Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Заметим, что логарифм является монотонной функцией, так как значение In л: увеличивается с возрастанием х и уменьшается с убыванием х.

Покажем далее, что логарифмическая функ ция принимает все значения от — со до + оо, когда независимая переменная х проходит через

непрерывное множество положительных							чисел.
Для	доказательства воспользуемся равенством
In 2п = п In 2.		Так как	1 п 2 > 0 ,		то при х =			2"
для достаточно большого значения п						функция
In х	будет	иметь	какое угодно			большое
значение.
Далее заметим, что In				= — п In 2,			а	по
этому	можно	сказать,	что	1пх,	когда	х,	оста
ваясь	положительным,			стремится		к	нулю,

неограниченно возрастая в отрицательном на правлении.

Показательная функция

Мы установили, что логарифмическая функ ция является монотонной функцией от х и при нимает все действительные значения, а поэтому обратная функция, которую обозначим временно через х = '?(#), будет однозначная, монотонная и определенная для любого значения у. Кроме того, обратная функция будет дифференцируема, так как 1пх — дифференцируемая функция.

Предварительно поменяв обозначения зави симой и независимой переменных, займемся исследованием этой функции ср (х).

Заметим, что функция ср (х) при любом зна128 чении х будет положительна. Далее, так как

логарифм единицы равен нулю, то ср (0) = 1. Из теоремы сложения для логарифма легко полу чается теорема умножения для обратной функции.


В самом деле,			обозначим через а и Ъ числа,
а через а и ,3		два	других числа, для которых
первые	служат		логарифмами:			а — In а		или
а = ф (a);	b =	In р		или	р = ср (Ь).		Получим
In (а р ) =	In а -f- In р =			а +	Ь, откуда
с? (a - f b) =		ар	или <р (а) ср (b) = ср (а + Ь).
Из последней формулы вытекает основное
свойство	функции		у = ср (х). Это			свойство		по
зволяет называть			функцию ср (х) показательной
и обозначать		ее	так: у — ех. Данное				свойство

можно сформулировать в том случае, когда

существует число (обозначим его					через с), для
которого \п е — 1		или	ср (1) =	е.	Из		теоремы
умножения можем вывести для				любого			целого
положительного		значения п,		что		ср (ц) = еп,
				t	\		т
а для целых	значений		т и п ср [ ^ - ) = е п .
Равенство	ср (/-) в ег,		выведенное			для поло

жительных рациональных значений г, будет спра ведливо и для отрицательных рациональных

значений г, так как <р(г) ■ср ( — г) = ср (0) = 1. Таким образом, функция ср (х) непрерывна

при всех значениях х и совпадает при всех рациональных значениях х = г с функцией ех. На основании этого функцию ср (х) можно обо^

значить через	ех,	где х — любое иррациональ
ное число, так	как	ср (х„) = ехп, и на основании
непрерывности ср (х)		находим
	ср (х) = lim ср (х„).
		хп~*х

9 Г. К. Остапов

Показательную функцию у = ех можно на глядно представить с помощью кривой, которая получается путем отражения логарифмической кривой относительно биссектрисы положитель ного квадранта (рис. 8).

Рис. 8

--------0\

Производная от показательной функции вы ражается формулой

Мы видим, что показательная функция при дифференцировании не изменяется. Дадим дока зательство приведенной формулы.

Пусть х = In у, откуда ^ а поэтому

на основании правила для обратных функций

получим

~ d x ~ y ~ e -

Отметим, что определение логарифма при помощи квадратуры гиперболы, по словам не

мецкого математика	Клейна	(1849— 1925),
является правильным	источником для		введения
новых функций. Кроме того, такое изложение
соответствует истории развития		логарифмов
и методу, который	применяется	в	высшей

130 математике.

Изложение теории по этому методу обладает такой же строгостью, как и другие, но проще и на гляднее, так как в данном случае не возникает

затруднений с непрерывностью	логарифма (он
с самого начала характеризуется	как интеграл,

т. е. как непрерывная дифференцируемая функ ция своего аргумента), а непрерывность обрат ной (показательной) функции вытекает сама собой.

Изложение теории § 2. в комплексной области

Логарифмическая функция

Рассмотрим функцию

		Рис.	9
причем путем интегрирования может служить
любая кривая, соединяющая точку 1			с точкой
z (рис. 9).	z — действительное	положительное
Если
число х и путем интегрирования		будет отрезок
[1, х] действительной оси, то w = lnx.
Если z	считать произвольным	комплексным
числом, то	по определению положим		w = \nz.
Рассмотрим свойства логарифмической функ
ции.			131

	г
Функция 1пг =	Г dZ
Функция 1пг =	\ X оудет многозначной,
т. е. имеющей в	i
т. е. имеющей в	каждой точке бесконечное

множество различных значений, которые соот

ветствуют различным путям интегрирования,
соединяющим точки 1 и 2.
		г
Если		Г dZ		взятого вдоль
Если		значение интеграла )		взятого вдоль
пути,		1
пути,	не окружающего нулевую точку (рис. 10),
т		г	Рис. 10
	t	а	Рис. 10
	t	а

обозначим через [In 2], то значение того же интеграла, взятого вдоль пути, окружающего один раз в положительном направлении нуле вую точку, будет

			[In г] + 2тсг,
так	как
	г
		j'	f 4 - = 2 « + [ ln z ] .
	1	Imal	1аг
Здесь интеграл			^ -Ф- заменен	через		2тгг, так
как	нулевая		Im al		замкнутого
как	нулевая	точка лежит внутри			замкнутого
контура, а		поэтому интеграл		(‘	dZ
контура, а		поэтому интеграл		J	-	у , взятый

132

Imal

вдоль этого контура, имеет определенное по стоянное значение, не зависящее от формы контура. Для вычисления его значения доста точно принять за контур интегрирования окруж ность с произвольного радиуса R с центром в нулевой точке. Тогда

- = Re^ , d\ = Rie‘rd'1

					d.
					id<p,
а поэтому					2-
					2-
			j* _^L = j* idtp — 2ni.
			c	;	o
Полученное			число		2ni есть		значение			интег-
рала	Г	d-
рала	,'	— .
	,'	?
	lmal	путь		интеграла		делает		k	оборотов
Если		путь		интеграла		делает		k	оборотов
в положительном или отрицательном									направле
нии около нулевой					точки,	то	к значению			[lnz]
прибавляется (или отнимается) число 2тйк.
Таким образом, при всяком z(z=£0)
			2
		w —	-ф- =		In z =	[In z] +		2mk,
			\

где k — любое целое число.

При z действительном и положительном

одно из значений [lnz] будет			действительным,
а все остальные мнимыми.		Это	действительное
значение	[lnz] и рассматривается в элементарной
алгебре.	функция ш =	In z,	определенная 133
Итак,

во всей плоскости комплексного переменного г, кроме z -- 0, является бесконечнозначной.

Для того чтобы рассматривать эту функцию как однозначную, нужно выбрать такую об ласть плоскости, в которой нельзя провести замкнутой кривой, окружающей нулевую точ ку. Если мы мысленно разрежем плоскость вдоль отрицательной действительной оси, то любой замкнутый контур, лежащий в такой плос кости, не будет содержать нулевую точку. В этой плоскости функцию w = In z можно рас сматривать как однозначную функцию ком плексного переменного г.

Основные свойства логарифмической функции выражаются теоремой сложения

lnzx + lnz2 = In (z1-z2).

Это равенство в силу многозначности лога рифма следует понимать так: при заданных значениях \nz1 и In z2 одно из значений ln(z1-z2) равно сумме двух первых логарифмов.

Теорема сложения может быть доказана следующим преобразованием:

In zx + In z2 — In zx +

z,z2

134

Показательная функция

Из определения логарифма, которое было дано при помощи интеграла, непосредственно вытекает, что функция z = / (w), обратная лога рифму, удовлетворяет следующему дифферен циальному уравнению:

Исходя из этого уравнения, можно сразу со ставить разложение функции z = f(w) в сте пенной ряд

z = f ( w) = 1 -ь

Полученный ряд сходится для всякого значе ния w, а поэтому функция z = / (w) будет одно значной с одной особой точкой при W = С О . Итак, функция z — f (w) целая трансцендентная.

Рассмотрим свойства показательной функции. Из теоремы сложения для логарифма вытекает

теорема умножения для обратной функции

f (tWi) • ср (w2) = <р (wt -f W2).

Из равенства

In z — [In z] + 2krd,

где k — 0,	~h: 1 , ± 2 ,	.. . ,	получим
	<p (w -f- 2kni) =		cp (w).
Таким	образом, cp	(w) представляет простую
периодическую функцию с периодом 2« .
Положив w1 — l		и ср (1) = е и взяв w2=

=-j-» гДе —---- рациональное значение, на

основании теоремы умножения получим, что

®(-~ | равно одному вещественному и положи

тельному значению из п		значений Ует. Уело-
		т
вимся обозначать	через	ew = en	именно	это
значение y(w).	ew обозначает		вполне	опре
Таким образом,	ew обозначает		вполне	опре

деленную однозначную функцию.

Дадим теперь определение функции aw. От ветим на вопрос, какую функцию нужно пони мать под степенью aw при произвольном осно

вании а?

Сведем функцию aw к функции ew. Выразив


основание а через е,				найдем
	а =	е1п а, где			In а =	[In а] +
	- \ - 2 Ы		(/г =	0,	д 1,	-Z	2,	... ),
	q W __		^ l n a'jw — gxv [In а ] . ^2kr.iw^
Таким образом, значения выражения общего
вида aw,	получаемые посредством							возведения
в степень	и	извлечения			корня,		не относятся
к одной	и той же функции,						а	принадлежат
бесконечно многим				функциям			от	w, причем

различным, из которых каждая однозначная. Здесь могут быть следующие случаи: если w равно целому числу, то все функции равны

между собой; если w равно	рациональной
дроби — , где р и q — взаимно	простые числа,

то будем иметь q различных значений функ ций, а именно:

Д [|п а ] ^ ы 1 ДЛЯ £ = 0, 1, 2, . . . , <7— 1.

136

Взаключение мы можем ответить на

вопрос, поставленный в начале данной главы, а именно: почему главные значения показа тельной функции выше оси Ох принадлежат одной непрерывной кривой, а главные отри

цательные	значения этой функции	не принад
лежат одной непрерывной кривой?
Главные	значения ( а > 0 и а*	> 0 ) пока

зательной функции дают возможность выделить из бесконечного числа функций одно значение функции

[схш] = ewГп °].

В противоположность этому отрицательные

р_

вещественные значения величины а ? , где q — четное, принадлежат совершенно разным из бесчисленных функций, а потому все эти зна чения, вместе взятые, не могут составить одну непрерывную кривую.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб14Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб11Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб47Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб11Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf