![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы
.pdfво этих теорем |
несложное. При этом можно |
||
не требовать, чтобы оно давалось |
в общем ви |
||
де, важно лишь, чтобы учащийся |
понял |
суть |
|
доказательства. |
изучения свойств |
десятичных |
|
В результате |
|||
логарифмов школьник должен: уметь не только |
|||
сознательно доказывать теоремы, |
но и |
отчет |
ливо представлять себе, например, необходи мость расщепления логарифма десятичной дроби на характеристику и мантиссу, насколько важно прибегать к искусственной форме для чисел, ко торые меньше единицы.
Очень часто учитель при изучении темы «Ло гарифмы» ставит своей целью научить учащихся только обращаться с логарифмическими табли цами. Так, учащиеся узнают, как определить характеристику числа, какими свойствами обла дает мантисса, но не могут объяснить, почему нужно поступать именно так, а не иначе.
При рассмотрении десятичных логарифмов нужно объяснить, почему при вычислениях поль зуются десятичными логарифмами, а не нату ральными.
При вычислении сложного выражения с по мощью логарифмов приходится складывать и вычитать несколько логарифмов, а для того чтобы не прибегать к вычитанию, применяется способ дополнения, заключающийся в замене вычитаемых логарифмов слагаемыми. В учебной литературе этому вопросу уделяется мало вни мания. Так, в учебнике Киселева [30] опреде ление дополнения логарифма и правило его на хождения не даются, а указывается только, что есть возможность заменить вычитание сложе-
208 нием.
Как же объяснить понятие о дополнениях логарифмов? Разъяснение этого материала необ ходимо проводить в следующем порядке: 1) вы яснить возможность замены вычитания сложе нием, 2) дать определение дополнения логариф ма, 3) найти кологарифм, 4) проводить вычисле ния, применяя кологарифмы.
Остановимся подробнее на каждом из этих вопросов.
Чтобы выяснить, необходимо ли заменить вычитание сложением, следует рассмотреть с учениками пример типа
Для нахождения логарифма х приходится про изводить три действия: сложение; сложение; вычитание. Здесь учитель должен задать уча щимся вопрос: нельзя ли упростить вычисления, сведя два различных действия к одному? Ока зывается, что это упрощение можно провести, заменив вычитание сложением.
Для того чтобы дать определение дополнения
логарифма, берем выражение х — и пред
ставляем его в виде х = а--у. Логарифмируя
его, получаем
lg х = lg а + (0 — lg b).
Таким образом, вычитание можно заменить сложением, т. е. к lg а прибавить разность
(О — lg6).
Теперь можно дать определение дополнения логарифма следующим образом: разность между нулем и логарифмом данного числа называется 209
дополнением логарифма данного числа до 0 или кологарифмом.
Сокращенно дополнение lg b записывается так: доп. lg b, или со lg b, где со —• первые буквы латинского слова complementum (дополнение).
Таким образом, предыдущее выражение мож но представить в виде
IgA' = lga + со lgb.
Если b = а, то х = 1, и выражение примет вид
lga + со lga = 0.
Для нахождения кологарифма нужно логарифм данного числа вычесть из 0. Записываем так:
если lg b = 3,4257, то со lg b = 0 — 3,4257 = = 2,5743. При вычитании необходимо из харак теристики уменьшаемого «занять» единицу, т. е.
уменьшить число на единицу. |
упражнения |
на |
||||
Учащимся |
следует |
давать |
||||
«занимание» |
единицы от 7, от 3, от — 2 и т. п. |
|||||
и, наконец, |
1 |
от 0. |
|
|
|
|
Далее можно дать следующее правило для |
||||||
нахождения |
кологарифма: для этого надо харак |
|||||
теристику |
логарифма |
данного |
числа вычесть |
|||
из — 1, а |
мантиссу — из + 1. |
учащимся |
ряд |
|||
Затем |
следует предложить |
упражнений для быстрого отыскивания характе ристики. Например: (— 1) — (+ 5); (— 1) —
-(+ 4); ( - 1) - ( - 6); ( - 1) - ( - 9).
Вычисления с применением кологарифмов не
вызывают затруднений у учащихся. Однако
здесь |
необходимо остановиться на выводе фор |
мулы |
доп. п lg'b = п доп. lg b. |
210 |
Допустим, что х ==~^г или х = а--^-. Ло гарифмируя, получим
l g x = \ga + (0 — nig 6),
откуда
О— n\gb = flon.nigb.
Сдругой стороны,
О— п lg b = п (О — lg b) = п доп. lg b.
Итак,
доп. п lg b — п доп. lg b.
На выводе этой формулы мы |
остановились |
||
потому, что учащиеся при вычислениях сталки |
|||
ваются с таким |
вопросом: следует |
ли сначала |
|
lgft |
умножить |
на п, а затем найти дополнение |
|
или, |
наоборот, |
найти дополнение |
lgfe, а затем |
его умножить на п? Этот вопрос следует разъ |
|||
яснить учащимся вначале на частном примере, |
а затем уже дать вывод формулы в общем виде. При прохождении логарифмов много времени
отводится на логарифмические |
вычисления для |
||||||
того, чтобы выработать у школьников |
твердые |
||||||
навыки. |
Однако |
очень часто технике |
логариф |
||||
мических вычислений не придают серьезного |
|||||||
значения и это приводит |
к тому, |
что ученики |
|||||
медленно усваивают |
материал, |
небрежно запи |
|||||
сывают вычисления, |
что |
приводит |
к |
ошибкам. |
|||
В существующей методической и учебной |
|||||||
литературе нет определенной установки в отно |
|||||||
шении |
методики |
логарифмических |
вычислений, |
||||
а поэтому даже |
в одной |
школе, |
но |
у разных |
|||
учителей нередко |
отсутствует |
единая |
методика |
||||
логарифмических вычислений. Поэтому здесь |
|||||||
необходимо ввести единообразие. |
|
211 |
Вопрос о порядке действий при вычислении логарифмов является очень важным для сред ней школы. Учащиеся должны все вспомога тельные действия осуществлять наряду с основ ными. Многие преподаватели разрешают учени кам пользоваться отдельными листами для вспомогательных вычислений. Это неверно, на до приучить учеников к тому, чтобы все вычи сления, которые трудно сделать в уме, они за
писывали |
в тетради. |
|
|
|
|
|
|
|
основ |
||
В отношении порядка расположения |
|||||||||||
ных и вспомогательных |
вычислений существует |
||||||||||
две точки зрения. Одни считают, |
что страницу |
||||||||||
тетради следует разделить на две половины: на |
|||||||||||
левой производить |
основные действия |
|
(суммиро |
||||||||
вать логарифмы |
и находить |
искомое |
|
число), а |
|||||||
на правой |
половине — вспомогательные |
вычис |
|||||||||
ления. Другие считают, что все действия необ |
|||||||||||
ходимо располагать |
в том |
порядке, |
в котором |
||||||||
они производятся, |
так |
как |
к |
этому |
|
учащиеся |
|||||
привыкли еще при |
|
первоначальном |
знакомстве |
||||||||
с арифметикой. |
|
|
|
|
|
|
не |
является |
|||
Мы считаем, что этот вопрос |
|||||||||||
принципиальным, |
т. |
е. |
можно |
придерживаться |
|||||||
одной или другой точки зрения. |
вычитаемый |
||||||||||
При суммировании |
логарифмов |
||||||||||
логарифм |
надо |
заменять |
слагаемым |
(пользо |
|||||||
ваться арифметическим дополнением) |
в том слу |
||||||||||
чае, когда это целесообразно. Нужно иметь |
|||||||||||
также в виду, что при суммировании |
|
слагаемых |
|||||||||
логарифмов, а затем |
вычитаемых, |
а также при |
|||||||||
вычитании |
из |
одного |
результата |
другого уча |
|||||||
щиеся нередко допускают ошибки. Кроме того, |
|||||||||||
это и нецелесообразно, хотя |
некоторые мето- |
||||||||||
212 диеты считают, |
что не следует |
требовать, |
чтобы |
ученики заменяли вычитаемые логарифмы сла гаемыми.
