книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

Так, на вопрос, чему равно, например, Ю^5, редко кто из учащихся отвечает, а большинство

смысле терминов, обозначающих результат дей­ ствия и его запись. Так, при выяснении действия возведения в степень необходимо указать, что степенью называется не только результат, но и сама запись этого действия \ап\. На двой­ ственный характер терминов необходимо об­ ращать внимание в самом начале изучения алгебры, к этому вопросу следует возвращаться

ставляет никакого затруднения дать ответ на вопрос, чему равно 210®24.

После словесного определения логарифма необходимо дать и его буквенную символичес­ кую запись. Так как символ \ogaN обозначает показатель степени, в которую необходимо возвести основание а, чтобы получить число N, то отсюда следует, что

a l°gfliV= N '

Вывод этого тождества можно еще дать

Если теперь в равенство (2) вместо х подставить его значение из равенства (1), то получим

a lo* ° N = N .

Следует заметить, что в объяснительной за­ писке к программе по математике для средней школы указывается, что необходимо обратить внимание учащихся на это тождество.

Вдальнейшем это тождество может быть использовано для вывода формул логарифми­ рования и свойств логарифма.

Всамом деле, пусть даны тождества:

N — a}0Sa‘v и N ^ a ' 0^ 1.

Если, например, мы их перемножим, то получим

N-Nt = aloe«N+'oe«Ni

или

loga (N NJ = logaN + \ogaNx.

Дадим, далее, исходя из этого тождества, вывод формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.

Логарифмируя обе части тождества по осно­ ванию Ь, получим

log^/V = log„ (aloSaN)

или

log bN = log0AMog6a,

откуда

хода от одной системы логарифмов к другой. 199

н*

в учебнике А. Киселева [301 не рассматривается и в действующую программу средней школы не входит, но учитель может использовать этот материал для кружковой работы.

Затем необходимо'перейти к равенству x = \ogaN,

ние основных свойств логарифма. При изучении этих свойств следует одновременно рассмат­ ривать соответствующее свойство показательной функции, демонстрировать это свойство на гра-

200 фике, решать соответствующие примеры.

Так, при рассмотрении свойства логарифма: отрицательное число при положительном осно­

в виде ах = — N. Здесь мы пользуемся следую­ щим свойством: в какую бы степень ни возвели положительное основание, всегда будем иметь положительное число. Затем строим графики показательной функции и обращаем внимание учащихся на то, что все кривые расположены по одну сторону от оси Ох и вверху, т. е. зна­ чение показательной функции всегда будет по­ ложительное. После этого решается ряд приме­ ров, показывающих, что отрицательные числа при отрицательном основании могут иметь ло­ гарифмы. В связи с этим заметим, что когда учитель говорит учащимся: «отрицательные числа при положительном основании не имеют логарифма» и «положительное число при поло­ жительном основании имеет только один лога­ рифм», то это не вполне так. Все эти поло­ жения будут справедливы для действительной области, а в комплексной логарифмы обладают другими свойствами, что должен знать каждый учитель. В комплексной области показательная функция будет периодической, а логарифм многозначным (это легко показать при помощи формулы Эйлера ехг' = cosx-J-i sinx). В этой области всякое число имеет логарифм, а поэтому его имеет и отрицательное число при положи­ тельном основании.

После рассмотрения всех свойств логариф­ мов строятся графики логарифмической функции

при различных основаниях

Затем необходимо сопоставить полученный график, например, функции у = log2 х, которую можно записать х = 2-v, с ранее построенным графиком показательной функии у — 2х. В ре­ зультате сопоставления учащиеся увидят, что

очень мало. Итак, логарифмы чисел, которые очень близки к нулю, при основании, большем единицы, будут отрицательными числами, но большими по абсолютному значению, т. е. мы говорим, что если число стремится к нулю, то его логарифм стремится к — оо. Все эти рас­ суждения должны сопровождаться построением графиков логарифмических функций.

При изучении свойств логарифма в школе, как правило, не рассматривается вопрос о не­ соизмеримости единицы и логарифма числа, что является большим упущением, так как при этом можно было бы ознакомить учащихся с элемен-

202 тарным методом приближенного вычисления

логарифма (с видоизмененным методом Непера или Бригса). На практике этими элементарными методами не пользуются; вычисляются лога­ рифмы при помощи логарифмического ряда, который позволяет быстро и с большой точ­ ностью получить необходимый результат. Кроме того, для вычисления промежуточных значений логарифма еще применяют интерполяционную формулу. Однако учащимся эти методы не­ доступны.

Мы считаем, что ознакомление школьников с одним из элементарных методов вычисления логарифмов является необходимым. Так, вряд ли многие учащиеся отчетливо представляют себе природу, скажем, числа 47712, стоящего в таб­ лице логарифмов против числа 3. Если им задать вопрос, какая мантисса у 1, то получим ответ: «пять нулей», а пользующиеся четырех­

ков с одним из элементарных методов вычисле­ ния логарифмов логарифмические таблицы, не­ понятные вначале, составленные недоступными методами высшей математики, становятся ясными для них.

Рассматривая один из методов приближен­ ного нахождения логарифмов, необходимо обра­ тить внимание учеников на то, что, вычисляя приближенно логарифм, мы показываем, что всякое положительное число имеет логарифм, т. е. дается пояснение основной теоремы тео­ рии логарифмов (приближенное решение урав­ нения ах = Ь).

log х = 2 log а + 3 log b — 5 log с.

Эта задача является простейшей задачей на решение логарифмического уравнения. Решая ее, учащийся, несомненно, получит ответ

^_ а263

с5

В результате такого рода записи задач на потенцирование ученик привыкает к тому, что логарифм пропадает. Для того чтобы такого рода ошибки не допускались, учащиеся должны твердо знать формулы логарифмирования в об­ ратном порядке, а именно:

logam + log„n = loga (тп),

logam — log„« = loga и т. д.

Кроме того, примеры на потенцирование це­ лесообразнее давать в такой форме: потенциро­ вать выражение

2 log а 3 log b — 5 log с.

Для того чтобы ученик лучше усвоил, что логарифмирование и потенцирование действия обратные, необходимо вначале каждый пример 206 проверять логарифмированием полученного отве-

та. Так, например, надо потенцировать выраже­ ние

4 " (3 lg т + 5 lg п — 7 lg р).

Р е ше н и е :

4-(31gm + 51gn-71gp) = l g |/

П р о в е р к а :

Обычно без труда школьники потенцируют выражение

-i-lg a — 21g6 = lgx + lg у,

но стоит переписать его в виде

4 " lg a — 2 lg 6

и многие ученики при потенцировании допускают ошибки.

Приступим к краткому рассмотрению по­ следней, т р е т ь е й , ч а с т и учения о логариф­ мах. Эта часть значительна по своему объему

ией уделяют в школе наибольшее внимание.

Вэтой части рассматриваются свойства де­

сятичных логарифмов, дополнение логарифма, вычисление посредством логарифмических таб­ лиц.

Все свойства десятичных логарифмов осно­ ваны на двух теоремах: о числе единиц харак­ теристики и о неизменяемости мантиссы при умножении или делении числа на число, кото­ рое выражено единицей с нулями. Доказательст207