных моделей Ап\

относительно трех компонент вектора перемещений u

Если рассматривают модели Вп несжимаемых изотропных сред (4.3.19), то определяющие соотношения в (4.4.33) заменяют на следующие:

а задачу (4.4.33), (4.4.34) рассматривают относительно четырех неизвестных функций: и ,р || X \ t .

4.4.5. Задача об одноосном растяжении бруса

В качестве примера рассмотрим классическую задачу об одноосном рас­ тяжении бруса, которая была подробно изучена в и. 3.4.2.

Брус полагаем вязкоупругим, изотропным и несжимаемым, а его определя­ ющие соотношения соответствуют простейшим линейным моделям Ап или Вп с экспоненциальными ядрами (см. (4.3.13), (4.3.25) и упр. 2 к §4.3). Общая постановка квазистатической задачи в пространственном описании имеет вид (4.4.27).

410 Глава 4. Вязкоупругие среды

Рассмотрим ступенчатое деформирование бруса, при котором коэффици­

С учетом (4.4.47) из (4.4.44а) и (4.4.446) находим выражение для Aa(t) — напряжения релаксации:

— для всех моделей An и Bn, где r(t) — функция релаксации, которая в соответствии с (4.2.83) имеет экспоненциальный вид:

Если известна экспериментальная кривая релаксации Асгэ(£), полученная при некотором фиксированном значении fcj, то с помощью соотношения (4.4.50) эту кривую можно аппроксимировать, выбирая параметры В^) и