Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Признак трансцендентности Лиувилля яв ляется лишь достаточным условием. Существуют трансцендентные числа, которые не обладают этим признаком. Для исследования их транс цендентности требуются, очевидно, новые ме тоды.

§3. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи анализа

Доказать существование трансцендентных чисел можно методом, при котором из изучения свойств специальных чисел, аналитически опре деленных, выводится, что эти числа не могут удовлетворять никакому алгебраическому урав нению.

Впервые этот метод применил Лиувилль, доказав, что число е иррационально и не мо жет удовлетворять квадратному уравнению с рациональными коэффициентами. Доказательство Лиувилля заключается в следующем.

Допустим, что число е удовлетворяет урав нению

ае2 + be -|- с = 0,

(6)

где а > О, b и с — целые числа. Разделив члены уравнения на е, получим

ае + b + се~1= 0.

Но

68	е-1 _.	• *1
	2!

тогда

(п — 1)!е = (п — 1)! -f- 2-3. . . (п — 1) -f v 3 - 4 . . . ( л - 1 ) + . .. Ч-

I		1_4___ !___ i_ _		_ J ______J	____________ '_____________,						=
1	’	1 n 1 n (n -}- 1) 1 n (n -}- 1) (n -j- 2) ' ' ' '
	= [(n - !)!-{-2-3... ( n - l ) - f . . . +
	1)							I
			n	+ 1	(Л+ l)(n + 2)

	(n— D ie-1=			[(n— 1)! — 2-3 . . . (« — 1) H-
		+ 3 - 4 . . . (n— 1)
	( -	1)" 1 —		1 1	(n -I- 1) (n +				2)
		n
	Обозначим сумму целых					чисел,			заключенных
в первую квадратную скобку,								через		и Q.z, а
выражение во			второй квадратной						скобке		через
/?,	и R2. Тогда
		( " - ' ) ! « = «. + 4 - ,							1
Мы видим, что Я, < 1, a					< 1 +						1)3
		п -j-1	Отсюда		следует,				что при		п >
>		п
	1 /?! < 2.
(6)	Если теперь умножим					обе		части уравнения
	на	(п — 1)! и заменим (п — \)\е							и (п — 1)!е-1
их значениями			из уравнений				(7), то получим
	aRi + (-			+ (aQx +			cQz +		b) —	0 .	(8) 69
		n

Второе слагаемое, заключенное в скобках, будет целым числом, а первое слагаемое пред ставляет дробь, числитель которой при соот ветствующем выборе п есть положительное чис

ло, не равное нулю.	В самом деле, aR1 > О,
а ( — \)ncR2> 0, если	с > 0	и п — четное	или
если с < 0 и п — нечетное.		Таким образом,	чис

литель будет число, отличное от нуля. Если мы

будем п неограниченно увеличивать, то					числи
тель	нашей дроби будет		меньше	2а +	(— 1 )''с
(делаем		это заключение	исходя	из того, что
Ri <	2	и R2 < 1).
Итак,	дробь

aRi + (— 1fcR2

оставаясь отличной от нуля, будет меньше лю бой наперед заданной величины. Отсюда следует, что равенство (8) будет невозможным при п достаточно большом, т. е. сумма целого числа

иправильной дроби не может равняться нулю. Сущность доказательства Лиувилля заклю

чается, таким образом, в следующем: допускаем возможность существования того равенства, не возможность которого мы хотим доказать. Затем выражаем его. каждый иррациональный член через приближенное рациональное значение

(* =	1. 2>• • ■■ п),	(9)
где УИ; — целое число;	— очень малая	дробь.

Умножая обе части равенства (9) на М и заменяя в левой М&1 на + гр мы разбиваем ее на две части, из которых одна будет целым

70 числом, а другая правильной дробью. Таким об-

разом, мы приходим к противоречию: сумма це лого числа, не равного 0, и правильной дроби, не равной 1, не может равняться нулю.

Разложить иррациональное число можно двумя способами, данными Лиувиллем, а имен но:

1) при помощи непрерывной дроби, так как равенство

Рт ___ f; =	^_______
Ят	ЯтЯт + I

можно представить в виде

I- __ Рт _ |_ Ят

Ят 1 Ят

где

2) используя свойства тех рядов, с помощью которых эти числа выражаются.

Этим методом воспользовался Эрмит и до казал трансцендентность числа е. Он пишет о том, что необходимо доказать, что равенство вида

Nen+ Nxen- 1+ Nzen~2+ .. . + Nn = О,

где коэффициенты N, Nu N2.........Nn и n — це лые числа, невозможно.

