Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
29.10.2023
Размер:
5.26 Mб
Скачать

отсюда

_5_ _ 1125\Хг

4 — I 128/

ИТ . Д .

Врезультате получим следующие равенства:

х = 3 + — , хг — 3 + —-, х2 — 9 + — ,

A j А2 Аз

xs — 2 — , х4 = 2 -f- — , ^5 = 4 + — •

А4

Л5

Ag

Для lg 2 записываем выражение в виде не­ прерывной дроби

lg 2 =

3 +

Подходящие дроби будут:

1 3 28 146 643

У ’ 1 0 ’ 9 3 ’ 485’ 2136 ’ "•

Итак,

W " - 0’30103-

Трудность этого метода заключается в воз­ ведении дробных чисел в довольно высокие сте­ пени.

Если не пользоваться понятием непрерывной дроби, то изложение по этому методу в конце

• . следует несколько изменить, а именно: после

1б8 нахождения х5 = 4 +

замечаем, что lg 2

нельзя точно вычислить, а поэтому, не продол­ жая действия, принимаем х5 =* 4. Тогда

* 5 := 4, *4 = 2 +

•—

II

<LD

 

 

* з

=

2

+

4

22

п ,

9

207

“9“ =~

9

%2 ~ =9 +

22 ~

~22

*1

=

3

+

22

643

О ,

207

2136

207 ""

207’

X — 3 + бТз =

64+

Итак,

Обратив эту дробь в десятичную, получим

lg 2 = 0,30103.

Изложенный метод можно использовать на за­ нятиях в кружке.

Метод решения неравенств

Этот метод вычисления логарифмов досту­ пен ученикам средней школы и может быть использован на занятиях в математическом круж­ ке, но он является довольно громоздким.

Для того чтобы пользоваться этим методом, необходимо знать формулы сокращенного умно­

жения; lg(a+ ) = lga + \glr, lg (-|-j = lga—lgft;

уметь разлагать числа на простые множители; решать неравенства.

Дадим далее краткое изложение этого ме­ тода.

Рассмотрим основные формулы, при помощи которых вычисляются логарифмы.

С увеличением положительного числа х уве-

личивается и lgx. Из неравенства х" > х2—1 (при х > 1) получим

21g x > lg(x — 1) + lg (* 4- 1).

Если перенесем члены неравенства в одну сторону, то найдем

lg (х 1) + 2 lg а: — lg (х + 1) > 0. ( 10)

Данное неравенство связывает логарифмы трех каких угодно последовательных целых чисел. Далее получим неравенство, связыва­ ющее логарифмы четырех последовательных чисел.

Возьмем неравенство

х3 (х +

2) > -f- I)3— !)•

 

 

 

Так как левая

часть

этого

неравенства

 

дает

х4 4- 2х3, а правая х4 f

2х31, то

левая

часть на 2x4-1

больше его правой

части.

Из

этого неравенства получим

.

 

 

 

 

X3 (X+

2)

 

 

 

(*+ 1)3(х— 1)

^ ■

х >

 

 

Логарифмируя это неравенство, при

1

на­

ходим

 

 

 

 

 

 

— lg(x — 1) -f 31gx — 3 lg (x -p

 

(11)

E 1) 4- lg {x + 2) > 0.

 

 

Аналогично можно вывести неравенство, связывающее логарифмы пяти последовательных чисел, а именно:

— lg (х — 2) 4- 4 lg (х — 1) — 6 lg х -f

(12)

4 1 g(x+ 1) — lg (х 4- 2) > 0.

Рассматриваемый метод элементарного вы­ числения границ, между которыми должны заключаться логарифмы целых чисел, состоит 170 в том, чтобы, применяя основные формулы (10),

( 11), ( 12) к произвольно выбранным группам последовательных чисел, получить с помощью исключения неизвестных неравенство одного из двух следующих типов:

т lg г п > 0 или р q lg z > О,

в результате чего будут найдены нижняя и верх­

няя

границы

для

lgz. Следует обратить

внима­

ние на

то,

что

нижняя граница

тем

лучше,

чем

она

больше,

а верхняя

граница

тогда луч­

ше,

когда она меньше. Если

при выборе

групп

последовательных чисел не будет обращено внимание на это обстоятельство, то могут по­ лучиться недостаточно тесные границы.

При выборе групп последовательных чисел надо обратить внимание на то, чтобы в этих числах было возможно меньше простых множи­

телей.

числа 2

и

3 будут встречаться

Конечно,

в формулах

в

качестве

множителей, так как

среди трех

и

более

последовательных чисел

по крайней мере одно делится на 2 или на 3. Простой множитель 5 в силу равенства

lg 5 = lg 10 — lg 2 = 1 — lg2

под знаком логарифма фигурировать не будет. С помощью только этих элементарных фор­

мул для последовательных чисел, начиная с д: =

=2 и кончая произвольно большим значением х, всегда можно найти два числа, из которых одно меньше lgx (нижняя граница), другое больше lgx (верхняя граница). Разность между этими числами при малом х составляет лишь

несколько стотысячных или

девятитысячных

 

и хотя с увеличением

х возрастает, но все же

остается значительно

меньше

одной тысячной.

171

При вычислении нижней и верхней границ для логарифмов чисел первой сотни надо основ­ ные формулы применять не прямо к тем прос­ тым числам, логарифмы которых должны быть вычислены, а к квадратам, чтобы получить

лучшие границы.

Рассмотрим вычисление более близких ниж­ них и верхних границ для lg2 .

Формула (10) является достаточной, чтобы при ее помощи получить хорошую нижнюю границу для lg 2, но при условии, что х будет выбран достаточно большим, а именно трех­ значным. При выборе х еще следует обратить внимание на то, чтобы числа х, х 1, х -f 1 , кроме простых множителей 2 и 3, содержали остальные возможно меньшие множители.

Положив в формуле (10) х последовательно равным 243, 121, 122, 123, 124 и 1024, най­ дем:

lg 242 + 2 lg 243 — lg 244 > 0,

lg 120 + 2 lg 121 — lg 122 > 0,

lg 121 + 2 lg 122 — lg 123 > 0,

1 g l22 -i- 2 lg 123 — lg 124 > 0,

lg 123 2 lg 124 — lg 125 > 0,

lg 1023 + 2 lg 1024 — lg 1025 > 0.

Разлагая на множители и логарифмируя,получаем:

— lg 2 2 lg 11 + 10 lg 3 — 2 lg 2 — lg 61 > 0,

3 lg 2 — lg 3 — lg5 + 4 lg 11 — lg 2 — lg 61 > 0,

2 lg 11 2 lg 2 -f 2 lg 61 — lg 3 — lg 41 > 0 ,

—lg 2—lg 61 + 2 lg 3 +

2 lg 41 — 21g2 + lg31 > 0,

— lg 3 — lg41 + 4 1 g 2 + 21g31— 3 1 g 5 >

0 ,

172 — lg3 — lgl 1 — lg31 +

201g2 — 21g5 — lg41

> 0,

откуда

— lg 6 1 - 2 lg 11 + 10 lg 3 — 3 lg2 > 0, (13) - lg 6 1 +41g 11 — lg 3 — 3 lg 2 — 1 > 0 ,(1 4 )

21g61 — lg41 — 21gl 1 — lg3 + 21g2> 0, (15)

Ig61 +21g41 — lg31 -|- 21g3 — 31g2> 0, (16)

— Ig41 21g31 + 71g2 — 3 > 0,

(17)

— Ig41 — lg31 - lgl 1 — lg3 + 221g2 — 2>0. (18)

Теперь

можем

исключить один

за другим

lg 31, lg 61,

lg 41

и lgl l , уравнивая

коэффици­

енты при подлежащих исключению логарифмах в тех неравенствах, в которых указанные ло­ гарифмы входят с разными знаками, и склады­

вая

соответствующие

неравенства.

(16),

(17),

Исключим lg 31

из неравенств

(18):

 

 

 

 

. —21g61+41g41—21g31-f-4lg3-61g2>0 (16)

+

—Ig41+21g31—Ig3 + 71g2—3 > 0

(17)

 

- 2 lg61 + 31g41 + 31g3+ lg2- 3 >

0;

(16')

,

— lg 41 +21g31—lg3~f 71g2—3 > 0

(17)

—21g41—21g31—2lgl 1—21g3+441g2—4 > 0 (18)*2

—31g41—21gl 1—31g3+511g2—7>0.

(17')

Исключаем lg 61 из

неравенств (15)

и (16'):

2 lg 41 — 2 lg 11 + 21g 3 + 3 lg 2 — 3 >

0; (19)

из неравенств (14) и (15):

 

 

— Ig41 + 61gll — 31g3 — 4lg2 — 2 > 0;

из неравенств (13) и (15):

 

 

— lg 41 — 6 lg 11 +

19 lg 3 — 4 lg 2 >

0;

остается без изменения

(17'):

 

 

— 31g 41 — 2 lg 11 — 3 lg 3 + 51 lg 2 — 7 > 0.

Комбинируя неравенство (19) с каждым из трех остальных, исключая lg 41, находим:

10 lg 11 — 4 lg 3 — 5 lg 2 — 7 > 0,

14 lg 11 + 40 lg 3 — 5 lg 2 — 3 > 0,

10 lg 11 + 111 lg 2 — 23 > 0.

Если

из этих

неравенств

исключим

lg 11,

то,

соединяя первое неравенство с каждым из двух

остальных,

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43 lg 3 — 15 lg 2 — 16 >

0,

 

 

(20)

 

 

— 4lg3+ 106 lg 2 — 30 >

0.

 

 

(21)

Исключая

из последних

неравенств

lg 3,

нахо­

дим нижнюю границу для lg 2.

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

4498lg2 — 1354> 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg 2 >

-2W - или 0,30102 <

lg 2.

