книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

нельзя точно вычислить, а поэтому, не продол­ жая действия, принимаем х5 =* 4. Тогда

Итак,

Обратив эту дробь в десятичную, получим

lg 2 = 0,30103.

Изложенный метод можно использовать на за­ нятиях в кружке.

Метод решения неравенств

Этот метод вычисления логарифмов досту­ пен ученикам средней школы и может быть использован на занятиях в математическом круж­ ке, но он является довольно громоздким.

Для того чтобы пользоваться этим методом, необходимо знать формулы сокращенного умно­

жения; lg(a+ ) = lga + \glr, lg (-|-j = lga—lgft;

уметь разлагать числа на простые множители; решать неравенства.

Дадим далее краткое изложение этого ме­ тода.

Рассмотрим основные формулы, при помощи которых вычисляются логарифмы.

С увеличением положительного числа х уве-

( 11), ( 12) к произвольно выбранным группам последовательных чисел, получить с помощью исключения неизвестных неравенство одного из двух следующих типов:

т lg г — п > 0 или р — q lg z > О,

в результате чего будут найдены нижняя и верх­

последовательных чисел не будет обращено внимание на это обстоятельство, то могут по­ лучиться недостаточно тесные границы.

При выборе групп последовательных чисел надо обратить внимание на то, чтобы в этих числах было возможно меньше простых множи­

по крайней мере одно делится на 2 или на 3. Простой множитель 5 в силу равенства

lg 5 = lg 10 — lg 2 = 1 — lg2

под знаком логарифма фигурировать не будет. С помощью только этих элементарных фор­

мул для последовательных чисел, начиная с д: =

=2 и кончая произвольно большим значением х, всегда можно найти два числа, из которых одно меньше lgx (нижняя граница), другое больше lgx (верхняя граница). Разность между этими числами при малом х составляет лишь

При вычислении нижней и верхней границ для логарифмов чисел первой сотни надо основ­ ные формулы применять не прямо к тем прос­ тым числам, логарифмы которых должны быть вычислены, а к квадратам, чтобы получить

лучшие границы.

Рассмотрим вычисление более близких ниж­ них и верхних границ для lg2 .

Формула (10) является достаточной, чтобы при ее помощи получить хорошую нижнюю границу для lg 2, но при условии, что х будет выбран достаточно большим, а именно трех­ значным. При выборе х еще следует обратить внимание на то, чтобы числа х, х — 1, х -f 1 , кроме простых множителей 2 и 3, содержали остальные возможно меньшие множители.

Положив в формуле (10) х последовательно равным 243, 121, 122, 123, 124 и 1024, най­ дем:

—lg 242 + 2 lg 243 — lg 244 > 0,

—lg 120 + 2 lg 121 — lg 122 > 0,

—lg 121 + 2 lg 122 — lg 123 > 0,

—1 g l22 -i- 2 lg 123 — lg 124 > 0,

—lg 123 2 lg 124 — lg 125 > 0,

—lg 1023 + 2 lg 1024 — lg 1025 > 0.

Разлагая на множители и логарифмируя,получаем:

— lg 2 — 2 lg 11 + 10 lg 3 — 2 lg 2 — lg 61 > 0,

—3 lg 2 — lg 3 — lg5 + 4 lg 11 — lg 2 — lg 61 > 0,

—2 lg 11 2 lg 2 -f 2 lg 61 — lg 3 — lg 41 > 0 ,

или

lg 41 — 12 lg 2 + 2 > 0.

Исключая lg 41, получаем

— 2 lg 7 — 51g3 — 23 lg 2 -f 11 > 0 .

Это неравенство соединяем с другим, кото рое получится, если основную формулу (10) применить к .v = 49, т. е. с неравенством

2 lg 49 — lg 48 — lg 50 > 0

или 4 lg 7 — lg 3 — 4lg 2 — 1 — 1 -f lg 2 > 0,

Другое неравенство, связывающее lg 2 и lg 3, найдем, соединяя неравенство

lg 1025 — lg 1024 > 0

с неравенством, которое получаем, применяя основную формулу (10) к х = 81, т. е. с не­ равенством

21g 81 — lg 80 — lg 82 > 0,

или после разложения на множители:

lg 41 — 12 lg 2 -f- 2 > 0

и

— lg 41 -f 8 lg 3 — 4 lg 2 — 1 > 0.

Вычислим для дробных чисел мантиссы, огра- > ничиваясь двумя десятичными знаками. Возьмем следующую первоначальную таблицу:

Сделаем три последовательных уплотнения этой таблицы путем введения средних арифме­ тических и средних геометрических.

Первоначальная таблица после первого уплотнения:

Не будем дальше уплотнять таблицу, а найдем логарифмы чисел 11; 12; 13, ... по графику. График построим поданным последней таблицы. На оси абсцисс отложим числа, а на оси орди­

нат—их логарифмы (рис. 11). По данному графику 177

12 Г. К. О с та п о в