книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

Глава I

История логарифмов и показательной функции

Историческое значение § 1. введения логарифмов

Логарифмы были введены в начале 17 в. одновременно двумя математиками — Непером и Бюрги. Открытие логарифмов обусловлива­ лось требованиями эпохи. Это было время ве­ ликих географических открытий, освоения новых земель с целью использования их природных богатств. Быстро развивалась астрономия, ма­ тематические дисциплины. Еще в 15 в. немец­ кий математик Региомонтан составил таблицу

чин с 10 знаками через каждые 10". Во многих случаях пользование такими таблицами стано­ вилось трудным, а то и практически невозмож­ ным, так как приходилось производить боль­ шое количество действий с многозначными чи­

называемый простаферетический метод. При по­ мощи этого метода умножение, которое погло­ щало много времени, было заменено сложением или вычитанием. Однако этот метод был сло­ жен, а развивающаяся астрономия требовала новых, более эффективных средств, которые дали бы возможность оперировать с большими числами.

Таким образом, техника вычисления отставала от требований астрономии и других наук. Вве­ дение логарифмов снимало это противоречие: операции высшей ступени (умножение и деле­ ние) удалось свести к операциям низшей сту­ пени (сложению и вычитанию). Логарифмы да­ вали возможность за несколько часов выполнить работу, на которую раньше требовались целые месяцы.

Впервые логарифмами, удлиняющими, по выражению Лапласа, жизнь астрономов, во­ спользовался немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571 — 1630) при составлении астрономических таблиц.

введены логарифмы, десятичные дроби, хотя н были известны, но не вошли во всеобщее упот­ ребление. Тогда не существовало понятия о три­ гонометрических функциях, а рассматривались лишь тригонометрические линии в круге, где радиус выражался высокой степенью десяти (великий математик Эйлер первый ввел вместо тригонометрической линии ее отношение к ра­ диусу).

Не было в то время и понятия о степени, а тем более о показателе степени. Таким обра­ зом, не могло быть речи об основании лога­ рифмов. Тем не менее логарифмы были открыты и вычислены.

Трудно сейчас представить, как без помощи логарифмов можно производить колоссальные вычисления, с которыми приходится иметь дело в астрономии и других науках.

Для вычислительной практики значение ло­ гарифмов столь велико, что их открытие можно поставить рядом с изобретением десятичной системы нумерации.

С теоретической точки зрения введение по­ нятия логарифма как новой функциональной связи между переменными имело исключительно большое значение для развития анализа беско­ нечно малых.

В дальнейшем изложении мы рассмотрим несколько подробнее технику вычислений до введения логарифмов, а также зарождение пер­ вых идей о логарифмах, после чего перейдем непосредственно к самой истории логарифмов.

§ 2. Техника вычислений до введения логарифмов

До введения логарифмов при тригонометри­ ческих вычислениях старались избегать действия умножения и заменяли его сложением или вы­ читанием.

Еще в средние века были известны следую­ щие формулы:

sin а • sin р = -i- [cos (а — [3) — cos (а + Р)],

cos а• cos р = -i- [cos (а ■— (3) -f cos (а + f3)].

Применялись эти формулы при вычислениях. Способ, основанный на этих формулах, получил название простаферетического метода.

Как видим, основой простаферетического метода является сведение умножения к сложе­

нейшем этот метод получил более широкое при­ менение. Так, в тригонометрической работе Ти­

§ 3. Первые идеи о логарифмах

Идея логарифма возникла в связи с возве­ дением одного и того же числа в последова­ тельные целые степени. При этом получаются две прогрессии: арифметическая и геометри­ ческая. У египтян мы находим возвышение в степень числа 2.. Способ умножения у них со­ стоял в удвоении. Например, чтобы умножить а на 235, они проделывали следующее:

Искомое произведение равно

а + 2а + 8а + 32а + 64а + 128а = 235а.

хотя и в грубой форме, возникла из сопостав­ ления членов геометрической прогрессии с чле­ нами арифметической прогрессии. Такое сопо­ ставление ясно выражено у Архимеда в сочинении «Псаммит» [1, стр. 9]: «Если будет ряд непре­ рывно пропорциональных чисел, начиная с еди­ ницы, и если два члена этого ряда перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы. Он уже будет удален от единицы одним членом меньше в сравнении с тем, насколько удалены от нее оба множителя». Объяснить это можно так: если с геометрической прогрессией 1 ,а ,а -, . . . сопо­ ставить арифметическую прогрессию 1, 2, 3, . . . , то произведение двух членов первой ат и ап будет членом той же прогрессии; порядковый номер члена прогрессии равен сумме порядковых номе­ ров множителей без единицы.

Идея Архимеда встречается почти во всех зна­ чительных сочинениях по математике 1516 вв. Так, французский математик Н. Шюке в трактате «Наука о числе» (1484) дает одно из основных правил логарифмического исчисления. Он берет последовательность степеней числа 2 с их показа­ телями и указывает, что произведение двух чисел первой последовательности выражается числом этой же последовательности, соответст­ вующим сумме показателей перемножаемых чи­ сел. Шюке сопоставляет прогрессии:

0, 1, 2, 3, . . . ,

1, 2, 4, 8, . . .

Здесь арифметическая прогрессия в отличие от 15

архимедовой начинается с 0, а геометрическая прогрессия имеет равные между собой второй член и знаменатель прогрессии, т. е. это про­ грессия вида

1, а, а2, . . . , ап, . ..

Арифметическую и геометрическую прогрес­ сии до 16 в. неограниченно продолжали, и при­ том без изменения разности и знаменателя про­ грессии, только в одну сторону — вправо от начала. Идея продолжения прогрессии влево от начала, первое указание на подобную возмож­ ность внутри прогрессии, т. е. между каждыми двумя рядом стоящими членами (хотя уже и при изменении соответствующей разности и знамена­ теля прогрессии), принадлежат немецкому мате­ матику Штифелю (1486— 1567). В своем сочи­ нении «Всеобщая арифметика» он сопоставляет последовательности:

. . . . - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, . . .

и

и называет числа первой последовательности показателями.

Как видим, первая последовательность яв­ ляется арифметической прогрессией, а вторая — геометрической. При помощи этих двух последо­ вательностей можно умножение, деление, воз­ вышение в степень и извлечение корня из чисел второй последовательности заменить низшими действиями сложения, вычитания, умножения

16 и деления над соответствующими числами первой