Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Отсюда легко установить правила действий над степенями с рациональными показателями. Если /у и г., — рациональные числа, то:

1) аг>■аг'-’ = аг'+г*\ 2) ао : аг2 = аг'~гк

3) {аг*У‘ г- a'v'X

натуральные числа.	Тогда
т р	п --- п —		nq		----	nq ---
—	п --- п —		nq		----	nq ---
of*. -аГя- — а п a q =	\| ат*\|	ар =		\	amt/ •	\| а/,п =
="$гатч-аРп= Пу а"гч+пр=а			nq	= а п		ч -^аг^ г-.
Аналогично	т		р
	т		р
ar' :ar*= а п			:a q	=
	mq—np				т
= (/' amqnp = а		пЧ =		а п		q = аг'~ ''г

Наконец

тр

= у'атР= ап<1= аГ^г-.

Если хоть одно из чисел гх и г2 отрица тельное, то пользуемся определением

Рассмотрим свойства степени с рациональным 98 показателем:

1) если		а	и	b — числа			положительные,
а п — число		натуральное,				то	J_		_L	если
							а п > Ьп ,
	j_	±						_i_	j_
а > b\ а п — b п ,				если	а = Ь\ а п <				6 л ,	если
а < 6,	что	доказывается				возведением				обеих
частей неравенства в степень п\
2) если х >			1,	то
	.v,	x h		А		x k				(6)
образуют монотонно убывающую последова
тельность, а		если		0 <	х <	1, то последователь
ность (6) будет				возрастающей				и	при	х = 1
все ее члены		равны 1,			а при х =- 0 равны нулю.
Докажем первое положение. Умножим обе
части	неравенства			.v >	1	на	х"	и,	возведя их
в степень		1		получим

					j
				х п > хп+1.
Второе положение доказывается аналогично;
3)	если а > 1 и т — рациональное число, то
а)	ат > 1		при т > 0;
б)	ат== 1 при т = 0;
в)	ат <С 1 при т <					0.
Докажем			первое положение. Допустим т =
— -у-,		где	р	и	q — целые			числа,		_р_
										ат — a q ,
аР >	1, потому что а >						1. Итак,		р_
									а 4 > 1.
Если		0 <	а <		1,	то	ат <	1	при	условии
m >	0; ат =		1,	если		т	= 0,	а	если	/я < 0, то
ат >	1;			1,	то	большему показателю сте99
4)	если а >

пени соответствует					большее		значение' степени,
а	если 0 <	а <		1,	то	большему			показателю
соответствует меньшее значение степени.
	В самом	деле,			пусть р		и	q — два		любых;
рациональных			числа,			причем		р < q.		Тогда;
CjQ					Р положительно, так как, по>
—-	= ач~р. Но а —
ар		I		I	-
предположению,				p < q .		Поэтому,			если	а > 1 „
то	и aq~p >	1,	откуда			следует,			что	aq> а’’.
Наоборот, если				а < 1,		то	и	ач~р < 1,		откуда!
aq < ар. При а =				1	ат =	1.

Степень с иррациональным показателем

Определим выражение аа для тех случаев, когда а — иррациональное, положительное или отрицательное число. Но прежде чем перейти к определению выражения а", необходимо до казать теорему

lirn аа — 1.

а - » О

Положим, что а > 1. Допустим, что а стре-

мится к нулю, принимая значения — , где п —

целое положительное число, бесконечно воз растающее. По формуле суммы членов геоме трической прогрессии находим

2_ п—1 _ .

1 + а " + а " + . . . + а п — —

И - 1

Так как каждое из слагаемых левой части этого 100 равенства, за исключением первого, есть число,

большее единицы,				то вся		левая		часть больше п,
а поэтому
				а —			> п.
				"1			> п.
Это неравенство			дает
		I	_i_				а -	1
		\а п —			1	<	а -	1
		\а п —			1	<	п
							п
Но	начиная			с некоторого п,					становится
и продолжает быть менее любого данного поло
жительного числа				£. Следовательно,
				1
Это	неравенство				показывает, что число 1
есть предел,		к которому					стремится		переменное
		j_
выражение		а п	при		неограниченном					возра
стании п.				а	приближается				к	нулю,
Допустим, что				а	приближается				к	нулю,
принимая любые			положительные рациональные
значения. Назовем буквою п наибольшее целое
число,	заключенное в						Это число будет не
ограниченно		возрастать					при	неограниченном
убывании а.
Принимая во внимание, что										поду
чим неравенства
			1	<	а* < а п ,
показывающие, что 0 < а” — 1 < а п — 1 .										101

Но	I —	1	г по доказанному				сейчас при
	\| a n — 1 \| <
достаточно большом				п.	Следовательно, \аа—
— 1 \| < s, т. е. Пт а* = 1.
Положим		а->0		что		а < 1.	Пусть а =
		теперь,
=	где b >	1.	Тогда
а’ =		П т (а'1)		=	__ 1__
	Ь*	«—о			lim(Ь*)
					а -о	что а
Предположим,			наконец,				стремится

кнулю, принимая отрицательные значения.

Пусть а =	— Й, где	,й стремится		к нулю, при
нимая положительные значения. Получаем
П т (а“) = П т (а~-) = Пт ( - 4 - ) = -г- = 1.
а —>0	? -> 0	,S 0 '	'	1

Определим выражение а*. Возьмем произ вольное действительное число а > 1. Поставим перед собой следующий вопрос: что надо под разумевать подвыражением а’, где а — положи тельное иррациональное число?

Пусть последовательность

		^2» •	• • у	• •	•
имеет предел о, т. е.			a — lima,., где			ак— ра-
циональное число.				/г - > с о
циональное число.					которому стре
Под	а* понимают предел, к				которому стре
мится	переменное		положительное			выраже
ние aa’’ при		возрастании к.
		а? —	lim a 1*.
			k—»сю
Если	а <	1, то а — -j-,		где	b > 1.	Следо-
102

вательно, определим степень а*		при	помощи
выражения а? — —	Если а = 1,	то	всегда
ь	если будем иметь		степень
Iя = 1. Наконец,
с отрицательным	иррациональным показате
лем — а, то эту степень определим		при помощи

равенства

Перед нами стоит задача показать, что lim cfk существует. Из определения иррацио

нального числа как бесконечной непериоди ческой десятичной дроби следует, что это число а == а0, aLa., . . . есть предел последова тельности десятичных дробей

а„; ап, ар, а0, а ^ , а0, а^м^, . ..

которые мы обозначим соответственно так:

Аналогично можно построить последова тельность:

«о “I- Е а0, Qi -[- 1; ао, a^a2 ~г Е ■• • >

которая также имеет пределом а.

Члены этой последовательности обозначим через

а.о, а,, 0.2,

Докажем, что

Прежде всего заметим, что

ЮЗ

Так как aft< a 0+ 1, то и a I*< a°«+1. Зна-

		1
чит, аак— a k < aa»+1 (a10*— l). Но				при доста-
точно большом k	ft		£
точно большом k	a 10 — 1		< а.о1,4 ,	а поэтому
О < а°к— сГ* < s.	Следовательно,			lim (aa* —
				k-> хэ
— a 0*) = 0.
Теперь нужно показать, что				существует
хотя бы lim a k. Заметим,			что при любых k		и I
к-*-со
а"» < а4 , так как	o.k<	a,.
Прежде всего,	если	представить		числа	а “*

и в виде десятичных дробей, то можно утверждать, что при достаточно большом k первые т десятичных знаков у этих чисел соот ветственно равны, как и целые части. В самом

деле, при заданном г <

при достаточно

большом k а к < а к < j^ -, что и доказывает

высказанное утверждение. Следует заметить, что при всяком k > k это свойство будет иметь место. Далее, так как

а “* -<

1 < а*к,

то отсюда следует, что

— a*k < a “ft — а к <

104 а это говорит о том, что первые т десятичных

знаков чисел а к и a k+l соответственно равны,

как и целые части. То же относится и к любому

числу aai, где I > k, так как а к < а*1< а к. Таким образом, общие десятичные знаки

чисел а к и а к при увеличении k сохраняются. Напишем число, образованное первыми об

щими цифрами чисел а’° и а*0,

и а \

и и т. д. Получим бесконечную десятич ную дробь, равную некоторому рациональному или иррациональному числу А.

Пусть s < Очевидно, при достаточно

большом k

\ а к— А I <

так как числа а к и А имеют при достаточно большом k первые т десятичных знаков общих, как и целые части. А это значит, что

	lima** =		А.
	к-+оо
Отсюда следует, что Пт а к существует и также
равен	к - ос
равен	А.
Легко видеть, что если 3/; есть любая по
следовательность рациональных чисел, имеющая
пределом а, то Пт а'1* =		А.	Это следует	из
того,	к оо	большом k
того,	что при достаточно	большом k
-< а*,	а поэтому
аа<; а?к < а к и ар <			а к < а к— а"*.	105

Значит,		lim	(а3* — а к) = 0,	и	так	как
		к -+со
lim a k =	А,	то Нш а3* = А.
fz —> со		fc —*■со
Итак,	lima”*		существует	или,	что	одно

к- » со

ито же, существует lim a k.

“а-**

Займемся сейчас обобщением тех положе ний, которые были доказаны для рациональ ных показателей на иррациональные показатели.

Если в выражении а* показатель а стре мится к нулю, принимая действительные зна чения, то само выражение стремится к единице.

Предположим, что показатель а есть число

положительное, и обозначим

> п, откуда

1 > т , л < — . Очевидно, что

la*— 11< Iа п— 1

Но при неограниченном убывании а число п неограниченно возрастает. Следовательно,

а п — 1

поэтому
		\|а» — 1\| < з ,
что и требовалось доказать.
Если	показатель		a — число		отрицательное,
то, положив a =		— р,	найдем
	lim a* =	lim-4r —-----7-^r- = 1.
106	a-»o	u o f l 1		lim0(a	)

Если последовательность

Х\, х2, . . .

действительных	чисел стремится к пределу а,
то последовательность
	ах\ ах\ . . .
стремится к пределу а*, какие бы		ни были
рациональные	или иррациональные	значения

хъ х2, . . . и а.

Предел а может быть числом рациональным и иррациональным. Ограничимся случаем, когда

а. >	0. Обозначим в случае	иррационального
а через а,, и ak приближения		с точностью
В	случае а рационального	положим ak =

1, 1

-а - — , а* = а + х .

Члены последовательности

* 2 .

при достаточно большом k удовлетворяют нера венствам

Ч < xk < «*•

Отсюда получим при а > 1

a k < аЧ < а к.

Значит,

0 < axk — а к < а°к— а к

lim {а к— a k) = 0. k~*oo

Но Нш a k = А, а поэтому k -ОО

Нш а* — lima** =	А.
k-* УО	107

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
20.10.20238.34 Mб31Основы теории и конструкции контрольно-проверочной аппаратуры авиационных управляемых ракет учебник..pdf
#
22.10.202312.76 Mб14Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб14Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб4Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб51Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб14Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб5Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб9Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf