книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

в одной и той же строке находятся логарифмы синусов дополнительных до 90° углов. В столбце с подзаголовком «разности» даны разности этих логарифмов, которые и являются логарифмами тангенсов соответственных углов. Логарифм полного синуса принят равным нулю. Логарифмы прочих синусов являются положительными чис­ лами, растущими с уменьшением угла.

Большой интерес представляет второе сочи­ нение Непера «Устройство», где выводятся основные свойства логарифмов и дается подроб­ ное описание способа, при помощи которого были вычислены логарифмы. В приложении к нему указывается новая система логарифмов, более удобная и в сущности совпадающая с десятич­ ной. Кроме того, в этом сочинении даны впер­ вые так называемые аналогии Непера.

Об определении логарифма у Непера

В первой главе сочинения Непера «Описа­ ние» даны определения. Эти определения сле­ дующие [2, стр. 336—337]:

« О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.

О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что линия со­ кращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает от­ резки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они от­ секаются.

О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что количества иррациональные или невыразимые числом опре21

ках Т и Р одинакова. Пусть движение точки по второй прямой будет равномерное, по первой же прямой точка движется пропорционально-за­ медленно так, что, когда она приходит в поло­ жение М, скорость ее пропорциональна непройденному расстоянию MR.

Рис. 1

Если первая точка проходит расстояние ТМ за то время, за которое вторая проходит рас­ стояние PN, то это последнее расстояние Непер называет логарифмом MR.

Предположим, что начальная скорость точки v ~ T R (коэффициент пропорциональности равен единице) очень большая. Тогда в течение про­

будет проходить расстояние, равное у-— = 1.

Точка, двигающаяся по первой прямой с на­ чальной скоростью v, пройдет в конце первого промежутка расстояние, очень близкое к единице, и придет в положение М со скоростью MR =

В течение второго промежутка, тоже рав-

Н°Г° —, скорость точки, движущейся по первой

прямой, будет приблизительно равна v — 1, прой23

Аналогично предыдущему найдем, что рас­ стояние точки от R в конце третьего проме-

/1 ®

Выпишем расстояния точки, движущейся по первой прямой от R , и расстояния точки, движу­ щейся по второй прямой от Р, в конце каждого промежутка времени. Получим две последова­ тельности:

геометрическую прогрессию, а последователь­ ность (2) — арифметическую. Члены последова­ тельности (2), по Неперу, являются логарифмами соответствующих членов последовательности (1).

Как видим, здесь открытие Непера сопри­ касается с идеями Архимеда, Штифеля и др. Но у Непера есть и новое, а именно функцио­ нальная зависимость величин, распространенная на непрерывно изменяющиеся значения аргу­ мента. Число v Непер взял равным 107. Нуль у него — логарифм числа v, отрезок линии TR — синус 90° (радиус) п равен 107. Таким образом,

24 по принятой системе логарифм полного синуса

равнялся нулю и этим самым упрощались лога­ рифмические вычисления, так как в тригоно­ метрии приходилось очень часто умножать и делить на полный синус (в современных логариф­ мах нуль есть логарифм единицы). Непер вы­ числял логарифмы синусов, а не логарифмы последовательных чисел.

Если первая точка до момента прохождения через Т занимает положение М ', то длина RM' будет больше полного синуса, а вторая точка будет находиться в АТ. В этом случае Непер принимал за логарифм RM' отрицательное число, абсолютная величина которого определяется дли­ ной отрезка PN'.

Из сказанного видно, что логарифмы Непера отличаются от натуральных логарифмов, где за основание берется число е = 2,7182..., хотя в некоторых руководствах по алгебре и анализу часто утверждается, что натуральные логарифмы были изобретены Непером. В строгом понимании слова об основании неперовых логарифмов гово­ рить нельзя, так как логарифм единицы не есть нуль, но если, однако, мы разделим каждый член геометрической и арифметической прогрес­

Единица будет логарифмом числа (1 — ~ j ,

которое близко к

Сам Непер указывал, что у него существует 25

некоторый произвол в выборе логарифмической системы.

Следует отметить, что первые таблицы натуральных логарифмов дал английский математик Спейдель в сочинении «Новые логарифмы» (1619).

Наиболее усовершенствованная система натуральных логарифмов принадлежит голландцу Вольфраму. Таблицы Вольфрама были изданы в 1778 г. Самая полная и обшир­ ная таблица натуральных логарифмов напечатана в энци­ клопедии Риса в 1819 г., в Вене в 1850 г. опубликована таблица Дазе.

Заметим, что в переводе на современный математический язык движение двух точек можно облечь в форму наглядной дифференциальной зависимости между двумя переменными величи­ нами: числом и его логарифмом.

Обозначим число через х, логарифм его че­ рез у, постоянную скорость точки, двигающейся по второй прямой, через v. Тогда можем на­ писать

Определим постоянные а и с. При х-— 107 —

Как видим, в определении логарифма у Не­ пера уже содержится идея дифференциального уравнения, однако она получила широкое при­ менение только в современном математическом анализе.

Основные свойства логарифмов и неравенство для разности логарифмов двух чисел у Непера

Непер формулирует следующее важнейшее свойство логарифмов: логарифмы пропорциональ­

— LC — LD.

Доказательство этого свойства Непер дает примерно так. Он берет пропорционально-замед­ ленное движение точки по прямой, а затем вы­ бирает четыре положения точки, например А, В, С, D. Далее он рассматривает отрезки АВ и CD и устанавливает, что точка проходит их в рав­ ные промежутки времени. Это положение он доказывает, вставляя между А, В, С, D проме­ жуточные точки, и составляет производные про-

порции, а затем устанавливает границы времени, необходимого для прохождения каждого отрезка, и границы времени, нужного для прохождения отрезков АВ и CD. Из отношения значений этих времен видно, что число отрезков стремится к бесконечности. В результате получается, что от­ ношение времени, необходимого для прохожде­ ния отрезков АВ и CD, равно 1, т. е. отрезки АВ и CD проходятся точкой в равное время, а время пропорционально разностям логарифмов чисел.

Итак, если даны четыре числа А, В, С, D, составляющих пропорцию А: В = С : D, то LA •—

— LB = LC — LD.

Рассмотренное свойство логарифмов можно обобщить на ряд чисел. Из этого свойства вы­ водятся правила логарифмирования. Например, правило логарифмирования произведения С = АВ.

С в

Записываем пропорцию -j- = — . Из нее полу­

чаем

LC — LA = LB — L 1,

откуда

LAB = LA -f LB — LI.

Как видим, правило логарифмирования у Непера сложнее, чем в остальных системах, так как логарифм единицы не равен нулю.

Далее, для того чтобы перейти к вычислению таблицы логарифмов, Непер дает следующее не­ равенство для разности логарифмов двух чисел:

Приведем вывод этого неравенства (по Неперу).

28 Возьмем две прямые. Отрезок АВ = г = 107.