Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1 аким образом, lim ах — аа, каковы бы ни

X-' а

были числа последовательности, сходящейся к а. Это свойство показательной функции назы вается непрерывностью.

Отсюда легко установить правила действий над степенями с любыми действительными по

казателями:

1) покажем что аа-а? = аа+?, где а иР — дей ствительные числа. Если и и р — рациональные


числа, то это свойство							верно.		иррациональ
Предположим,				что			а — число
ное,	а [3— рациональное.							Пусть	гь	г2, г3, . . .
есть	последовательность							рациональных чисел,
имеющая предел а,					т.	е. \ \ m r k — o..
Так		как	числа		гк		k —ОО
							и	р рациональные, то
а к-а? =■ а к+?. Но
	Пт а к■а? — a? lim а к — а3lim а к =									а?■аа,
k -оо			h—*со					rk~**
	Пт а к+? — lim а к+? = П та'’1+? =									аа+?.
	fe--oo		rk~*a					/'/г+ р-*,а+3
Итак,				а?-а? =

Если		оба	числа а и р					иррациональные, то
				а к-а? = а к+?
• в силу		только		что		доказанного			(гк— рацио
нальное число, а				р — иррациональное). Но

lim а к ■а? — a? lim а к = а?аа и lim а к+^ =

откуда

		а’ ■а3 — аа+3;
2) покажем, что а*:а? — а
Так	как	а-3 =	Д -, а а3 =	—Ц-, то а1 : а3 =
	аа		еГ	а ■
=	аа	=	аа• а-3 = а“_3, откуда
		а 13

аа: а3 = а*-3;

3)теперь покажем, что (а")3 = а“3.

Предположим,			что а — число					иррациональ
ное, а р — рациональное.					Тогда, если				lim rft =
				(аГ/!У =					k —СО
— а, то из	равенства					а'-*'1		следует,		что
П т(аг*)3 =	Пт а *13			или	(П таг*] =				Пт	а к'\
rt - a	а“3.				Ч ~ а			’
т. е. (а“)з =
Если а — число			рациональное,					а	р — ирра
циональное,	то	построим				последовательность
pit 82, . . . ,	предел		которой 3.				Тогда
(аа)р* =		а"'3* lim (а“)р* =					lim а*5
или			3"3				3* ^ 3

	Пш (а“)3* =				lim аа?*>
т. е.	3*^ 3				3а~ 3
			(а“)3 =		а“3.

Наконец, если			а и р		— числа			иррациональ
ные, то из	равенства (ar*)3 =					a k? следует
lim (аг*У — lim a k'J‘, т.						е.	(а“)3 — а"3;
гА—а		—а-3								109

4) если число а больше (меньше) единицы, то степени его возрастают (убывают) с возра

станием	показателя.		число	а больше (меньше)
Положим,		что
единицы,	и	пусть	р > q,	где р	и q — числа
рациональные или иррациональные.					Тогда

но р — q > 0. Следовательно, ap~q будет больше (меньше) единицы, а поэтому ар > aq, если а > 1, и ар < а'', если а < 1 .

§ 2. Показательная функция

Если а больше нуля и не равно 1, то выра жение ах при любом действительном значении .v будет действительным числом. Функция ах при а > 0, определенная при любом действительном значении х, называется показательной.

Так как при а — 1		ах =	1 при любом х, то
функция	при а — 1 не	рассматривается		как по
казательная.			некоторые	свойства
Ранее	мы установили

показательной функции у = ах. Докажем теперь,

что если а >	1, то	lim ах =	+ оо и lim		ах = 0.
Если 0 < а <	1, то	X -{-оо	х-+ — оо		+ ск..
		lim ах =	0 и lim	ах =
Пусть а >		х -I- о о	х~*— оо
	1 и п — натуральное число. Тогда
ап—- 1 = (а — 1) (ап~] Д а"-2+ . . .				a -,L 1),
но

110

а п ~ \ - U а п - 2 л _

_ _ _ а_ j__|_ 1 >

л>

поэтому

а'1— 1 > (а — 1) п и ап > (а — 1) п -j- 1.

При достаточно большом п ап будет больше любого положительного числа с. В самом деле,

если п >	Q__ J	то	п(а — 1) > с — 1			или
	■ __ j-,
п (а— 1) -у 1 > с, а поэтому и а'1> с.
Пусть	х — действительное				положительное
число, большее 1 ,		и	п — натуральное			число,
меньшее или равное		х.	Пусть х > -			тогда
и п > ~ z j ’ так		как	х	п-	Будем	иметь
а" > с, а	отсюда ах > с.			Итак,	при х >	__ t
ах > с.	образом,	ап >	с	будет	превосходить
Таким

любое положительное число с, если х доста точно велико, т. е.

			lim	ах = ос.
			х-+ -f- оо
Далее,
lim	ах =		lim	а~х =	lim	= 0.
х-> — оо		^ - > 4 - 0 0			х~>-^ос а
Если 0 <	а <	1,	то —- > 1.
				а
Итак,	при 0 < а <			1
lim ах =		lim I —			lim	о
Ж-*+ЭО		Л--»+0О '		а ■	X—+ оо

ill

lim ах — lim

Х~*—со х ——

Докажем теперь, что функция ах может быть равна любому положительному числу.

Пусть а > 1. Обозначим через с какое-нибудь положительное число.

Покажем, что существует единственное поло жительное значение аргумента, равное а, такое,

что аа=	с. Иными словами, докажем теорему,
что уравнение
		ах — с	(7)
имеет единственный		действительный	корень,
если а >	1.
Пусть	с > 1. Образуем последовательность
	а0,	а1, а2, . ..

Так как числа этой последовательности неогра ниченно возрастают, то среди них найдутся

такие а"», а"»+1, что

а"»

с и а°°+1>

с.

Если а ”»

= с,

то а0— положительный корень

уравнения

(7)

часть

теоремы

доказана

(остается доказать единственность).

Предположим,

что а"0<

с. Рассмотрим числа

аа\ а

7^0 + 1

“ о + ТТГ

®о + Тп

Так как

эти

числа

возрастающие,

то

найдется

такая

пара

чисел

«0+ ттг

“0+

что

|и,

112 а ”0"1"10 < с и а ”'0+

> с.

Опять,	если		а °		10 =	с, то		а0+ —	есть
корень уравнения			(7).
	“0+ —			с,	то	рассматриваем			числа
Если же а '		10 <
,в,+15						,	«1 ,	2
		о+ ,0+		юг	а ° 2		10\| Л “ Г1"	Ю\| П 2,
		"»+ Тп +		9		"0+ " 1+110
				10»

и продолжаем те же рассуждения. Может слу

читься, что в процессе рассуждений найдется

а.

/		, «I ,	, —		с,
	®0"Г Тп*Т"		• • • " ! * In h	=		тогда
такое число k,	что а	10	10

G£

число а0-f —^ -f . . . + — есть корень урав

нения (7). Если такое число не найдется, то процесс будет неограниченный, и, как бы ни было велико k, всегда

° « + TR + • •	ak		+ . .. + °fe+‘
	ш*	с и	10* > с.

Заметим, что числа аи в2,			. . . — целые, неотри
цательные, меньше 10.
Напишем бесконечную десятичную дробь
	010)	а 1а 2а 3	• • •

Эта дробь определяет действительное положи тельное число

а =	а0, а ^ з . . .
Докажем, что	число а — корень	урав
нения (7).		Обо-
Предположим обратное. Пусть аа < с.		Обо-

8 Г. К. Остапов

значим с — а(а

k—т < у.

10*

Рассмотрим

ность

, "l+l 0’»+', а^0г То” 1

vI 1 При достаточно большом

бесконечную	последователь-
г“1	«ft- 1	“*+>
. , а 0 Тб	10*—1	10*

числа

которой

уменьшаются,

предел

равен

а*. При

достаточно

большом

число

+ ®.+

+а— -

будет сколь угодно

близко к а*.

а °

’ "

ю*

Иными

словами,

,.+ -л+ ... +!* + *

у,

но

1(,г

— а1 <

г — с — а*.

Таким образом,

а°

°к+'

с,

что

10/г

невозможно.

> с. Обозначим а'1—

Предположим, что а

— с =

Образуем

последовательность

"1 I

с2

ш "»+Го+

Эта

последовательность

возрастает

имеет

предел

а'\

Получим,

что

при

достаточно

к а''- — а

ч.«1

|.^_*

большом

ш*

откуда

, л

“*

с,

что

невозможно.

Итак,

аа= с.

с < 1. В уравнении (7)

Предположим, что 0 <

заменим

на — /.

Получим

а~( = с,

откуда

а( =

-^-.

Это

уравнение

вида

(7),

так

как

114

—- > 1 и	« > 1. Оно		имеет	положительный
с	а поэтому	уравнение		(7) имеет отри
корень t,	а поэтому	уравнение		(7) имеет отри
цательный	корень.	При	с = 1	корень уравне

ния (7) — нуль.

Докажем, что уравнение (7) имеет един ственный действительный корень.

	Предположим, что существует два различ
ных корня				я	и 3.	Так	как а Ф [3,		но	а" == с
и	а '1 =	с,		то	а* =	Ф.	Пусть	а >	!3,	тогда
а’- '’ =		1.	Но		при	а — ,3	> 0	ar'~ :i >	1,	и мы
пришли к противоречию.							уравнению		(7),	когда
О <	Обратимся				теперь к
	a <		1. Перепишем его так:
Здесь			>	1	и уравнение имеет единственный
положительный корень.										что
	Из доказанной теоремы следует,
каковы бы ни были положительные числа с и а,
найдется			такое действительное					число	л	и при- 115

том единственное, что аа- — с. Это число а называется логарифмом числа с при основании а

и обозначается так: logac.
Из определения логарифма следует, что
	Gl0g«C=	С.
Графики	показательной	функции у — ах при
а > 1 и а <	1 изображены	на рис. 3.

§ 3.

Логарифмическая функция*1

Функция у = loga х при а >

и а ф 1

опре

делена

при

любом

х >

0 в

силу

того, что

уравнение

ау = х имеет

при

перечисленных

ограничениях

единственный

действительный

корень.

Рассмотрим основные свойства логарифми

ческой функции:

1) log„ 1 = 0. Это свойство следует из опре

деления

логарифма;

2) при а >

1 loga х — возрастающая функция,

а при а <

1 убывающая.

что

а >

В самом

деле,

предположим,

и хх >

х2 >

0. Обозначим log„ хх =

ух и loga х2 =

= уг. Покажем, что

ух >

у2.

Так

как хг — ayi

и х2 =

аУг, т.

е. ау* > аУг,

то

ау<~Уг> 1 .

Если

бы

ух < у2, т.

е.

ух — у2< 0,

то

аг/1-у2<

и если бы ух =

г/2,

то ау*-у*= 1, что

невозможно,

а поэтому ух > г/2.

Аналогично можно показать, что при а < 1,

116

если хх>

х2, то следует свойство logrt хх < logn х2;

при

a > 1

loga x >

если

х >

и loga х < О, если х <	1. При х = 1	loga х — О,
но так как loga x есть	возрастающая	функция,

то отсюда следует справедливость свойства 3.

Аналогично, если а <

1, то logax >

0 при х < 1

и logax < 0 при х >

+ о о и Пт logax =

4) при а > 1

lim loga x =

= — о о .

При

a < l

ЛГ—^О

limlogax = — с о

и lim

loga х =

х—*"

СО

с — сколь

с о .

Пусть а >

Х-*—ОО

положительное

число.

Если

угодно

большое

х > ас,

то в

силу

того,

что

loga х

есть

возра

стающая функция,

logaх >

loga ас,

т. е. logn х >

с,

а это означает,

что

lim

loga x =

ос.

X->+°°

loga х < — с,

Если 0 < х <

то

по

этому

lim loga х =

— о о .

Так

как

loge x =

= — logjX (в силу определения

логарифма),

то

при 0 < а <

lim log„x — — lim log!X =

—о о

x-*-— CO

lim loga x = — lim

l ogi X=

+ o o ;

X~>— ОО

X ——CO

5) функция

log„ x

может иметь

значение,

равное любому действительному числу.

Пусть

N — какое-нибудь

действительное

число.

Обозначим

aN =

а.

Тогда

силу

опре

деления N =

loga а;

log„x =

loga a.

6) докажем,

что lim

Х-+а

что lim

logax =

Предварительно покажем,

х—t

117

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб14Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб11Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб47Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб11Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf