книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

Во-вторых, если берут а > 0, то полагают,

что при рациональном значении х = — (р и q —

р_ __

взаимно простые числа) у = ач = у ар.

Мы видим, что корень имеет q значений (вещественных и мнимых), но если взять только

вещественные значения, то при q четном он имеет два значения (рис. 5), а поэтому здесь условливаются рассматривать только арифмети­ ческое (положительное или главное) значение корня.

Представляется далеко неясным, почему в этом случае, если придавать х всевозможные вещественные значения, главные значения выше оси Ох будут принадлежать одной непрерывной кривой, а отрицательные значения не будут принадлежать одной непрерывной кривой.

Таким образом, определение показательной функции, а тем самым и логарифма как одно­ значной функции только для положительных значений аргумента является недостаточно объясненным. Полное освещение всех этих вопросов может быть дано в курсе математи­ ческого анализа.

В математическом анализе существует два метода изложения теории, а именно: от пока­ зательной функции к логарифмической и об­ ратно.

Первый метод изложения теории (определе­ ние показательной функции при помощи ряда, а логарифмической функции как обратной пока­ зательной) многим известен, а поэтому целесо­ образнее рассмотреть второй метод, менее распространенный, но более простой и нагляд­ ный [16]*.

При изложении теории по второму методу логарифм определяется при помощи интеграла, а показательная функция рассматривается как обратная логарифмической.

Логарифмическая функция

Рассмотрим функцию

*' =/1 £ =«*>

при х > 0. Назовем эту функцию натуральным логарифмом х и запишем у = In х.

Геометрически данная функция будет пред­ ставлять площадь, которая ограничена гипер­

болой у = и осью t с одной стороны и пря­

мыми t = 1 и t = X с другой (рис. .6).

* Следуя идее Клейна, А. И. Маркушевич [17] дает элементарное (без предварительного знакомства с понятием интеграла и понятием предела) изложение геометрической теории логарифма, доступное учащимся восьмилетней

124 школы.

Следует заметить, что по определению пло­ щадь надо считать положительной, если х > 1; отрицательной, если х < 1; при х = 1 площадь исчезает, а поэтому In 1 = 0.

Из определения логарифма следует, что нельзя получить логарифм нуля и отрицатель­ ных чисел, так как интеграл в интервале, вклю­ чающем х — 0, будет расходящийся.

Логарифмическую функцию графически можно представить в виде кривой (рис. 7).

Из определения логарифма следует, что

— . .. + ( — \)'n~him-• + ( — 1)mum(1 +

/72 x>3

u )-‘J du — a ---- 2—!—3— -

nm

-. . .

a

126 функции.