В программе для 10-го класса от учащихся требуется умение пользоваться четырехзнач ными таблицами логарифмов. Основным мето дом логарифмических вычислений в 10-м классе является письменный метод вычисления. При нахождении поправок пользуются приблизитель ной пропорциональностью между разностями чисел и разностями логарифмов чисел, больших 1000 и отличающихся между собою меньше, чем на единицу. С этим правилом учащиеся не только должны быть ознакомлены, но они обя заны его использовать при нахождении попра вок. Вначале учащиеся должны находить по правки непосредственно путем умножения и де ления, а после того как они приобретут твер дые навыки в этом, учитель может ознакомить
их со столбцами поправок таблиц |
Брадиса. |
че |
||||||||
Если для |
таблиц |
Брадиса |
ограничиться |
|||||||
тырьмя значащими цифрами числа, то многие |
||||||||||
учащиеся |
будут отыскивать все поправки в уме, |
|||||||||
не пользуясь |
столбцом поправок, и вопрос |
о |
||||||||
схемах отпадет сам собою, так как по таблицам |
||||||||||
для |
четырехзначных |
чисел |
логарифм |
опреде |
||||||
ляется в |
уме. |
|
|
|
|
|
|
|
||
В задачнике Н. А. Шапошникова и Н. К. Валь- |
||||||||||
цова |
[36] |
для |
логарифмирования |
даются |
числа |
|||||
с шестью |
и |
семью значащими |
цифрами. |
При |
||||||
решении этих |
примеров надо |
указать, что ин |
||||||||
терполировать на шестую, а тем более на седь |
||||||||||
мую значащую цифру нецелесообразно, так как |
||||||||||
интерполирование |
усложняет |
вычисление |
и не |
|||||||
дает |
более точного |
результата. Таким |
образом, |
|||||||
все |
данные |
числа |
в |
таких |
примерах |
следует 2 1 3 |
15 Г. К . О стапов
I
округлять, сохраняя только четыре-пять знаков. Приведем примеры и схемы расположения
вычислений.
Пример 3. Найти lg 172,354 ^ lg 172,35 =
=2,2364.
Ре ше н и е .
172 |
— 2355 |
X |
0,35 |
|
35— 9 |
||||
25 |
||||
17235 |
— 2364 |
|
8,75 |
Следует записать под чертой 17235—2364, что должно подчеркивать при последующей за писи lg 172,35 = 2,2364 независимость мантиссы от перемены в числе места запятой.
Пример 4. Найти число, логарифм которого равен 1,82386.
Р е ш е н и е . |
|
|
|
lg х = |
1,82386; 3,6 |
6 |
|
8235 |
— |
666 |
0,6 |
36— |
6 |
|
|
82386— |
6666 |
|
|
|
х = 66,66. |
|
|
„ |
|
0,16214 -У324,32 |
|
Пример 5. Вычислить х = |
|
214
Р е ш е н и е . Первый |
способ |
расположения |
||||||
вычислений: |
|
|
|
|
|
|
||
основные |
|
вспомогательные |
||||||
вычисления |
|
|
вычисления |
|
||||
lgx = lg 0,16214 -f- |
|
162 — 2095 |
*0,14 |
|||||
|
|
|
_______ 14— 2 |
Л 17 |
||||
+ -?-lg 324’* - |
2,38 |
|||||||
lg 0,16214 = |
1,2097 |
|||||||
— 31g 0,6486— |
|
|||||||
|
324 — 5105 |
X0,314 |
||||||
- - l l g |
0,0475 |
|
||||||
|
|
3 — |
4 |
|||||
lg 0,16214 = |
П2097 |
lg 324,3=2,5109 |
4,2 |
|||||
-j- lg 324,3 = |
1,6739 |
2 lg 324,3=5,0218 |
|
|||||
— 3 lg 0,6486 = 0,5640 -|-lg 324,3= 1,6739 |
|
|||||||
— g-lg 0,0475 = 0,2646 |
|
648 — 8116 |
X0,66 |
|||||
|
|
6 — |
4 |
|||||
lg* = |
1,7122 |
lg 0,6486 = |
1,8120 |
3,6 |
||||
7118 — 515 |
0,666 |
3 lg 0,6486= 1,4360 |
|
|||||
4 — |
67 |
— 3 lg 0,6486 = |
|
|||||
x = 51,567. |
|
|
= |
0,5640 |
|
|||
|
|
|
lg 0,0475 = |
2,6767 |
|
|||
|
|
|
jjrlg 0,0475= Г,7354 |
|
||||
|
|
|
- |
± |
lg 0,0475 = |
|
||
|
|
|
|
= |
0,2646 |
|
||
Второй способ расположения вычислений: |
||||||||
lg х = lg 0,16214 + \ |
|
tg 324,3 — 3 lg 0,6486 — |
||||||
|
|
---- i-lg 0,0475; |
|
|
15*
1) |
IgO,16214 = 1,2097 |
|
|
||
162 — 2095 |
|
V 0’ 4 |
|
||
|
14— 2 |
|
X |
17 |
|
|
|
|
2,38 |
|
|
2) |
lg 324,3 = |
2,5109 |
|
|
|
X |
0,3 |
|
|||
|
324 — 5105 |
|
|||
|
14 |
|
|||
|
3 — |
4 |
|
4,2 |
|
2 lg 324,3 = |
5,0218 |
- 3- lg 324,3 = |
1,6739 |
||
3) |
lg 0,6486 =1,8120 |
v 0,6 |
|
||
|
648 — 8116 |
|
|||
|
X |
6 |
|
||
|
6 — |
4 |
|
||
|
3,6 |
|
|||
|
|
|
|
||
3 lg 0,6486 = |
1,4360 |
— 3 lg 0,6486 = |
0,5640 |
4)lg 0,0475 = 2,6767; -g- lg 0,0475;
----lg 0,0475 = 0,2646
5)lg 0,16214 =1,2097
- |- lg 324,3 = 1,6739
—3 lg 0,6486 = 0,5640
—lg 0,0475 = 0,2646
lgjc |
|
= 1,7122 |
|
7118 — 515 |
|
|
4 6 |
4 — |
67 |
|
0,666 |
|
|
jc = 51,567. |
|
На методике решения |
показательных и ло- |
||
216 гарифмических |
уравнений |
останавливаться не |
будем*, но в связи с решением последних при ведем некоторые наиболее характерные ошибки, допущенные поступающими в различные вузы страны. Эти ошибки в основном объясняются незнанием и непониманием логарифма числа. Например, некоторые абитуриенты при решении логарифмического уравнения выносят знак ло гарифма за скобки, другие неясно представляют себе зависимость между числом, логарифмом и основанием логарифма. Очень часто поступаю щий в вуз затрудняется производить операции с логарифмами при основании, отличном от 10.
По нашему мнению, не стоит затрачивать много времени па решение показательных и ло гарифмических уравнений, лучше больше вни мания уделить решению задач, связанных с при ложением показательной и логарифмической функций к физике и химии. Так, исходя из ос новной формулы у — Nax, можно решить ряд задач, в которых использованы важнейшие яв ления природы: распад радиоактивных веществ, закон роста культур бактерий и дрожжей, зако ны поглощения, мономолекулярных реакций и др.
Вопрос о приложении показательной функ ции и логарифмов подробно изложен в рабо тах [23, 42—46].
* Это особая тема, которая достаточно хорошо разра ботана в методической литературе [38—41].
217