 

 

Для получения более близкой верхней границы

применим основную формулу (11)

к группе чисел

123, 124, 125 и 126. Получим

 

 

 

 

 

 

— lg 123 -]- 3 lg 124 — 3 lg 125 -f lg126 >

0.

Применяем

формулу

(10)

к

группе

чисел

124,

125,

126:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— lg 124 -l 2 lg 125 — 2 lg 126 >

0.

 

 

Из этих двух

неравенств,

исключая

lg 124,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— lg 123 -f 3 lg 125 — 2 lg 126 > 0,

 

 

или, разлагая на множители и заменяя

lg 5

через 1 — lg 2, находим

 

 

 

 

 

 

 

— Ig41 — 2 lg 7 — 5 lg 3 — 11 lg 2 Д 9 .

0.

Это

неравенство

соединяем с

неравенством

174

 

 

lg 1025 — lg 1024 > 0

 

 

 

 

или

lg 41 — 12 lg 2 + 2 > 0.

Исключая lg 41, получаем

— 2 lg 7 — 51g3 — 23 lg 2 -f 11 > 0 .

Это неравенство соединяем с другим, кото рое получится, если основную формулу (10) применить к .v = 49, т. е. с неравенством

2 lg 49 — lg 48 — lg 50 > 0

или 4 lg 7 — lg 3 — 4lg 2 — 1 — 1 -f lg 2 > 0,

или

4 lg 7 — lg3 — 3 lg 2 — 2 >

0.

 

Затем,

исключая из обоих

неравенств

lg 7,

получаем

— 11 lg 3 — 49 lg 2 +

20 >

0.

(22)

 

Другое неравенство, связывающее lg 2 и lg 3, найдем, соединяя неравенство

lg 1025 — lg 1024 > 0

с неравенством, которое получаем, применяя основную формулу (10) к х = 81, т. е. с не­ равенством

21g 81 — lg 80 — lg 82 > 0,

или после разложения на множители:

lg 41 — 12 lg 2 -f- 2 > 0

и

— lg 41 -f 8 lg 3 — 4 lg 2 — 1 > 0.

Складывая два последних

неравенства,

находим

 

8 lg 3 — 16 lg 2

1 > 0.

(23)

Умножая

неравенство

(22) на 8, а

неравен­

ство (23) на

11 и складывая их, получаем

откуда

— 568 lg 2 Н- 171 > 0,

 

 

 

 

 

1 о - 171

 

g 2 > 568

175

или

lg 2 <0,30106.

Таким образом, найденная верхняя граница для lg 2 только на четыре стотысячные больше найденной нижней границы для lg 2:

0,30102 < lg 2 < 0,30106.

Отметим, что необязательно применять фор­ мулы (10) и (11) при вычислении нижней гра­ ницы для lg 2 и формулы (10) при вычислении верхней границы, так как здесь можно восполь­ зоваться всеми тремя основными формулами или только формулой (12).

Графический метод

Кроме рассмотренных методов вычисления логарифмов, существует еще графический ме­ тод.

Приведем изложение одного из методов гра­ фического вычисления таблицы логарифмов, который был дан В. М. Брадисом [24].

Составим, например, таблицу десятичных логарифмов всех целых чисел от 1 до 100. Ха­

рактеристики

логарифмов

чисел

1 — 9

равны 0,

а чисел

10 —

99

равны

1.

Итак,

нужно соста­

вить

таблицу

только

для

мантисс.

Таблицу

мантисс

нужно

будет

составить

для

чисел

от 10 до

100,

так

как

числа

2;

3; 4;

5, ...

имеют одинаковые мантиссы

с числами 20; 30;

40;

50,

...

Возьмем

дробные числа

1,0;

1,1;

1,2, ... , 1,9; 10,0, имеющие

те

же

,

мантиссы,

176 что

и целые числа

10;

11;

12,

...

99;

100.

Вычислим для дробных чисел мантиссы, огра- > ничиваясь двумя десятичными знаками. Возьмем следующую первоначальную таблицу:

lg N

0

1

Сделаем три последовательных уплотнения этой таблицы путем введения средних арифме­ тических и средних геометрических.

Первоначальная таблица после первого уплотнения:

N

 

 

 

 

 

3,162

 

10

 

lg

N

 

0

 

 

0,5

 

1

 

 

 

 

 

V 1- ю = 3,162].

 

 

После второго

уплотнения:

 

 

 

 

N

 

 

1

1,778

 

3,162

5,623

 

10

lg N

 

 

0

0,25

 

0,5

0,75

 

1

После третьего уплотнения:

 

 

 

 

N

1

1,334

1,778

2,371

3,162

4,217

5,623

7,499

10

lg N

0

0,125

0,250

0,375

0,500

0,625

0,750

0,875

1,000

Не будем дальше уплотнять таблицу, а найдем логарифмы чисел 11; 12; 13, ... по графику. График построим поданным последней таблицы. На оси абсцисс отложим числа, а на оси орди­

нат—их логарифмы (рис. 11). По данному графику 177

12 Г. К. О с та п о в

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