Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

10,000000000	1
3,162277660	0,5
1,778279410	0,25
1,333521432	0,125
1,154781985	0,0625
1,074607828	0,03125
1,036632928	0,015625
1,018151722	0,0078125
1,009035405	0,00390625
1,004507364	0,001953125
1,002251148	0,0009765625
1,001124941	0,000488286
1,000562313	0,000244143
1,000281117	0,000122071
1,000140599	0,000071035
1,000070272	0,000030518
1,000035136	0,000015259
1,000017567	0,000007630
1,000008784	0,000003815
1,000004392	0,000001907
1,000002196	0,000000953
1,000001098	0,000000477
1,000000549	0,000000238
1,000000274	0,000000119

Пусть теперь требуется найти десятичный логарифм от числа а > 1, < 1 0 . Число а или должно встретиться между корнями на левой стороне черты, и тогда

log а = 2~п,

где п — целое положительное число, или а

	будет заключаться, между двумя кор
	нями так, что
158	2~п < log а < 2- '1+1,

следовательно,
	log а =		2~п Jr log (а • 10~2_").
Здесь	число а -10~2~" = а'					снова		>	1 (ст.	165),
потому что		log а >		2~п,	и снова			найдем или
	log а! =		2~т I-log (а' • 10-2“"!),
где целое число			т > п, потому что
	2~п 1 > 2~п -f 2~т+					log (а ■10- 2-т),
		log (а' • 10-2~'") > 0.
Так продолжая,			или получим
или	log а = 2~п +			2~т +		2~г -! - ... + 2~р,

	log а > 2~п +			2~т +		2 -г -Ь . . . + 2- р.
	log а <	2~~п +		2~т+ 2“ Ч - . . . +					2~Р+',
где	целые	числа		т > п,		г >	т	и	т. д.	Если
log а	не будет		найден		строго, то по крайней
мере	последний		показатель				р	можно сделать
как угодно великим и, следовательно, принимая
ту или другую сумму за log а, допустим ошибку
менее, нежели 2- р.							взять		такое	целое
Когда а > 10,				то стоит
положительное число и,					чтобы а -10_"> 1,					< 10,
найти log(a-10~u), и тогда
		log а = и +			log (а - 10-и).
Например,		надо найти
		log (1024) =			3 + log (1,024)
		T f 5 r i W =			1.005744013					159

1,005744013 1,001231098

1,004507364

1,001231098 1,000106038

1,001124941

1,000106038 1,000035764

1,000070272

1,000035764 1,000000629

1,000035135

1,000000629

1,000000080

1,000000549

1,000000080

1,000000011

1,000000069

1,000000011 1,000000002

“1,000000009

Складываем показатели, соответствующие знаме нателям в таблице:

0,0078125

0,001953125

0,000488286

0,000030518

0,000015259

0,000000238

0,000000030 ,; 0,000000004 0,000000001

log (1,024) = 0,010299960; log(1024) = 3,01029996.

Число 1024 = 210, следовательно, log 2 = 160 = 0,301029996».

Второй видоизмененный метод Бригса

При вычислении логарифмов с трехзначной мантиссой можно применять один из приемов, которым пользовался Бригс для облегчения вычислительной работы при составлении своей

таблицы	логарифмов. Например, найдем							lg 2.
Возьмем	равенство			210 =	1024.	Прологарифми
ровав его,		получим		10 lg 2 = lg		1024, откуда
			lg 2	lg 1024
			lg 2		10
Мы можем считать, что приближенно (с точ
ностью	до	двух цифр)			lg 1024 равен		lg 1000,
и тогда	lg 2 ^		0,30.	Ошибка,		допущенная		при
замене	числа		1000	на	1024,	равна	0,024	от
1000.

Сейчас уместно вспомнить следующее: не большую прибавку логарифма можно считать пропорциональной соответствующей прибавке числа.

Исходя из этого положения, нужно будет приближенный результат 0,30 исправить путем

прибавления к				нему	0,024	от		его	вели
чины: 0,30-0,0024 = 0,000720 ^							0,001.
Итак,	lg2 =		0,30 +		0,001 = 0,301.				только
Аналогично				вычисляется		lg 3,		но
надо исходить			из равенства			34 = 81.			lg 5 =
Логарифм 5 находится просто, так как
- lg lO — lg 2 =				1 — 0,301 — 0,699.				пользовался
Для	нахождения				lg 7	Бригс
равенством		74 =		2401.			воспользоваться
Чтобы		найти		lg 11, надо
равенством		992 =		9801,	З2-II2^		1800, откуда
				112	72- 2 - 100

11 Г. К. Остапов

сг>

N	0	1	\|	2	3	4	5	6	7	8	9
1,0	000	004		009	013	017	021	025	029	033	037
u	041	045		049	053	057	061	064	068	072	076			ig -		=	0,497
1,2	079	083		086	090	093	097	100	104	107	111			lg 2		: =	0,798
1,3	114	117		121	124	127	130	134	137	140	143			lg	V 2 -		0.150
1,4	146	149		152	155	158	161	164	167	170	173			lg	V 2 -		0.150
1,4	146	149		152	155	158	161	164	167	170	173			lg	V 3		0,239
1,5	176	179		182	185	188	190	193	196	199	201			lg	V 3		0,239
1,6	204	207		210	212	215	217	220	223	225	228
1.7	230	233		236	238	241	243	246	248	250	253	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.8	255	258		260	262	265	267	270	272	274	276	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1,9	279	281		283	286	288	290	292	294	297	299	2	2	3	4	5	6	7	8	9
2	301	322		342								2	4	6	8	10	12	14	16	18
2	301	322		342	362	380	398					2	4	5	7	9	11	12	14	i6
2					362	380	398					2	4	5	7	9	11	12	14	i6
2								415	431	447	462	2	3	5	6	81	10	11	13	14
3	477	491		505	519								3	4	6	7	8	10	11	12
3						531	544	556	568	580	591		2	4	5	6	7	8	10	и
4	602	613		623	633	643	653						2	3	4	5	6	7	8	9
4								663	672	681	690		2	3	4	5	5	6	7	8
5	699	708		716	724	732	740	748	756	763	771		2	2	3	4	5	6	6	7
6	778	785		792	799	806	813	820	826	833	839		1	2	3	3	4	5	5	6
7	845	851		857	863	869	875	881	886	892	898		1	2	2	3	3	4	5	5
8	903	908		914	919	924	929	935	940	944	949		1	2	2	3	3	4	4	5
9	954	959		964	968	973	978	982	987	991	996	0	1	1	2	2	3	3	4	4
	0	1		2	3	4	5	6	7	8	9	i 2 3 4 5 6 7 8 9

Прологарифмировав		последнее приближенное
равенство, получим
	lg j ! ^ 2 1§ 7 ~Ь lg 2 + 2 — 2 lg 3
Для	нахождения	lg 13 исходим из равенства
133 = 2197 ^2200 .		lg 17 записываем 173 —
При	вычислении

= 4913^4900 и т. д. Логарифмы трехзначных чисел (111 и т . д.), за исключением 101, 102 и других, вычисляются путем пропорциональ ного изменения логарифмов чисел ПО и т. д.

Логарифмы чисел 101, 102 и других вычис ляются при помощи равенств 1012 = 10201 ^ ^ 10200 = 2-3-17-100.

Логарифмы составных чисел определяются очень просто, а именно,- как суммы логарифмов простых чисел.

Итак, мы видим, что трехзначную таблицу логарифмов очень легко вычислить, она под силу ученику средней школы.

Таблица трехзначных логарифмов была со ставлена английским физиком Лоджем и усо вершенствована советским математиком Я- И. Пе рельманом путем прибавления готовых поправок [23]. Эту таблицу мы и приводим (см. стр. 162).

Метод Саррюса

В 19 в. французским математиком Саррюсом (1798— 1861) был предложен элементарный ме тод вычисления логарифмов. Этот метод основан

на двоичной системе счисления.	В двоичной сис
теме умножение на 2 выполняется весьма легко:
достаточно перенести запятую	на одну цифру
вправо.	163

Пусть	10х = N,	(9)
откуда	-V= \gN.
Характеристика логарифма находится по из
вестному	правилу. Пусть характеристика лога
рифма равна п. Мантисса		в двоичной системе
счисления	будет xt х2 х3 ...	, где хи х2, х3, ... —

нули или единицы.

Подставив в равенство (9) вместо х его зна


чение п, хг х2	х3	...	,	получим
\Qn,xtx2х3 ... _		ДГ или			10" • Ю0’х‘Х!Хз "• = N .
Разделив	обе		части		последнего			равенства
на 10я, найдем					=	N : 10".
	Ю°. льад, -
Если обозначить N : 10" через Nlt то по
следнее равенство			можно переписать в виде
		Ю°,			-	= Nv
Возведя в квадрат			обе		части		этого	равенства,
получим		10х,,ХзХ				= А/?,

где х1— характеристика логарифма числа N2U
	_	I	1 , если			Mi >10,
1		'	0,	если		N2< 10.		хх, делим
После того		как		найдена			цифра

обе части последнего равенства на 10Xi и полу чаем

			100, ЛЬЯЛ ... = Л/2.
	Аналогично		находим х2.		найти	про
	Таким	способом мы		можем
извольное число цифр логарифма,					который	бу
дет	записан	в двоичной		системе	счисления,	но
от	последней		нетрудно	перейти	к десятичной

164 системе счисления.

Рассмотрим пример. Вычислить lg 5. Находим

10* = 5, п = О,			10°'		••• =	5.
Возведя в квадрат,		получим
	10**’» -	=	25,	ду =	1,
Тогда	так как		2 5 >	10.
Тогда	101- Х 2Х 3 Х 4, . . .			25.
	101- Х 2Х 3 Х 4, . . .			25.
Разделив обе части		равенства на			10,	найдем
	ЮО.ад*. ... _ 2,5 .
Возведя в квадрат, получим				х2 = 0,
1023.а		=	6,25,	х2 = 0,
так как 6,25 < 10.
Следовательно,
	ЮО. а д * .... — 6,25.
Возведя в квадрат,		найдем
	Юз..*з- = 39,06.
Продолжая этот процесс, получаем:
*з =	1,				х7 — 1,
100-**** ... =	3,906,			10о. ад... = 2,942,
10- ° - = 15,26;				10«. »... =			8,554;
х4 =	1,				х8 = 0,
10о. ад, - =	1 526,			10°, »ю ••• =			8,554,
105,.... =	2,329;			Ю.. ю		— 73,17;
х5 =	0,				* 9 =	1,
10о. ад... * 2,329,				10°-		=	7,317,
10.. , ••• =	5,424;			Юч>. и ... =			53,54;
хв— 0,					А"10— 1.
шо. ад ... = 5 ,424,
Ю,.. ... =	29,42;						165

Таким образом, хгх^хг ... х10 — = 0,1011001011. Теперь нужно перейти от дво

ичной системы счисления к десятичной.						Необ-
ходимо подсчитать сумму
1	j	1 , 1	,
2	1 23		2 4	2 7 '	2 9 ~ 2 10 ’
При помощи следующей таблицы будет лег
че найти сумму:
Двоичная	дробь		П оказатель		Равная ей десятичная
Двоичная	дробь		степени		дробь
0,1				1	0,5
0,01				2	0,25
0,001				3	0,125
0,0001				4	0,0625
0,00001				5	0,03125
0,000001				6	0,015625
0,0000001				7	0,0078125
0,00000001				8	9,00390625
0,000000001				9	0,001953125
0,0000000001				10	0,0009765625
Итак,		0,5
		0,5
		0,125
		0,0625
		0,0078125
		0,001953125
		0,0009765625
		0,6982421875
Таким	образом,		lg 5 ^0,698 .			было
Заметим,		что	возведение		в квадрат	было

166 выполнено приближенно.

Метод этот является интересным, вполне до ступным учащимся средней школы, но перед тем как его изучать, надо ознакомить учеников с двоичной системой счисления.

Метод непрерывных дробей

Непрерывные дроби представляют собой до вольно простой метод приближенного вычисле ния логарифма какого-нибудь числа. Этот метод был открыт в 1717 г. Тейлором.

Положим, что нужно определить логарифм числа 2 при основании 10.

Обозначим логарифм числа 2 через				так
что 10 *	= 2. Возведя в		степень х обе	части
равенства, получим		10 =	2х.
Нетрудно заметить, что х содержится между
3 и 4.	Положив	х — 3 -J----- , найдем		10 =
03+—	0—	Ю
— 2	или 2 *» =	-g-, отсюда
Заметив, что хл		содержится между 3		и 4,
положим

xi — 3 + — •

Х2

Найдем

т У '

16 7

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб14Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб11Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб47Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб11Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf