книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы
.pdfТейлору принадлежит новый метод вычисле ния логарифмов, основанный на непрерывных дробях.
Эйлер (1707— 1783)
Сочинение Леонарда Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых» послужило дальней шему развитию теории показательной и лога рифмической функций. Эйлер дает более полное и систематическое изложение теории, чем было до него, и использует созданный им так назы ваемый алгебраический анализ.
Он предложил простое доказательство для развертывания ех в ряд. Дадим краткое изло жение рассуждений Эйлера [3].
К выражению ^ 1 -|- |
, где п и х — це |
лые числа, Эйлер применяет формулу бинома Ньютона, т. е. разлагает это выражение в ряд, а затем заставляет п возрастать до бесконеч ности. В правой части равенства переход к пре делу Эйлер выполняет в каждом члене ряда отдельно. В результате он получает показатель ный ряд
Следует заметить, что е определено |
у Эйле- |
||
ра в этом показательном ряде как |
/ |
1 п |
|
lim ! 1 -----) . |
|||
|
|
n-*oo ' |
п |
Идея такого вывода ряда для показательной |
|||
функции |
явилась примером для |
многих |
курсов |
48 анализа. |
В дальнейшем разрабатывались отдель- |
||
Эйлер
ные приемы и придавалось важное значение строгости доказательства. Так, в определении е
как lim |
1 -j----- I |
не все |
строго |
доказано с |
п—*~оо' |
п ! |
|
например, не дока |
|
современной точки зрения, |
||||
зано, что сумма |
пределов |
членов |
ряда равна |
|
пределу суммы ряда. |
|
|
||
Эйлер вывел формулу |
|
49 |
||
4 Г. К. Остапов
eix — cos x -p i sin .v,
которая устанавливает связь между показатель ной и тригонометрическими функциями.
Остановимся подробнее на выводе этой фор мулы. Эйлеру принадлежит смелая мысль при менить разложение в степенной ряд ех к тому случаю, когда вместо вещественного показате ля X берется чисто мнимый показатель xi. Эту мысль следует признать столь же гениальной (по своим последствиям для анализа), сколь и глубоко ошибочной (в своих логических осно ваниях). Логически Эйлер, конечно, не имел никакого права не только применять к exi раз ложение в ряд, установленное для ех, но даже вообще рассуждать о степенях с мнимыми показателями, не установив предварительно, что надо понимать под этими степенями.
Кроме того, подставив в обе части формулы
ех = |
X , |
X2 |
|
т г |
~w |
||
|
xi вместо х, Эйлер отделил в правой части ве щественную часть от мнимой, как будто он имел дело с обыкновенной суммой, а не с бес конечным рядом, да еще с мнимыми членами. Как бы то ни было в результате такого необос нованного обращения с мнимыми числами и бесконечными рядами у него получилось сле дующее равенство:
50 Нетрудно видеть, что бесконечный ряд, за-
ключенный в первые скобки, представляет не что иное, как разложение cos х, тогда как вто рые скобки содержат sin х. Таким образом, Эйлер и получил одну из замечательных фор мул
exi = cos х + |
i sin x. |
Современные математики, признавая громад |
|
ные удобства, связанные |
с применением этой |
формулы, но в корне осуждая мнимо логические рассуждения, которые к ней привели, принима ют эту формулу просто за определение ех‘: под степенью числа е с мнимым показателем xi, где х — вещественное число, подразумевается комп лексное число cos х -,L i sin х.
Формулу Эйлера можно получить и иначе, как это рассматривается в теории функций комплексного переменного: при помощи ряда определяется функция ez, где г — комплексное число, а затем z заменяется на xi.
При помощи этой формулы Эйлер открыл периодичность показательной функции, много значность логарифма и доказал существование логарифмов отрицательных и мнимых чисел. Тем самым он устранил трудности, которые были в теории логарифмов. Благодаря открытию формулы разрешился в пользу Лейбница длив шийся долгое время спор между Лейбницем, Бернулли и д'Аламбером о существовании лога рифмов отрицательных чисел.
Эйлер впервые изложил учение о логарифмах исходя из определения логарифма как результата одного из двух действий, обратных действию возведения в степень.
Трактовка понятия логарифма как результата одного из двух действий, обратных наряду с 51
4*
извлечением |
корпя действию возведения |
в сте |
пень, имеет |
логический дефект, так как |
извле |
чение корня |
является действием, обратным не |
|
по отношению к возведению в степень вообще, а по отношению к возведению в натуральную степень, при котором нельзя установить понятие логарифма в полном объеме.
Однако указанная трактовка понятия лога рифма является определенным шагом вперед к современному определению логарифма как функ ции, обратной показательной (у — ах), рассмат риваемой на всем множестве действительных чисел. Но такой взгляд стал возможен только на основе общей теории действительного числа, установления понятия степени с любым действи тельным показателем.
Небезынтересно отметить, что Эйлер первый (1748) ввел название «мантисса» (от латинского «придаток») и символ е (1728). До Эйлера сло во мантисса употреблял английский математик
Валлис |
(1685), |
обозначая |
им дробную часть |
числа, |
которое состояло из |
целого и десятичной |
|
дроби. |
И только |
впервые Эйлер во «Введении |
|
в анализ бесконечно малых» воспользовался им специально для обозначения десятичных знаков логарифма.
Таким образом, мы видим, что Эйлер значи тельно дальше развил теорию показательной и логарифмической функций. Но, как мы отмеча ли, он не всегда был строг в доказательствах
ипоэтому не дал точного обоснования теории.
Взаключение отметим, что в начале 19 в. уже сложились точные понятия о сходимости бесконечных рядов и других бесконечных про-
52 цессов. Первым занялся этим вопросом немецкий
математик Гаусс (1777—1855), который в 1812 г. написал статью о гипергеометрических рядах.
Затем |
в 1824 |
г. норвежский |
математик |
Абель |
|
(1802—1829) |
опубликовал |
работу о биномиаль |
|||
ном ряде. |
французский |
математик |
Коши |
||
В |
1821 г. |
||||
(1789— 1857) |
в сочинении |
«Курс анализа» |
впер |
||
вые публикует исследования |
общего характера |
||||
о сходимости рядов. Результаты этих работ бы ли применены к разложению показательной и логарифмической функций в ряд, так как ра
нее |
рассматривали разложение |
этих |
функций |
|
в ряд, не ставя вопрос о сходимости рядов. |
||||
Коши принадлежит |
более точное |
обоснова |
||
ние анализа бесконечно |
малых, которое позво |
|||
лило |
дать строгое изложение |
теории |
логариф |
|
мов. К полному пониманию логарифма и пока зательной функции привела теория функций комплексного переменного. Открытие и первое опубликование этой теории принадлежит Коши. Однако еще до него Гаусс ясно представлял основные черты этой теории.
Исторические данные § 6. о логарифмической линейке
Первая попытка создания логарифмической линейки принадлежит китайцам. Но впервые логарифмическую линейку на научном основа нии построил в 1620—1623 гг. профессор Лондонского университета Гунтер (1581 — 1626).
Его линейка состояла только из одной шкалы 53
с делениями. Вот почему при вычислениях не обходимо было применять циркуль. Лишь позд нее в 1633 г. английский ученый Оутред (1574—1660) внес усовершенствование, взяв две тождественные логарифмические линейки, скользящие одна вдоль другой.
Первую логарифмическую линейку, пригод ную для практического применения, построил англичанин Вейнсгат в 1627 г. Эта линейка
состояла из двух шкал и |
имела такой же вид, |
в каком она применяется |
в настоящее время. |
Наконец, в 1851 г. французский офицер-артил лерист Манигейм снабдил логарифмическую линейку весьма важным дополнением — бегуномвизиром, который служил для отсчетов.
В 1739 г. А. Д. Фархварсон в работе «Кни жица о сочинении и описании сектора шкал плоской и гунтеровской со употреблением оных инструментов в решении различных математи ческих проблем» знакомит читателя с логариф мическими вычислениями и употреблением про порционального циркуля, с логарифмической шкалой и линейкой.
1880—1890 гг. линейка получает массовое
распространение, налаживается |
ее фабричное |
производство. Вместе с тем она |
видоизменяется |
и совершенствуется. Наиболее |
широкое рас |
пространение получила 25-сантиметровая линей ка, обеспечивающая при тщательном отсчете для однократного умножения и деления три верных начальных знака результата.*
* Более подробные данные о логарифмической линейке содержатся в книге А. Эмпахера [4].
54
Глава II
К истории доказательства иррациональности
итрансцендентности чисел
^и 1
Иррациональность чисел е и X
Впервые доказательство иррациональности чисел е, ех и г. дал в 1766 г. немецкий мате матик, физик и астроном Ламберт (1728—1777). Он доказал следующие две теоремы:
если х есть отличное от нуля рациональное число, то ех не может быть рациональным числом;
если х есть отличное от нуля рациональное число, то tgx не может быть рациональным числом.
Для доказательства первой теоремы Ламберт берет разложение в непрерывную дробь, данное Эйлером:
е — 1 1
I + -
6 +
10 +
14-
18 + :
22-
§ 1 .
55
Из этого разложения он получает
|
е— |
1 |
е2— |
1 |
и |
е + |
Г’ |
е2+ |
Г |
1 |
|
|
|
|
еЛ' — 1 |
|
|
|
|
е* + 1 = |
2 |
1 |
|
|
|
л: + _ 6 _ |
, J ________ |
||
|
|
л: |
10 |
1 |
|
|
|
Д Г + 14 |
|
х ~г
Для доказательства второй теоремы Ламберт разлагает tgx в непрерывную дробь
tg^= -T- 1- T
х |
3 |
1 |
Г |
|
|
~ Т ~ ~ 5 |
|
||
|
|
х ~ |
7 |
1 |
|
|
|
* ~ |
9 |
|
|
|
|
х ■" |
При помощи этих разложений Ламберт до казывает, что при рациональном х ни ех, ни tg х не могут быть рациональными. В частности,
при х = |
tg |
= 1, откуда следует, что и— |
иррациональное.
Однако Ламберт не дал строгого доказа тельства иррациональности е и -к, так как не до казал следующую лемму: если в простирающей ся в бесконечность непрерывной дроби
m
m'
56 |
п |
т, п, т' , п' и т. д. |
суть целые положительные |
||
или отрицательные числа, причем дроби |
~- |
||
и т. д. |
меньше единицы (по абсолютному зна |
||
чению), |
то значение |
этой дроби есть иррацио |
|
нальное |
число. |
|
данное |
Приведем доказательство этой леммы, |
|||
французским математиком Лежандром |
(1752— |
||
1833) [5, стр. 203—206]: «Во-первых, я утверж даю, что это значение меньше единицы. Дейст
вительно, не нарушая общности, можно |
допу |
|
стить, что все знаменатели п, |
п', п" |
и т. д. |
суть положительные числа. Если |
возьмем теперь |
|
только первое звено данной дроби, |
то, по пред |
|||||
положению, |
< |
1. |
Беря |
еще одно звено |
и за- |
|
|
т’ . |
, |
заключаем, |
. |
т' |
|
мечая, что——< |
1, |
что п-\-----— |
||||
больше, чем п — 1; |
и так |
как т |
меньше |
п и |
||
оба они •— целые числа, то т также меньше, чем
Таким образом, дробь
т
тГ’
л
составленная из первых двух звеньев, будет меньше, чем единица.
Возьмем |
затем третье звено и заметим пред |
|
варительно, |
что на основании только что до- |
|
|
^ |
т ' |
казанного значения дроби---------w-, составлен-
п' + lf~
ной из второго и третьего звена, меньше еди ницы. Обозначая это последнее значение через ш, 57