книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы
.pdfV Глава
Методы вычисления логарифмов
§ 1. Метод вычисления логарифмов при помощи ряда
Вычисление логарифмов, особенно с боль шой точностью, представляется для многих учителей, а тем более учащихся средней школы сложной задачей.
Некоторые учителя считают, что вычислить логарифмы можно только при помощи высшей математики, и забывают, что первые таблицы логарифмов (Непера, Бюрги и Бригса) были составлены элементарным способом.
В настоящей главе мы рассмотрим несколько методов приближенного вычисления логариф мов, начиная с метода вычисления логарифмов при помощи ряда. Но так как этот метод уча щимся средней школы недоступен, то мы оста новимся на элементарных методах.
По нашему мнению, вполне достаточно на
уроках во |
время прохождения логарифмов |
|
ознакомить |
учащихся не со всеми методами |
|
вычисления логарифмов, а с одним, |
например |
|
138 с видоизмененным методом Непера |
или с пер- |
|
вым видоизмененным методом Бригса. Некото рые методы можно объяснить учащимся на кружковых занятиях.
Наиболее интересными являются метод Саррюса, непрерывных дробей и второй видоизме ненный метод Бригса.
Рассматривая отдельно каждый метод вы числения логарифмов, мы указываем, в какой форме, объеме может быть использован тот или иной метод.
Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению элементарных методов вычисле ния логарифмов, мы обосновываем, что в об ласти рациональных чисел можно найти при ближенное значение логарифма произвольного (любого действительного) положительного числа.
При помощи логарифмического ряда |
можно |
||||||
вычислить |
логарифм |
|
с любой точностью.* |
||||
Дадим изложение этого |
метода |
вычисления |
ло |
||||
гарифма. |
с логарифмического ряда |
|
|
||||
Начнем |
|
|
|||||
In (1 + х) = |
х |
х2 . х3 |
х1 . |
. . . |
( 1) |
||
1 |
2 |
3 |
Т |
||||
Формула (1) будет справедлива для значе ний х, удовлетворяющих неравенству— 1 < х < 1.
Обычно для вычисления логарифмов этим рядом не пользуются, так как он очень мед ленно сходится. Например, для вычисления In 2 с пятью десятичными знаками нужно было бы
* Логарифм можно еще вычислить с помощью при
ближенного |
вычисления |
определенного интеграла |
(см., |
|
например, |
у Г. М. Фихтенгольца [18]) или теории интер |
|||
поляции |
(см., |
например, |
у Я. С. Безиковича [19] |
или |
М. К. Гребенчи и С. И. |
Новоселова [20]). |
139 |
||
взять в этом логарифмическом ряде более ста
тысяч членов. |
|
|
|
ряд |
(1) |
в такой, |
|||
Постараемся преобразовать |
|||||||||
который бы быстрее сходился. |
Заменим |
в ряде |
|||||||
(1)х на — х. Выражения |
1 + х |
и |
1— х |
будут |
|||||
положительными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
v2 |
уЗ |
|
|
у4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
1п (1 _ * ) = - х - ^ - - ^ - — |
|
|
|
||||||
Если из ряда |
(1) |
вычтем |
ряд |
(2), |
то получим |
||||
In (1 + х) — In (1 — х) = 2 [х -|- |
|
|
|
+ |
•••) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
= 2 х + т + Т |
|
|
|
|
(3) |
|||
Этот ряд справедлив для |
— 1 < |
х < |
1. |
|
|
||||
Положив |
х = |
2п!|_ 1 |
где п |
|
Ь |
2, |
3, |
... , |
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (n + 1) = |
1пп + 2 2п + 1 "Г |
3(2/1 -г I)3 |
|
||||||
|
|
1 |
|
. . |
|
|
|
(4) |
|
|
_________ |
' |
|
|
|
||||
|
5 ( 2 n + I)5 |
J |
|
|
|
w |
|||
При помощи ряда (4) можем вычислять нату ральный логарифм любого целого числа, но при условии, если знаем натуральный логарифм предшествующего целого числа.
Положив, например, п — 1, получим
|
1п 2 = 2 М ' 1 |
1 + — - - - ь |
г |
||
|
или |
|
З3 |
‘ * з5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1п 2 — |
1 + |
5-92 |
(5) |
|
н о |
3-9 |
||||
Обозначая |
|
сумму |
п первых |
членов ряда через |
з |
1 |
3-9 |
1 4 - |
. . . -)------------- ----------- |
|
|
5 -9 2 |
(2n ~ \ ) 9 n~ \ |
|
а начиная |
|
с п |
1, через |
|
|
_2 |
К |
~з ( 2 п + 1 ) - 9 п + |
находим 1п 2 = Sn ~\ - Rn.
(2п -|- 3) Э ^ 1
Если |
в |
Rn заменим 2п + |
1 ,2п -f 3, . . через |
|||||
2п -f- 1, то дробь увеличится и получим |
||||||||
р , |
2 |
/ |
1 |
1 |
, |
1 |
|
1 . |
< |
3 |
( 2/г -г Г |
9" |
Т |
2 п + Г |
9п+1 ”1“ |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn< |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 (2/1 4- 1) 9” |
|
|
|
|
||||
Выражение |
1 |
|
4~ |
|
+ |
• • • является бес |
||
конечно убывающей геометрической прогрессией,
|
|
|
, |
|
1 |
9 |
а поэтому ее сумма будет равна ------- р- = |
|
|||||
Таким |
образом, |
если |
отбросим |
все члены, |
||
начиная |
с п |
1, |
то сделанная |
погрешность |
||
будет |
|
2 -9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Rn < Т ( 2 п + 1)-9» -8 = |
12 (2 п 4 - 1) 9П— 1 ‘ |
(6 ) |
||||
Теперь можно |
легко |
вычислить логарифм 2 |
||||
с какой угодно точностью. Если в ряде (5) ограничимся восемью первыми членами, то от
суммы отбрасываем |
величину, |
которая, соглас |
но (6), будет |
|
|
1 |
|
|
12 • 17 ■97 |
975725676 < |
108 ' |
Следует заметить, что можно получить еще 141
более точные |
формулы, |
чем |
формула (4). На- |
||
пример, положив в формуле |
|
2 |
|||
(3) х = п3__ д-~, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
. 1 + п 3 — Зп |
0 |
|
4 |
8 |
+ |
In ---------s |
^ |
|
|
||
|
|
п 3 — Зл л 3 (л3 — Зп)3 |
|
||
п 3 — 3п
или
In
п 3 — Зп + 2 |
|
+ ' |
42 |
+ |
|
п 3 — Зп — 2 |
п 3 |
3 ( п 3 — 3п)3 |
|||
— 3« 1 |
|
Если мы ограничимся первым членом разло жения, то получим формулу
1п |
п 3 — Зп + 2 |
4 |
п 3 — Зп — 2 |
п3 — 3п ’ |
но если заменим
п3— З п ± 2 = (п ±. 2) (п ц: I)2,
то найдем
In (п + 2) = 2 In (п + 1) — 2 In (n — 1) +
|
|
- И п (я - 2) + ^ г4 - зГ - |
|
|
|||
Эта |
формула |
дает для |
In (п 4- 2) |
значение |
|||
с 26 десятичными знаками, если считать, что |
|||||||
логарифмы |
1, |
п — 1 и п — 2 |
известны, при |
||||
этом п > 103. |
|
|
будет |
меньше |
|||
В самом |
деле, погрешность |
||||||
4 2 |
|
1 + |
|
|
4 2 |
|
|
з (п3 — Зп)3 |
(п3 — Зп)3 |
(п3 — Зп)* ' |
|
||||
|
|
|
16 |
|
< |
1 |
|
~ |
Зп (п2 — 4) (п2 — 3) (п2— 1 )2 |
Ю26 ’ |
|||||
142 если п |
> 103. |
|
|
|
|
|
|
Далее дадим формулу для вычисления деся тичных логарифмов. Для того чтобы перейти к десятичным логарифмам, нужно найти модуль перехода от натуральной системы логарифмов
к десятичной. |
Мы знаем, |
что |
М |
t ^ |
. Най |
|||
дем In 10. |
|
|
|
|
|
|
п = 4, |
|
Для |
этого |
положив |
в |
формуле |
(4) |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
In 5 = |
In 4 -f 2 (-g- + 3.93 |
+ |
5.95 |
+ |
■■ |
|||
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
^n2—3 (H 3 -9 |
^ 5 |
92 |
^ |
7 -9 3 |
^ |
|
||
или |
|
In 10 = |
In 2 + |
In 5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In 10 = |
2 (1 -f- 3-^g + |
|
+ ■■•) + |
|||||
+ "§'(1 + Т Г + 5 ^ +
Возьмем сумму восьми членов в этих рядах
и найдем |
|
|
|
In 10 = |
2,30258909, М = |
43489448. . . |
|
Теперь, |
умножая обе |
части равенства (4) |
|
на М, получим формулу |
|
|
|
lg (n + 1) = |
lgn + 2/W 2п + |
1 1 |
3 ( 2 л + 1 ) ! + |
которая является достаточно удобной для вы числения логарифмов. С помощью этой формулы можно вычислить таблицу логарифмов от 1 до 105, для чего достаточно вычислить логарифмы мз
чисел между 104 и 105, а поэтому в последней формуле можем положить 104. Взяв только первый член разложения в этой формуле, найдем погрешность
Rn = 2М |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
< |
|
3(2га |
+ |
I)3 |
5(2га |
+ |
I)5 |
||||
|
|
||||||||
< |
___ ;____ I |
;__ |
|
|
|
||||
|
(2га + I)3 ~ |
(2га + I)1 |
|
|
|||||
3 (2n + |
I)3 |
1 + |
(2га + 1)2- 1 |
(2га + |
Г Л~ |
||||
|
|
1) |
|||||||
(2М заменяем через 1, |
а -у , |
у -, |
. . . — через |
||||||
Выражение |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
[ |
|
1 |
. |
1 |
|
1 |
|
|
|
(2га + |
I)2 Г |
(2п + 1 ) 4 |
|
|||||
есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а поэтому ее сумма будет равна
(2га + I)2
2- 2га (л + 1) ‘
Следовательно, |
|
|
и / |
(2я+ !)2 |
= |
|
3- 2• 2п (га + 1)(2га + I)3 |
|
12га (га + |
1) (2га + 1) ^ 24га3 ^ |
1013 |
|
(при П — 104). |
|
Итак, применяя формулу lg (п + 1) ss; lg п +
+t для вычисления логарифма, допускаем
погрешность менее одной единицы 13-го деся- 144 тичного знака.
Элементарные методы § 2. вычисления логарифмов
В области рациональных чисел при произ вольном положительном основании, вообще говоря, не существует логарифма произвольного положительного числа. Но мы можем все же найти приближенное значение логарифма произ вольного положительного числа в области рациональных чисел.
Пусть надо определить приближенное зна чение логарифма 3 (с какой угодно наперед
заданной точностью) |
при основании |
10. Если |
не существует такой |
степени 10 с |
рациональ |
ным показателем, которая равнялась бы 3, или, другими словами, не существует степени 10 с целым показателем, которая равнялась бы целой степени трех, то все-таки можно, выбрав произвольное положительное целое число п,
определить положительное |
целое число а |
||
(а может равняться нулю) |
так, |
чтобы |
|
10* < |
3" < |
10*+'. |
|
Из этих неравенств непосредственно следует |
|||
а |
' |
а-р*1 |
|
1о""< 3 < |
1 0 ~ , |
||
т. е. 3 заключается между двумя степенями 10,
показатели |
которых отличаются друг |
от друга |
только на |
а именно на дробь, |
которая |
может быть сделана сколь угодно малой при соответствующем увеличении п. С другой сто роны, выбрав произвольное положительное 145
10 Г. К. Остапов
число гп, всегда можно найти такое положи тельное целое число X, что
Теперь
|
/ А-}- 1 |
__ /_ И ” _ |
(X 4- 1)” — X” |
|
|
|
|
||||||
|
\ т |
) |
|
Vот I |
|
|
|
т " |
|
|
|
|
|
|
1 |
я'/.'1-1 |
|
1 п |
( п — 1) ).”■ |
|
|
= |
|
||||
“ от” |
|
|
+ т - |
|
|
|
-2 + . . • |
|
|||||
|
л ( х |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
п |
|
п — 1 . (* у - |
-1- |
|
||||||
|
m { гп ) |
|
А 2! |
m |
|
m |
\ От / |
|
t |
|
|||
|
1 1 п |
|
л— 1 п — 2 / X л—3 |
1 |
• • |
|
|
||||||
|
3! |
m |
|
/Л |
m |
|
\ |
гп |
|
|
|||
Так как |
Ш |
|
" < |
ш - |
т° |
такжеШ |
а ! < |
ш ’ |
|
||||
п —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-отI / |
< 10 и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X + |
1Y* |
_х_'я / |
1n | п |
|
1 |
1 . « |
. « - |
1 I |
|
||||
|
|
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2_ |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"зг |
|
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-, |
|
п |
|
1 |
, тогда |
п — 1 , 1 |
|
я — 2 , |
< |
||||
Полагаем |
— = х |
— |
< х > |
|
|
||||||||
<,.Х1 |
и т. |
д., |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
3! • |
^2 |
I- ■• ■)■ |
|
|
|
|
|||
146 При |
достаточно |
большом |
значении |
R = |
|
||||||||
можно правую часть неравенства, а следова тельно, и левую сделать меньше сколь угодно малого числа г.
Если положить
, . ' п |
i_ , |
ш= (+) |
+ 8или <10- F,)"“ ^r |
10 = ( ^ ) “- г' ™ ( Ю + 8Г = + ,
то мы можем, придавая достаточно большое
значение R = , достигнуть того, что как о,
так и о' будет меньше сколь угодно малого
числа |
г. |
|
|
|
|
|
|
Из |
неравенств |
10а < Зч < 1СН-1 следует: |
|||||
|
(10 — 3)''< 3"< (10 + |
о')а+1 |
и |
|
|||
|
|
_ |
|
а+1 |
|
||
|
(10 — S)" < 3 < (10 Н- ?/) л , |
|
|||||
|
а |
\ |
|
i±i |
X-I- 1 a + 1 |
||
(10 — о)т = ^ |
|
||||||
) |
и (10 + 3 ') я |
||||||
, |
т ) |
||||||
Их |
разность |
|
н -i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(10 + 3') |
" — (10 — |
о)'1 = |
|
|
||
|
а |
|
а |
1 |
|
|
|
= (1 0 - 3 )T | ( i J ± | l ) T (10 + 5')T |
- |
1 ] < |
|||||
|
< (Ш — S) |
|
+ |
|
1 ], |
||
а^ 1
птак как — < 1, то она меньше
10 -*£±£(10 + o f |
147 |
10+