книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf391
2°. Трещиноподобнос включение. Допустим, что модули уп ругости включения существенно меньше, чем модули упругос
ти матрицы (трещиноподобный дефект): |
В °С -0 |
{62), где |
<5>2« 1 - малый параметр. Будем считать, что |
82j5 x- |
0 { 1), так |
что величина ИВ - порядка единицы относительно 8]у82. Тог да имеем
В'(о) = В(о) + 0{82), m = hB(a) + 0{8x,82). (8.3.27)
Так как величины сг и е имеют порядок единицы по сра
внению с 8Хи 82, то т=Пт+@т~0(1). Вместе с тем для ка сательной составляющей тензора т справедлива оценка
0»; = И©В(а) + 0{8]у82) = h& s+0{Sx,S2) = 0(8, ,S2).
(8.3.28) Здесь учтено соотношение (8.3.24). Отсюда следует, что
т ар{х)=ПapXfl{x)m^ {х) + 0{8„ 82 )=п(а{х)Ьт {х) + 0{8х,82).
(8.3.29)
Из выражений (8.3.6) и (8.3.27) с принятой точностью по лучим
(<T)(X )= //_1(X )(5 ’ ) 1m(x)=h~'(x)Cn(x)b(x). (8.3.30)
Отсюда и из последнего равенства (8.3.24) найдем
-jJ -rIl(x )C w (x )i(x ) = П (х )а (х ) |
(8.3.31) |
h{x) |
|
Учитывая теперь выражения (8.3.8) для V и (8.3.21) для ве личин а и й , получим следующую систему двух интегральных уравнений для определения неизвестных векторов V (JC) и
Ь{х):
ЛацЬЩ *) + J T jx , x')bp{x')dQ.' - |
(8.3.32) |
Q |
|
-<»2”Р(х)СарХм J v xgltl(x-x')vr(x’)dCl’ = np{x)cfap{x),
392
-o )2\ga0{ x - x ,)vp(x,)dQ! |
(8.3.33) |
a
-JУрёсф(Х- X')C°PpX>PxiX’)K (X')dQ! =<(*)>
О
причем в уравнении (8.3.32) интегральный оператор с ядром
Тар вида (8.3.19) следует понимать в смысле регуляризации
(3.2.24).
Из уравнения (8.3.33) видно, что v (x ) - величина порядка единицы относительно параметров дх и S2, если h(x)px~ 0 { 1). Последнее возможно только в том случае, когда плотность материала удовлетворяет соотношению px/po~ 0 (S 3), где S3-
малый безразмерный параметр и <5,/<53~ 0 (1 ). Если плотность материала, заполняющего дефект, сравнима с плотностью ос новной среды, то это условие не выполняется. Тогда величина
V’ ( X ) имеет порядок Sx и вторым инте1ральным слагаемым в (8.3.32) можно пренебречь. Единственным неизвестным зада чи становится вектор b (X ), который удовлетворяет уравне нию
^сф{х)ъ^ х) + \Т ф{х>х,)Ьр{х,)аО.'= пр{х)а°ар{х). (8.3.34)
а
При С—О (Л=0) это уравнение переходит в уравнение для трещины.
При рассмотрении трещиноподобной неоднородности бу дем считать, что плотности матрицы и включения различают
ся мало. Тогда после определения вектора Ьа(х) из уравнения
(8.3.34) искомые главные члены асимптотик упругих полей вне тонкого трещиноподобного дефекта могут быть найдены подстановкой m = nb в выражения (8.3.5) и (8.3.6).
В общем случае уравнение (8.3.34) может быть решено лишь численно. Если же включение имеет эллипсоидальную форму, а длина волны падающего поля существенно превы-
394
Будем, как и выше, считать, что внешнее поле сг°(Х) пос тоянно в области Q . Для этого случая первое из уравнений
(8.3.39) решено в § 3.7, и это решение имеет вид
6°(х) = b°z(х), |
2С1\ |
° |
A = ^ r ( n Cn/h+ r ) \ |
|
b° - — -Апст |
||||
|
я. |
|
|
(8.3.40) |
где обозначено: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = J r ( x ) [ z ( x ) - l ] ^ , |
|
х = (дг,,х2) , |
(8.3.41) |
|
причем в этом интеграле z (X) продолжается нулем вне облас ти П , а интеграл берется по всей плоскости ххх2.
Учитывая теперь, что для плоской области Q вектор П, а
следовательно, и тензор Та не зависит от X, из второго из уравнений (8.3.39) найдем
Ьа = Ц ^ УАТшА п а, v = %m\ (а, * а 2). (8.3.42)
Формулы (8.3.40) - (8.3.42) решают задачу о волновом поле внутри тонкого податливого эллипсоидального включения в длинноволновом приближении. Наконец, в соответствии с формулами (8.3.5) и (8.3.6) поле перемещений вне тонкого трещиноподобного дефекта совпадает с падающем полем, а поле деформаций представляется следующим образом
**»(*) = е’ац(х) + |
" яОЛддоДа, ,a2)Z{x')epr{x’)dx\ |
а
(8.3.43)
Л(а„а2) = Л0(а1,а2)-/<у3Ла>(а),а2), Z(x) = ^ -г(х ),
а2
Л°(а,,а2) = С°пАпС°, Л®(а,,а2) = vA°(а,,а2 )НА°(а,,а2).
(8.3.44) Допустим теперь, что основная среда изотропна. При этом
тензор Н, по-прежнему, определяется формулой (8.2.22), пос тоянный тензор Т вычислен ранее и имеет вид
398
=©*'(*-*')©, и т= @ н е , (8.3.61)
а тензор H по-прежнему определяется формулой (8.2.7). Решение уравнений (8.3.59) и (8.3.60) вновь будем искать в
виде суммы действительной и мнимой частей
q(x) = q^°\x)+ico3q^\x), v(x) = v^(x)+/©V^(x).
(8.3.62) Подставив эти выражения в (8.3.59) и (8.3.60), получим
|
п |
(8.3.63) |
|
|
|
|
а |
а |
|
|
(8.3.64) |
vio)M |
= h(x)pya(x), v?>(x) = h{x)pxg(^ v (^{x)dD.. |
|
|
|
а |
|
|
(8.3.65) |
Уравнение (8.3.63) при постоянном на Q |
поле е° (X) ре |
|
шено ранее (§ 3.7). Это решение имеет вид |
|
|
? 2 (* ) |
= Я°сф2{х), q^ = — G ^ Q ^ e ^ ix ), (8.3.66) |
|
|
а2 |
|
G = ^ -(^© 50+ £ /')"', t/'= / £ / '( # ( * ) - 1]Л-
Из уравнений (8.3.64) и (8.3.65) теперь находим
Я(г)(х) = vGU<oGZ(x)0e(x), |
v(°](x) = phz(x)u°a(x), |
|
Рь = Щ р' ’ VL3)M = |
• |
(8.3.67) |
После определения величин (8.3.62) можно аналогично предыдущему выразить поля смещений и деформаций вне тонкого жесткого включения через внешнее поле
399
« « (* ) = * £ ( * ) - J v .g^ix-x^A ^Ja^a^Z ix^elX x^dx' +
Q
+a>2j g J * - * ,)-l»Z(x')u:(x')<b', |
(8.3.68) |
Q
£оф(х) = <*(*) + / ^ ( * - * ' ) ЛАДО,(яi,a2)Z (*')<r(*')^' +
Q
+® 2| ? „ . г д а ( * - * ’) д *<2 (* ■ )» ;(* ')* '. |
(8.3.69) |
о
Здесь обозначено
A(flr1,a2) = -[A °(a 1,a 2) - / V A ‘a(a1,a2)], A° = ®(w)G®(w),
Л“ = vA-ЯЛ*, Aa/J(a1>a2) = A ( ^ + / W v A gi5). (8.3.70)
Для изотропной основной среды тензор U” выписан в §3.7 (формулы (3.7.18) и (3.7.19)). В частном случае эллипсоида
вращения (a,=a2= a) тензор U° с помощью Р -базиса предс тавляется в форме
и ‘ = - ^ — p + r f)F '(n )+ \ (j-\ )Р 2{п)\ (8.3.71)
Если и материал, заполняющий включение, также изотро пен с модулем сдвига //о и коэффициентом Пуассона vo, то тензор G в том же базисе имеет вид
G = G ,(2 P ' - P 2) + G2P 2 , |
(8.3.72) |
|
|
|
|
П-1 |
аца |
1 - v |
|
Gi =А ^ - ( з + |
т |
2) |
G2= ^ |
-8& + *■ ) |
|||
2кц |
16V |
|
, } |
2 2 |
2hju |
1+ v |
|
Соответствующий этому случаю тензор |
Л° совпадает с G |
||||||
а тензор Л® определяется выражением |
|
|
|||||