Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

видим, что гс~у— также меньше единицы. Сле-

довательно,		дробь,	составленная из			трех
звеньев:		т
			т'	’

также меньше		единицы.		таким же	образом,
Продолжая		рассуждать
видим, что	сколько		бы мы	ни брали	звеньев
данной дроби,		полученное значение всегда мень
ше единицы;	отсюда следует, что и вся					дробь,

продолженная до бесконечности, меньше еди ницы. Она может быть равна единице лишь в том единственном случае, когда имеет вид

т+ 1	т'	т"
	т'
		т" + 1	— ...

Заметив это, допустим, что значение нашей непрерывной дроби не иррационально, а равно

некоторому рациональному числу -д—, где Л и В

суть целые числа. В таком случае

вт

Далее, пусть числа С, D, Е и т. д. опреде ляются последовательно из равенств:

£т'

Вп ' + т"

58	п" + п"’ +...

_D m

Сm

,,iv

n'" + ,iv

и так до бесконечности. Так как все члены этих различных непрерывных дробей меньше единицы, то на основании выше доказанного

значения этих дробен -д , -g-,			и т. д.
также меньше	единицы, т. е.		В < А, С < В,
D < С и т. д.	Отсюда	следует,	что числа ряда
А, В, С, D, Е и т. д.		последовательно убывают.

Но зависимости между непрерывными дробями,

окоторых идет речь, дают

Вт

___ =

п-г В

откуда

С= тА — пВ,

ст'

~В~~	D ’
	п' + с

откуда

D = т'В — п'С,

D т”

откуда

Е = т"С — n"D

и т. д.

Так как мы допустили, что первые два чис ла А и В — целые, то отсюда следует, что все

остальные числа С, D, Е и т. д. тоже суть 59

целые числа. Таким образом, мы приходим к противоречию, что бесконечный ряд постоянно убывающих чисел А, В, С, D, Е и т. д. дол жен состоять только из целых чисел; при этом ни одно из чисел А, В, С, D, Е и т. д. не может быть нулем, потому что наша дробь продолжается до бесконечности, и выражения

B C D

-д , -g-, и т. д. должны все время иметь

определенное значение. Поэтому наше допуще ние, что значение данной непрерывной дроби

равно рациональному числу -д , ложно; это зна

чение непременно иррационально».

Затем Лежандр доказал, что непрерывная

дробь будет иррациональной, когда дроби

т'

-^т- и т. д. меньше единицы.

Исходя из характера разложений е и е2 в непрерывные дроби, можно сделать вывод, что они не могут быть корнями алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Этот же результат был найден в 1840 г. фран цузским математиком Лиувиллем (1809—1882). Он доказал, что е и е2 не могут быть корнями уравнения

ах24- Ьх + с = 0,

где а, Ь, с — целые числа.

Доказательство иррациональности числа е, которое обычно дается в исследованиях по ма тематическому анализу, принадлежит француз скому математику Фурье (1768— 1830). Приве-

60 дем это доказательство.

Иррациональность числа е следует непо средственно из ряда

		е —			1	2!
		е —			ТТ
					ТТ
В самом деле, пусть е =								где	р	и	q —
целые взаимно				простые числа.				Тогда		получим
равенство
_Р = 1 \| 1 ^ 1 , l _L .									!__ I
9	Г	II	^	2!	^ "•	1	q\	Г (q -\|-		1)!	"Г---
Умножая обе части этого равенства на q\, най
дем			С1 + ~ТГ +
P(Q — !)! =			С1 + ~ТГ +			- g r +		••• +			+
	J----- 1___ I-----------!-----------L
	^	9 +	1	^	(<?+ 1)(<? +		2)	П - -
С левой стороны получили не равное нулю це
лое положительное					число, а		с	правой— целое
число	(l	+		+	+ . . . +			-Jp)	Ф и		ряд

— \-с + -,—г-ггт—Г75Т - + - - Сумма членов этого
ряда будет, очевидно, меньше суммы членов
ряда	, j +		др - +		которая	равняется
Но разность			двух целых чисел			не может
равняться числу,			не равному нулю и меньшему
1	поэтому		,	р
— , а		еф
Видоизменяя это доказательство и применяя
его к	ряду	X	.	X
ех = 1 +
		Ti г 2!			+ - + _й г + - *		61

можно легко показать, что ех, где х — целое рациональное число, есть иррациональное.

Приведем доказательство этого предложения, принадлежащее французскому математику Шар лю Эрмиту (1822—1901) [6].

Пусть, во-первых,

			V		у2		ХП 1
/7М = Н - П Г + - \| Г + - + 1 ^ГП)Г-
Таким образом,
ex - F ( X) _		1	Г , ,	*	.	* 2		I
^	“	n!	L		(« +	1)(п + 2)		‘
Взяв	производную п — 1-го порядка от обеих
частей найденного				равенства, получим соотно
шение
ехк (х) — Ф (х)			1	V l ( » H - l) ( w + 2 ) . .. ( т + п —				1)
у2п— [			п\		( п ~ 2 ) ... (2 n - fm —			1) ’
			(т=о, 1, 2....)
в котором и (х) — полином с целыми							коэффици
ентами	степени п — 1, а именно
		U (х) = Л'"-1 — п (п — 1) хп~2+
	,	(п + \ ) п ( п —			1)(п — 2)	,.г _ 3	,
п				2!	Л		1
Положив			<!’ (х) =		т:(— X).
Положив
„ _		V	{ т + l) ( m - \| - 2 ) . . . ( т + п — 1)
^		^	(п +	1) (п +	2 )... (2п +	т —	1)	’

найдем

о 2и—1 ехк (х) — Ф (*) = -..■

Отсюда выводим, что при целом х показа тельная функция ех не может быть рациональ-

62 ным числом.

Эрмит

Положим	ех А .	При целых А к В это
соотношение	принимает	вид

В- (.х) — АФ (х)

Л5.у2л~"1

п\

Данное соотношение противоречиво: левая часть его есть целое число, тогда как правая 63

является	бесконечно	малой	величиной при воз
растании	п.	здесь	фигурирует, имеет
Ряд	S, который	здесь	фигурирует, имеет

действительно положительные члены. Следова

тельно,	он всегда отличен от	нуля,	а его зна
чение	уменьшается, когда	п увеличивается.
		х 2п-	1

С другой стороны, множитель — — имеет пре

делом нуль, что приводит к недопустимости высказанного предположения.

Далее Эрмит доказывает иррациональность

чисел г. и

§2. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи непрерывных дробей

Число х называется алгебраическим (соглас но терминологии, введенной немецким матема тиком Кронекером), если оно удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

а0хп а1хп^ ]+

ап-\ х + ап = 0, (1)

где а0, аи .. ., ап—■целые рациональные числа. Если а0 — 1, то х называется целым алгеб раическим числом. Числа, не удовлетворяющие алгебраическому уравнению (Г), называются

трансцендентными.

Разделение чисел на два таких класса воз можно только в том случае, если предваритель но установлено существование трансцендентных

64 чисел. Впервые доказательство существования

этих чисел было дано французским математиком И. Лиувиллем в 1844 г. Приведем это доказа тельство.

Теорему, которую он доказывает, можно сформулировать следующим образом: если непре рывная дробь представляет собой алгебраиче ское число, удовлетворяющее неприводимому

уравнению*	(1)	/?-й степени (п >		1), и если
qm— знаменатель		m-и	подходящей	дроби, а
Qm +i ( t n	1) — неполное		частное, то отношение
Q

—~ 2~~ ПРИ неограниченном возрастании числа т


может стать	меньше некоторого		вполне	опре-
деленного числа		М.
В самом деле,		пусть уравнение
хп	ctiX"-' -г . . . •1- a-n-ix +		а„ = О	(Г)

имеет ; своим корнем, который выражается не прерывной дробью. Уравнение (1') будем счи тать освобожденным от рациональных и равных корней, что всегда возможно.

Рассмотрим разность между двумя последо

вательными подходящими дробям и-^-и					Рт4
Она равна			Чт		Чщ+ 1
Она равна
Pm	рт + 1 __		± 1
Чт	Чщ+\		ЧтЧщг1
Корень ; будет заключаться			между двумя ПОД-
ходящими дробями, а поэтому разность
Рт __j _		-____			(2)
Чт		Чт Чтf 1
* Уравнение с	целыми	коэффициентами		называется
неприводимым, если его левая часть не может быть пред
ставлена в виде произведения		двух	многочленов	с	целыми
коэффициентами.					65

5 Г. К. Остапов

где	г — правильная			дробь, меньшая				или боль
шая	нуля.
Если обозначить остальные корни уравнения
(Г)	через сь		... ,	tn-\,	то	получим
		хп +	axxn- x+		. . . + ап =
		= (* -& )(* - У . . .				(JC— ?«_,).
Определим			из	этого	тождества			разность
х —	заменив х на			число —
			Рт+I		Ят
Рт __£ __								П
Рт __£ __						а„ЯП
Ят		qnHoL—b) (lUL—?2				/	Рт
		т\ Ят	1\Ят			\	Ят
Замечая,		что — ---- \		= ------:-----, находим
		Ят		ЯтЯт +1
			Рт' ■«1Рт 1Яп				(1	Q^
			Рт' ■«1Рт 1Яп				итЧт
q'nqm+l		щт(Рщ— qAIPul—«2						• (3)
q'nqm+l		щт(Рщ— qAIPul—«2						'/1-1
		\Ят		/\Ят

Следует заметить, что произведение двучле нов в знаменателе — вещественное число, что вытекает из предыдущего равенства. При неог

раниченном возрастании т дробь -^-стремится

Ят

к пределу £, а произведение двучленов в знаме нателе — к пределу

. . . ( 5 -

(4)

Таким образом, можно считать, что

66 где М — произвольное положительное число.

Следовательно,

Pm __g j l P m __ £		Pm	'?«-1	< M
Чт	* \ 4m	4m

при достаточно большом m.			целое	число,
Числитель равенства		(3) будет
не равное нулю, так как уравнение			(Г) не имеет
рационального корня.		большом	значении т
Итак,	при достаточно

Qm4m+1 > ЯтМ’

отсюда

qm+1 < M qn„Tl или qmQm+1 < MqnnTl

и
	<m+1< М .	(5)
Если теперь напишем такую непрерывную
дробь, у которой	неравенство (5) не удовлетво
ряется, то такая	дробь будет	выражать транс

цендентное число.

Числа, не удовлетворяющие этому неравенст ву, Малье предложил называть трансцендент ными числами Лиувилля. Таким числом будет, например, десятичная дробь

т1	т2	т3	+ • • • +
Тот +	101'2	101'23	+ • • • +
пц	+ ... ( m l =		1, 2,	9),
+ 101-2-3-- -i	+ ... ( m l =		1, 2,	9),

в которой число нулей между значащими циф рами все более и более увеличивается вправо. Отметим, что более простое доказательство тео ремы дал советский математик А. Я. Хинчин [7]. 67

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб14Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб11Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб47Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб11Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf