книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

можно найти таблицу логарифмов чисел первой сотни. Логарифмы будут вычислены с двумя десятичными знаками.

Графический метод вычисления логарифмов отличается малой точностью, отнимает много времени, поэтому с ним лучше ознакомить уча­ щихся на занятиях математического кружка.

логарифмом соответствующего члена геометри­ ческой прогрессии. Затем автор выводит основ­ ные свойства логарифмов.

Такой метод изложения теории логарифмов является неудовлетворительным, так как одно сопоставление прогрессий не может служить теоретической основой для формирования об­ щего понятия о логарифме. В самом деле, если сопоставить члены арифметической прогрессии (логарифмы) с соответствующими членами гео­ метрической, то логарифмы последних будут

представлении о логарифме не будет достаточ­ ной общности, а чтобы дать общее определение логарифма, нужно иметь в виду функциональ­ ную связь между непрерывно меняющимися величинами.

В учебнике А. Ю Давидова [26], широко распространенном в русской дореволюционной школе, теория логарифмов тесно связана с про­ грессиями. Так, автор рассматривает такую за­

арифметическую прогрессию, то соответствую­ щие им числа—геометрическую. После этой тео­ ремы идет доказательство основной теоремы теории логарифмов, а именно: всякое положи­ тельное число имеет логарифм. Доказательство этих теорем основано на прогрессиях и теории пределов. Затем идет доказательство четырех теорем: о логарифме произведения, частного, степени и корня.

Далее рассматриваются следующие вопросы: модуль перехода от одной системы логарифмов к другой, соизмеримость и несоизмеримость

однако наряду с этой .положительной стороной следует отметить следующий недостаток: общая теория логарифмов не исследуется с точки зре­ ния функциональной зависимости двух величин.

Рассмотрим далее еще один метод изложе­ ния теории логарифмов—степени и логарифмы.

В некоторых учебниках по алгебре [27, 28] изложение теории логарифмов авторы начинают с рациональных показателей степени, а затем переходят к понятию иррациональных показа­ телей. После этого дается обычное определение логарифма, а затем — доказательство существо­ вания логарифма (доказательство ведется на ос­ нове теории пределов и теории иррационального числа). Вслед за этим выводятся основные свойства логарифмов, теоремы логарифмирова­ ния частного, степени и корня и т. д.

Недостаток этого метода заключается в том, 181

что неясно выражена идея функциональной зависимости, кроме того, отсутствует графичес­ кое изображение функций. Если устранить эти недостатки, то изложение теории будет вполне строгим и современным, но труднодоступным для учащихся средней школы.

Существует еще концентрический метод из­ ложения логарифмов [29]. В начале «Концен­ трического учебника алгебры» содержится гла­ ва, посвященная обобщению понятия о показа­ телях. Затем учение о логарифмах разбивается на два концентра, что объясняется трудностью данной темы. В первом концентре к понятию о логарифме подходят с точки зрения сопостав­ ления двух прогрессий: геометрической и ариф­ метической. После этого переходят к изложе­ нию десятичных логарифмов, предварительно установив понятие о логарифме как о показа­

казательство теорем о логарифме произведения, частного, степени и корня. Затем излагаются свойства десятичных логарифмов чисел и объяс­ няется, как пользоваться логарифмическими таблицами.

182 теории логарифмов

можно заменить сложением, вычитанием, умно­ жением членов арифметической прогрессии. За­ тем вводится понятие логарифма, а далее рас­ сматриваются логарифмы при любом основании и применение логарифмов при вычислениях. Только после этого изучается логарифмическая функция.

2. Вначале дается определение логарифма как показателя степени, а затем рассматриваются логарифмическая функция и применение лога­ рифмов при вычислениях. Эта система изложения

мах начинается с расширения понятия о степени (вводится иррациональный показатель), а изу­ чение показательной функции—с решения зада­ чи на сложные проценты. Затем выводится формула сложных процентов, которая приводит

признать удачной. Сначала перечисляются свой­

рические данные, отсутствует элементарный метод вычисления логарифмов и не дается до­ казательство существования логарифма.

В пробном учебнике алгебры Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского [32] главы об обоб­ щении понятия показателя степени, о показа­ тельной функции и логарифмах изложены более удачно, чем в учебнике Киселева. Так, нахож­ дение логарифма числа не рассматривается как действие, обратное возвышению в степень, до­ казывается теорема о существовании логарифма, дается понятие о вычислении логарифмов и устройстве логарифмической линейки.

К недостаткам этого учебника следует от­ нести, например, отсутствие исторического под­ хода к изложению понятия о логарифме. Кроме 185

того, свойства логарифмической функции не иллюстрируются на графике, а элементарный

теоретическом уровне, тем не менее его усвое­ ние из-за сложности языка трудно для уча­

Так, в § 102 даны три больших и трудных для

сумму, ни разность выражать через логарифмы слагаемых или логарифмы уменьшаемого и вы­ читаемого нельзя» [33, стр. 179]. На самом деле, речь идет о логарифме суммы, логарифме разности и логарифмах слагаемых.

Определение показательной функции и таб­ лица значений функции у = 10х (§ 103, 104) неудачны. Совершенно излишним является упо­ минание об антилогарифме (учащиеся еще не имеют понятия о логарифме).

Понятие о функции, обратной для данной, излагается без учета подготовленности учащихся к изучению этого вопроса. Понятие о логариф­ мической функции (§ 109) следовало бы ввести

жены в учебнике неудачно, выводы являются слишком обобщенными. Кроме того, не дается теорема о существовании логарифма.

Методическое руководство § 2. по преподаванию показательной

функции и логарифмов в средней школе

По сложившейся традиции логарифмическая функция в средней школе определяется как об­ ратная показательной. При таком методе изло­ жения показательная функция является осно­ вой построения теории логарифмов.

Логически строгое определение показатель­ ной функции может быть дано только в том слу­ чае, если ученики вполне владеют теорией преде­ лов и теорией иррационального числа. Однако четкого понимания этих вопросов трудно ожи­ дать от учащихся средней школы, так как в них нередко не разбираются студенты первых кур­ сов вузов.

Итак, логически строгое определение пока­