книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

ствительного показателя (а этим самым дока­ зательство существования логарифма) для уча­ щихся средней школы дать невозможно. Теоретическое обоснование того, что каждое

о пределе), то нельзя доказать существование действительного решения х уравнения

Следует отметить, что большинство уча­ щихся при поступлении в вуз, решая примеры на преобразование дробей степени с отрицатель­ ными показателями заменяют дробями, а с дроб­ ными— радикалами. При этом теряется смысл введения обобщения понятия о показателе сте­ пени. Для того чтобы у учащихся не было пробела в этой области, учителю необходимо давать примеры на такого рода преобразования.

Приведем несколько примеров. Пример 1. Упростить выражение

Р е ш е н и е .

190

чениях кратко, недостаточно аргументированно, а между тем первые два ограничения могут быть полностью объяснены.

дроби, у которой знаменатель будет четное

а мнимое значение функции в элементарной алгебре не рассматривается.

Учитывая при рассмотрении показательной функции два первых ограничения, но не при­ нимая во внимание третьего, мы можем полу­ чить для функции ряд отрицательных значений. Эти значения не составят одной непрерывной кривой, так как из бесчисленного числа функ­ ций они принадлежат к совершенно разным.

Рассмотрим, например, функцию у — 2х. Для этой функции построим график (рис. 12).

Таким образом, график функции у — 2х будет иметь, кроме точек, лежащих выше оси Ох, еще точки, расположенные вниз от оси Ох и не принадлежащие одной непрерывной кривой.

Необходимость последнего ограничения учитель должен себе ясно представлять.

Учащиеся должны хорошо изучить следую­ щие свойства показательной функции: свойство 193

13 Г. К. Остапов

не имеют точек с отрицательной ординатой, и либо при л', стремящемся к -f- со, либо при л% стремящемся к — оо, кривые безгранично при­ ближаются к оси Ох. Здесь же будет вполне целе­ сообразно сделать сопоставление кривых, которые симметричны друг другу относительно оси Оу:

(у = 2- и у = (~ ) Х= 2-*) .

Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению учения о логарифме, отметим те недостатки, которые характерны для всего про­ цесса изучения логарифмов в школе.

Так, учащиеся неясно представляют себе зависимость между числом и его логарифмом, не знают теории десятичных логарифмов. Пра­ вила пользования таблицами логарифмов они

К примеру, учащиеся не могут объяснить, почему мантисса обладает известными свой­ ствами, почему для определения характеристики мы берем то, а не другое число единиц, зачем необходимо разделение числового выражения десятичного логарифма на две самостоятельные части и т. д. Кроме того, ученики не умеют правильно произвести логарифмирование слож­ ного выражения, в частности, если в него входят суммы, не умеют потенцировать.

Причина недостаточного знания учащимися логарифмов заключается в том, что средняя

это совершенно неверно. В самом деле, логарифм 195

13*

имеет большое практическое и теоретическое значение (как функция). Так, показательная и логарифмическая функции широко приме­ няются в естествознании и технике, где многие явления и процессы совершаются по законам, которые математически выражаются показатель­ ной и логарифмической функциями. Кроме того, все преподавание алгебры строится на основе функциональной зависимости величин. Так, уча­ щиеся сначала знакомятся с линейной и квад­ ратной алгебраической функциями, а затем с по­ казательной и логарифмической.

Учение о логарифмах можно разбить на три следующие части:

1)определение логарифма и изучение его основных свойств;

2)вывод правил логарифмирования и усвое­ ние операций логарифмирования и потенциро­ вания;

3)рассмотрение свойств десятичных лога­ рифмов, приобретение умения и навыков в поль­ зовании таблицами логарифмов.

Мы остановимся главным образом на вопро­ сах, которые связаны с теорией логарифмов.

Начнем с п е р в о й части . Изложение уче­ ния о логарифмах в школе хорошо было бы начать с рассмотрения таблицы Штифеля:

..., — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3,...

что соответствовало бы истории возникновения 196 и способствовало быстрому пониманию учащи-

мися значения логарифмов. Следует обратить внимание учащихся на то, что умножение, деле­ ние, возведение в степень и извлечение корня для двух любых чисел, которые входят в таб­ лицу, можно заменить соответственно сложе­ нием, вычитанием, умножением и делением показателей.

Таким образом, после изучения таблицы Штифеля у учащихся сложится ясное представ­ ление об основной идее логарифмических вычис­ лений (сведение действий высшей ступени к дей­ ствиям низшей ступени).

При выполнении упражнений на вычисления с помощью таблицы Штифеля следует обратить внимание учащихся на то, что проводить вы­ числения можно только с числами, которые входят в эту таблицу, хотя данную таблицу можно расширить путем вставки средних геомет­ рических и средних арифметических. Для того чтобы таблица охватывала все числа, необхо­ димо всякое число рассматривать как степень с одним и тем же основанием (существование действительного решения уравнения ах — Ь).

При изучении таблицы дается обычное опре­ деление логарифма, а именно: логарифмом дан­ ного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.

гие из них не понимают тождества, вытекаю­ щего из определения логарифма:

alog«w = N.

14 Г. К. Остапов