Но Эрмит ставит более общую задачу, а

именно: доказать, что равенство
N + jVxea + N,eb + . .. + Nneh = 0,	(10)

где ЫфО и коэффициенты N, Nx NZt. .., Nn— целые числа, а показатели а, Ь, . .., h — раз личные целые числа, не равные 0, ведет к про тиворечию.

Для того

чтобы

доказать

это

положение,

еа, еь, ... ,

eh Эрмит выражает

так:

ра _

М“+

рЬ_

мь+ гь

’

' ’ •’

е —

> е

(Л -

Мн + ч

Затем, умножая равенство (10)

на М и за

меняя Меа, Меь, . . ., Мен соответственно через

м а ч- га, Мь+

гь, ...,

Mh-!- 3Л,

помощью ме

тода Лиувилля он доказывает, что при соот

ветствующем

выборе М левая

часть не

может

стать

равной

нулю.

стано

Таким образом, основной трудностью

вится

вопрос

нахождении

числа М и соот

ветствующих

чисел

Ма,

Мь, . . .,

и г0,

гь, .. ., гй. Эрмит

выражает

эти числа

при по

мощи определенных интегралов.

интегралов и

Исходя

из этих определенных

применяя тот же

метод,

которым

пользовался

Эрмит, немецкий математик

Линдеман

(1852 —

1939)

в 1882

г. решил задачу о

квадратуре

круга, которую не удавалось разрешить никому

в течение тысячелетий, т. е. он дал строгое до

казательство трансцендентности числа тг.

Этот результат Линдеман

получил,

доказав

теорему: если а есть корень

какого-нибудь не

приводимого алгебраического уравнения

с целы

ми действительными или комплексными коэффи

циентами, то е* не может

быть рациональным

числом.

Эйлера етЛ=

— 1,

т. е.

равно

По формуле

рациональному

числу, а потому ти трансцендент-

но, и так как

i — алгебраическое

число,

то -

72 трансцендентно.

Отсюда

следует,

что

нельзя

построить квадрат равной площади с кругом при помощи циркуля и линейки и даже больше — при помощи произвольно вычерченных алгебраи ческих кривых и поверхностей.


В 1885 г. немецкий математик						Вейерштрасс
(1815— 1897)			дал новое,	более простое			доказа
тельство		трансцендентности			числа	it.	Замечая,
что е~‘ = — 1			и вообще	ех	может	быть равно
минус единице лишь при значениях,						кратных ти,
Вейерштрасс доказывает				трансцендентность я с
помощью		следующего		предложения:			величина
ех + 1	имеет,		если х есть алгебраическое число,
всегда	отличное от нуля			значение.

Отметим, что Линдеман высказывает еще одно более общее предложение, которое заклю


чается в следующем:					выражение
		А0е7° -- Ахе Л-. . .						Апе*
не может		равняться			нулю,		если		коэффициенты
А,,	Ах, ..., Ап— целые числа,							отличные от ну
ля,	а показатели а0,				ох, ...> ап— алгебраические
и различные числа. Подробного									доказательства
этого положения ученый не приводит. Кроме
того, он не доказывает, что коэффициент с0
после приведения				остается не равным 0.
	Доказательство этой теоремы дает Вейершт
расс. Эта теорема включает как частный случай
трансцендентность				чисел		е	и т,		одновременно.
Интересным является частный								случай этой тео
ремы, который был указан							Линдеманом,			когда
п =	2, Л = — 1,		г х = 0,			а0 = а,			Ах = Л.	Тогда
получим,		что	равенство			е* =		Л невозможно,
если a f		0, Л — алгебраические						числа.
	Таким образом,				мы приходим				к обобщению
рассмотренной			раньше			теоремы			Ламберта, а 73

именно: показательная функция е* равна всегда трансцендентному числу, когда а есть алгеб раическое число, отличное от нуля; натуральный


логарифм		алгебраического числа А, не			равного
единице,		есть	всегда трансцендентное число.
что	В самом деле,			допустим обратное, а именно,
	\пА = а,		где	а — алгебраическое	число.
Найдем А = еа или				—Ае° = 0, т. е. мы прихо
дим к частному случаю теоремы Линдемана.
ная	Из первой теоремы следует, что показатель
	кривая у = ех не содержит ни одной алгеб

раической точки, кроме точки х — 0, у — 1. Эти теоремы показывают связь, которая существует между операцией логарифмирования и учением о трансцендентных числах.

Кроме того, Вейерштрасс заметил, что из общей теоремы Линдемана следует трансцен дентность sin я, если а — алгебраическое число.

Мы видим, что доказательства Эрмита и Линдемана были изложены Вейерштрассом в несколько упрощенном, более доступном виде. Кроме того, работы Эрмита и Линдемана были обработаны русским математиком А. А. Марко вым (1856—1922) [8].

В 1893 г. немецкий математик Гильберт (1862—1943) опубликовал небольшую работу, содержащую новое доказательство теорем Эрми та и Линдемана. Доказательства Гильберта и Эрмита совпадают. Упрощение, которого достиг

Гильберт,		заключается	в удачном выборе мно
жителя М, а именно:
М =	1	zp \|(2 — 1) (2	— 2 ) . . . (z — n)\P+le~zdz,

74 Р:

где р — некоторое простое число, удовлетворяю щее определенным условиям, ап — степень пред полагаемого уравнения.

Затем Гильберт рационально разбивает члены на целую и дробную части. Его рассуждения по своей простоте превосходят прежние иссле дования.

В доказательство Гильберта внес упрощения немецкий математик Гурвиц (1859— 1919), заме тивший что интегралы у Гильберта играют фор

мальную роль,				а	потому от них можно						изба
виться.		В сущности				Гурвиц пользуется форму
лой конечных приращений Лагранжа.
	Приведем доказательство							трансцендентности
числа		е,	принадлежащее					Гурвицу		[9,	стр.
424—427].
	С помощью формулы						л:

		e'F (0) =			F (х)		6		(x) dx,		(11)

где / (х') — произвольная целая									функция		какой-
нибудь		степени		v;
F(x) = f (х) + Г (х) + /" (х) Jr . . . +										/м (х), (12)
легко доказать				невозможность					равенства
		с0 - г схе -]- с2е2 -f . . . -\|- спеп =								0,	(13)
где	п — какое угодно целое							положительное чис
ло,	а	с„,	сх, съ . ..,			сп— произвольные					целые
числа,		причем с„			можно,		очевидно,			считать не
равным нулю.				в формуле			(11) вместо х				после
	Подставляя
довательно числа 0, 1, 2, ... ,									п, умножая		полу
чаемые при этом					равенства			соответственно на
с0,	сх,	. . .,	сп и складывая их,						получаем

			к-п
(с0 + eye -- с,е2+ . .. -f спеп) ■F (0) = 2				ckF {Щ+
	k - n	k	fe-o
	k - n	k
	-)■ 2	ceJ e~xf ^	dx~
Допустив	* = 1	0	равенства		(13),
Допустив	существование		равенства		(13),
найдем
k=n		k= n	k
0 =	^ c kF (k) +		e~Xf w	dx-	(14)
fc= 0		ft=l	6

Это равенство должно иметь место, какова бы ни была целая функция f(x), и мы увидим, что можно так выбрать функцию f(x), что невоз можность равенства (14) сделается очевидной. Тогда будет доказана и невозможность равенст ва (13), потому что (14) есть необходимое следствие (13).

Положим

/ (*) =	), хр~1(х— 1)' (.v-2у . .. (.х—п у , (15)
где р — простое		число,		сколь	угодно	большое.
Покажем,	что при р >			п и р >	\| с01первый член
в равенстве (14),		т.	е.
		k-=tl
		2	^	(*).
		k =0
есть целое число, не				равное	нулю,	а второй
член
	k-	П	k
	\	ckekJ e~xf (х) dx
	к= 1		0

76 при достаточно большом р будет как угодно

мал [io абсолютной величине.

Тогда

невозмож

ность равенства (14) станет очевидной.

предста

Заметим, что функцию f (х)

можно

вить в виде многочлена, расположенного по

возрастающим

степеням х,

или

виде много

члена, расположенного по возрастающим степе

ням (х — /г), где k — любое

из чисел

п.

Первое

разложение будет

/(.V) = (~

i j j

И л-р- '

+ Вхп-\

Схр11 -1- .. .),

(16)

второе

(17)

причем все коэффициенты А, В, С,

В*,

Ск,

как видно из выражения (15), есть целые числа.

Важно

заметить,

что

А не

делится

на

р,

если р — простое

число

и больше

п. В

самом

деле, А =

- (п\)р, как показывает формула

(15),

а число А не может

делиться

на

р,

если

р ■—

простое и больше п.

и (17) ясно, что

Из разложений (16)

/ (0) = /'(0) =

. . . =

/<р- 2>(0) =

р -'>

(0) =

А,

fiP)(0) = Bp,

/<Р!1>(0) =

С р ( р +

1),

...,

f{k) = r (£) =

. . . =

(*) =

/<р> (k) = Вкр,

/<р : !) (k) =

Скр{р-г 1),

а отсюда, принимая во внимание (12), выводим,

что

F (0) -

A f Вр +

Ср (р

1) + .

есть целое число, не делящееся на р, а

F(k) = BkP 4- С*р (р +

1) +

----

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб14Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб11Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб47Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб11Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf