книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

при k - - \ , 2, 3. . . п есть целое число, деля­ щееся на р. Поэтому

k---=r.

% ckF (k) = c0F (0)'+ c,F (!) + . . . + cnF (n) *=--0

есть целое число, не делящееся на р, если р простое и больше |с0|, так как все члены сум­ мы, кроме первого, делятся на р. Таким обра­ зом, убеждаемся в справедливости наших рассуждений об этой сумме.

Рассматривая вторую сумму в равенстве (14), замечаем неравенство

для всех значений х между 0 и п, вытекающее из выражения (15) для f{x) и из того, что 1 при 0 < х < п. Далее находим, что

потому что интеграл можно рассматривать как сумму, а модуль суммы не больше суммы мо­ дулей слагаемых. На том же основании получим

угодно мала, так как

(Р— 1)1

стремится к нулю при возрастании р до оо, каково бы ни было постоянное число z.

Таким образом доказано сказанное выше о второй сумме в равенстве (14) и вместе с тем невозможность (14) и (13).

Немецкий математик Гордан освобождает доказательство Гурвица и от дифференциаль­ ного исчисления. Работа Гордана опирается на элементарное доказательство, которое обходит методы дифференциального исчисления при помощи тяжеловесных приемов формального преобразования. Искусственные функции, введеные Горданом, создают сложную символику, упрощение, им достигнутое, чисто внешнее. Но это доказательство так или иначе доступно читателю, не владеющему дифференциальным и интегральным исчислениями, и поэтому полу­ чило широкое распространение [10].

В 1900 г. Вален сообщает, что размышле­ ние над доказательством Гильберта привело его к чисто арифметически-алгебраическому дока­ зательству предложения Линдемана (трансцен­ дентность к), которое опирается только на самые элементарные соображения (на теорию рядов) и свободно от символики Гордана. Не­ смотря на краткость изложения, это доказа­ тельство довольно элементарно и выгодно от­ личается от доказательства Гордана,

§4. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи теории множеств

Оба рассмотренные метода доказательства существования трансцендентных чисел далеко уступают как по общности, так и по теоретиче­ ской важности методу немецкого математика Георга Кантора (1845—1918), основанному на теории множеств. Существование трансцендент­ ных чисел вытекает у него из теорем о счет­ ности множества алгебраических чисел и не­ счетности множества действительных чисел. Прежде чем перейти к доказательству этих тео­ рем, остановимся на некоторых новых понятиях, которые ввел Кантор.

Под множеством, по Кантору, понимают совокупность, составленную из ограниченного или неограниченного числа предметов, назы­ ваемых элементами множества.

Мы будем рассматривать только такие мно­ жества, элементами которых являются дейст­ вительные числа, взятые в неограниченном количестве. Кантор называет счетным множе­ ством такое множество, когда каждому его элементу можно поставить в соответствие эле­ мент множества натуральных чисел и притом так, что каждому элементу множества нату­ ральных чисел соответствует не более одного элемента нашего множества. Множество поло­ жительных четных чисел представляет пример счетного множества, так как их можно перену­ меровать. Множество рациональных чисел есть

80 счетное множество.

c0> 0, и уравнение неприводимо. Распределяем уравнения по величине так

называемой высоты Я, которая определяется так:

Я = о — 1 -Н с0 | -j- j сг | + . . . -г | сп|.

Затем распределяем числа, соответствующие одной и той же высоте Я, по их величине.

Легко заметить, что определенной высоте Я

Образуя из корней всех этих уравнений последовательность по величине Я (при равной величине Я по величине корня) получим сле­ дующую таблицу:

браические (действительные) числа могут быть сведены в последовательность, очевидно, экви­ валентную последовательности целых положи­

тельных чисел есть множество несчетное. Рассмотрим, например, все числа на сегменте

[0, 1]. Допустим, что их множество будет счет­

так, чтобы каждое из них занимало в этой последовательности вполне определенное место. Каждый член этой последовательности пред­ ставим в виде бесконечной десятичной дроби. Если какое-либо из чисел а обращается в ко­ нечную десятичную дробь, например в 0,23, то эту дробь можно представить в виде беско­ нечной дроби двумя способами: 1) в виде бес­

конечной десятичной дроби с периодом 0, а имен83

6*

ряда девяток). Найдем теперь две конечные десятичные дроби, например 0,35 и 0,36, кото­ рые отличаются друг от друга только на еди­ ницу второго десятичного знака и будут содер­ жаться между 0 и 1. Итак,

0 < 0,35 < 0,36 < 1.

Далее составим бесконечную десятичную дробь

0,35 Ьффд . . . Ьп. . . ,

где b3, blt ... , bn, . . . — последовательные циф­ ры числа, начиная с третьего десятичного по­ рядка. Наша дробь будет находиться между

отличную от п-й цифры числа ап-ч из (18). Таким образом, получена определенная беско­

вая лишь числа сегмента от 0 до 1, не играет существенной роли. Так, с помощью функции

Из двух рассмотренных теорем Кантора следует, что существует несчетное множество действительных трансцендентных чисел. В самом деле, по первой теореме Кантора, множество алгебраических чисел счетно, а по второй теореме множество действительных чисел нес­ четно.

Итак, установлено не только существование

выделяют множество чисел, к которому при­ надлежали бы все наиболее известные числа,

Можно показать, что множество собственно трансцендентных чисел есть счетное множество. Отсюда следует, что существуют трансцендент­ ные числа, не принадлежащие к этому множе­ ству и ' называемые гипертрансцендентными. Следует заметить, что собственно трансцендент­ ные числа, а в особенности гипертрансцендент­ ные очень мало исследованы, например еще не найдено ни одного гипертрансцендентного числа.

§5. Дальнейшее развитие теории трансцендентных чисел_____

Исследования по теории трансцендентных чисел продолжались и дальше. В 1899 г. фран­ цузский математик Борель (1871 — 1956) своей работой «О природе трансцендентности числа е» дал толчок дальнейшему развитию теории. Он нашел нижнюю границу модуля Р(ё), завися­ щую только от высоты Н и степени п многочлена

сцелыми коэффицентами Р(х).

В1923 г. советский математик Д. Д. Мор- духай-Болтовской (1876— 1952), независимо от Бореля, пришел к аналогичным неравенствам для нижней границы многочлена от е. Отметим, что исследования Мордухай-Болтовского являют­ ся первыми работами, связывающими комплекс­ ное переменное с трансцендентными числами. Кроме того, ученый дал классификацию транс­ цендентных чисел.

Известно, что числа

дентные. Мордухай-Болтовской называет эти числа элементарными основными построениями первого класса. Числа

е°, In a, sin я, . . . ,

где а — трансцендентное построение первого класса, он называет построениями второго класса.

После исследований Эрмита и Линдемана существенных достижений в развитии этой 86 теории не было, если не считать некоторых

упрощений, внесенных в доказательство теорем Эрмита и Линдемана А. А. Марковым, Вейерштрассом, Гильбертом, Гурвицом, Горданом и Валеном, а также работ Бореля и МордухайБолтовского.

В 1900 г. на втором Международном мате­ матическом съезде, состоявшемся в Париже, Гильберт прочитал доклад о проблемах будущей математики. Седьмой проблемой (из двадцати трех) Гильберт поставил следующую (следует заметить, что до Гильберта в 1748 г. Эйлер сформулировал эту проблему, но только в более

мер 2 12 или ег- = (— 1)~‘, числами трансцен­ дентными или по меньшей мере иррациональ­ ными?

Многие из указанных Гильбертом вопросов вскоре были решены, но проблема Эйлера — Гильберта в течение 30 лет так и оставалась открытой. Только в 1929 г. советский математик А. О. Гельфонд дал частичное решение этой

проблемы, доказав, что число а.1^ р , где а — алгебраическое число, не равное 0 и 1, а р >0,— целое рациональное, не являющееся точным квадратом, будет всегда числом трансцендент­ ным.

В 1930 г. советский математик Р. О. Кузь­ мин (1891 — 1949) перенес метод Гельфонда с небольшими изменениями на случай действи­