Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
29.10.2023
Размер:
5.26 Mб
Скачать

рату целого числа, будет числом трансцендент­

ным. В частности, он доказал, что число 2 V2— число трансцендентное [12].

Точно так же на основе метода Гельфонда немецкий математик Зигель в 1930 г. доказал трансцендентность постоянных, играющих для эллиптических функций ту же роль, что число к для тригонометрических.

Наконец, в 1934 г. Гельфонд дал исчерпы­ вающее решение проблемы Эйлера — Гильберта* [13].

Советский математик В. М. Брадис приводит одно следствие теоремы Гельфонда, важное для школьного курса математики: что представляет собой, например, десятичный логарифм числа 2?

Он пишет [14, стр.

197 — 198]:

«Легко

видеть,

что lg

2 — число иррациональное:

если

бы lg 2

был равен

рациональному

числу

 

 

то мы

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

имели

бы

равенство

10ь

= 2

 

и

равенство

10а =

2* при натуральных

значениях

показа­

телей

а и Ь. Но

легко

видеть,

что

такого

равенства

быть не

может: число

10

во

всякой

степени а

является

числом

с

последней циф­

рой 0,

число же 2*

может

оканчиваться

только

одной

из цифр 2,

4,

6,

8.

Доказав

иррацио­

нальность числа lg 2, ставим вопрос о том, является ли это число алгебраической или трансцендентной иррациональностью. Если бы lg 2 представлял собой алгебраическую иррацио­ нальность, то число 10lg2 в силу теоремы Гель-

* В 1936 г. немецкий математик Шнейдер дал иное дока­ зательство результата советского математика А. О. Гель-

88 фонда, идея которого близка к идеям Зигеля.

фонда было бы трансцендентным, в то время как оно есть не что иное, как 2. Следовательно, число lg 2 трансцендентно. Трансцендентными же являются и все иррациональные десятичные логарифмы рациональных чисел».

Теория трансцендентных чисел развивалась и в последующие годы. В этой области было получено много результатов советскими и зару­ бежными математиками [15].

Глава

Теория показательной

илогарифмической функций

валгебре

§1. Обобщение понятия о степени

Обобщение понятия о степени проводится в определенной последовательности, а именно: обобщают понятие показателя степени, рассмат­

ривая

его

сначала как рациональное число,

а затем

как

действительное.

Для того чтобы определить возведение по­ ложительных действительных чисел в степень, показатель которой какое угодно рациональное число, необходимо доказать теорему*: если а — положительное число, а т — натуральное число, большее единицы, то уравнение

хт = а

(1)

имеет единственный положительный корень. Рассмотрим бесконечную последовательность

0т , 1т , 2т , Зт , . ..

Числа этой последовательности неограниченно

* Эта теорема лежит в основе учения об обобщенной 90 степени.

увеличиваются. Следовательно, найдется два

таких

соседних

члена

последовательности

а"1 и

(а0 + 1)т , что

 

 

 

< < а < (а„ + \)т.

Если а = а™, то

уравнение

(1) удовлетворится

при х = а0.

что

 

 

Предположим,

 

 

 

а"‘

< а <

(а0 -f- 1)"г.

Рассмотрим числа

 

 

 

аог»

Тег) ’ v а° ^

"То / ’

' ' ' ’ \ а° "ю / ’

 

 

(а0 + 1)т.

 

Среди этих чисел найдется таких два соседних

числа ( а0+

 

и ( а0+

 

,

что

 

 

ао+

 

< а < (а0 + ~^уо"

 

 

Если ( а0+ Ql

= а,

то число

а0

ai

есть

 

10

 

 

 

 

 

10

 

корень уравнения (1).

Если же

 

 

 

 

 

а° + ТО-) < а < ( ао +

ai_+_i V”

 

 

 

10

 

 

 

то рассмотрим числа

 

 

 

 

 

 

( а0

<h

 

Oi

1

L

 

 

 

10

 

10 ^

102

 

 

 

10

_2

 

 

I

а1

!

9

 

102'

 

а °

+ ТО +

102

 

91

Рассуждая аналогично, можно сказать, что существует таких два числа

 

 

 

а2 Г (

1

а\

 

, й; 1\т

 

 

 

 

То*)

,

а 0 “1-10 ~ ГР"] - ЧТ0

 

 

 

а2 '.я»

а

 

 

 

 

Й1

 

 

 

 

 

 

 

) <

< 1

 

.+В ± ±

 

 

 

10

 

 

10^

102 /

 

 

102";

 

 

 

!

а о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует,

что либо

 

 

 

 

«1

л

а о

 

а = [а0 |- —

W

 

 

 

 

 

 

щ

+,

 

a-i

 

 

ш

 

и тогда

число

а0

 

 

 

есть корень урав-

нения

(1),

либо

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

а < ( а 0

«1

«2+

 

°о-1--ж + лж )

 

 

 

10

1 102/

а

^

 

 

 

ю '

 

ю2! '

и тогда

мы рассмотрим числа

 

 

 

 

 

а°

"кМ

J2.

 

а0+

ai

 

 

io3

 

Ю2

 

10

 

Ю2

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

а0-f 10

 

102 /

 

 

10

102

Тб2"

 

 

и Т. д.

Логически мыслимы два случая: либо най­

дется

натуральное

число

k

такое, что

 

 

 

( °0 -1- 1 1

+

-ygV +

• +

-J&r)

=

а >

 

и тогда число а0 +

jg +

 

 

+

• • • +

-ygir есть ко­

рень уравнения

(1), либо

 

такого числа

не

су­

ществует.

 

что

имеет место

второй слу­

Предположим,

чай. Прежде всего заметим, что каждое

из

чисел

а1г а2, . . .

представляет собой

одно

из

чисел 0, 1, 2,

3,

. .. , 9. Рассмотрим бесконеч-

92 ную

десятичную

дробь

а0,

аг а2

а3 . ..

Эта

дробь есть некоторое положительное действи­ тельное число, которое мы обозначим через я.

Покажем, что а есть корень уравнения (1), т. е. что гт — а. Предположим, что а.т ф а. Каково бы ни было натуральное число п,

а0,

фа.,.. ,ап <

а < а0, ага.2 . .. ап-\

апф 1,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

,

Оо

 

,

,

ал—1

,

 

 

°0 _г ТО"*- 1 W

 

^

• ■

1

10”- ‘

^

 

~1

jQrt

&<С

4 - iL

+

 

,

ал—1

,

ап

1 10 ^

■ ■ + ю”-* +

1

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

ап- 1. а . «- Г < а <

(а° + i t

 

 

 

+ • ■• 1 ю”- 1

|

Ю” /

 

^

 

^

 

 

 

jh

 

 

 

юл-1

 

ап+ 1 т

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

10”

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

ип _

А

 

 

 

 

 

“1

j_

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

10

1

 

 

 

10”

~

 

 

»•

 

 

 

 

 

 

I

а/г ~l

I

А

 

!

 

^

 

 

а" ' г ТО • • •

 

 

 

 

 

г 10„

лл

 

т- 1Qn

Таким

образом,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< а < А„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ап <

 

 

(^Ап

юл j

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 \»«

Будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- а ]

<

( Ап ~|-

jgn

 

-А™,

 

 

но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Дг+Т07г) — ^ л - ( '

 

 

10"

" (А,

 

 

1 \ т- ' ^ ( л a - _ U m_2А.

 

 

 

 

ДО" /

_г 1Л»

1

 

10" /

 

 

 

 

 

 

+ {An +

1iF ) A r 2 +

A

r \

<

 

 

 

<

1

 

/

 

 

 

1

\m—1

 

 

 

 

jo» •т [Ап +

10л J

>

 

 

 

если мы в квадратных скобках заменим Ап

большим числом

 

^A

_L

 

:_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ri

i

 

10п (

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

\ т -

 

 

 

 

| а"1— а | <

от

f/4

1

1

 

 

(2)

 

10" )

 

 

 

10"

\

 

" 1

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•^л л-

ю" ~

ао

 

f i _ +

 

 

. +

°n~ 1

1

ап +

1

 

~10

г

 

г

10"-1

1

Ю"

»

но

 

О-п+ 1

^

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10"

 

 

10—1 >

 

 

 

 

 

ап—1 _j_ % _ + i ^ ап—\ I

^

 

 

 

 

10—1

 

Ю" ' ' Ю"-1

'

10" 1

 

 

 

_

 

 

1

^

 

 

1

И

Т. Д.

 

 

94

10л-1

 

10л- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а поэтому

а0

ai _i_ _£г_

Дд -Г 1

ап+

10 1

102

10

 

+

аг +

•о "Г

 

 

10

 

или

Л- ' |(уг ^5- «0 " i" 1

Следовательно, неравенство (2) можно пере­ писать так:

|a'B- a | < - J r (fl0 -!-

(3)

Однако число п можно выбрать настолько боль­

шим,

чтобы

 

 

 

 

 

 

 

—[р —(ao +

 

l)'n_1 <

| а'и — а\.

 

В самом деле,

какое бы ни

было

положи­

 

 

 

 

т ~ 1

 

 

 

тельное число

ла (До+1У

найдется

такое на-

.

m

 

 

I ат — а I

 

 

 

туральное число п, что

 

 

 

 

 

10” >

 

т(а„ +

1)т -

 

(4)

 

 

 

| а"1а |

 

а в таком случае

 

т(а0+ 1)т—1

 

 

I а'п — а I

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

противоречит

 

неравенству

(3).

Значит,

а'” =

а, т. е.

а — положительный

корень урав­

нения (1).

Покажем, что уравнение (1) имеет только один положительный корень. В самом деле, предположим, что уравнение (1) имеет два не­ равных положительных корня а и Пусть 95

а > !3. Тогда лт> $ т, т. е. а > а, что невоз­

можно.

Заметим, что справедливость неравенства(4) при достаточно большом п можно было бы

показать

и так: при достаточно

большом

нату­

ральном

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10Л

 

т (ао

___

 

 

 

 

 

 

 

 

1и ^

 

|V" —а I

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

т ( а а +

I)"1-1

может

 

число — | ат __fl~j—

быть

представлено

в

виде

конечной или беско­

нечной десятичной

дроби

Ьп, Ьф2 . . .

Так

как

Ь01 >

Ь0,

Ьф.2 . ..

,

то

Ь0

2 > bQ,

Ьфг ...

,

а потому

можно

взять

п = 60-|-2.

101 >

1,

 

Далее,

10" >

п.

В самом

деле,

102> 2 , . . .

Предположим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10* >

к.

 

 

 

(5)

Тогда, умножая

на 10, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10*+’ >

\0k,

 

 

 

 

но

Ш = k -|- 9k > k - \ k > k

-I- 1. Значит, \0k >

>

к у 1

и

10*+1 >

&+ 1- Но неравенство (5)

верно

для

k — 1.

Таким образом, оно верно

при любом

натуральном

k,

а поэтому

сущест­

вует такое натуральное число п, что

 

 

 

 

 

 

 

1Q„ .

 

ш(аа+ \)т- Х

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

\ а т — а I

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

 

Положительный

корень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ,—

 

 

 

уравнения (1) обозначается через у а и назы­ вается арифметическим корнем степени т из

96 числа а.

Если р делится на

т

= tj,

то ft~aP —

т ,——

JL

р и

т — натуральные

= у a<nt = а* = ат, где

числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же р не делится на т, то символ а т

понимается

как

арифметический

корень сте-

 

 

т —\

 

 

пени т из

числа

ар [у

°Р/•

 

 

Если р и т — натуральные числа, то под

1

символом а т понимается ——.

Степень с рациональным показателем

 

Если

п,

р,

k — натуральные числа

и а

число положительное, то:

 

 

 

 

 

1) "ftарк — \/ ак.

Докажем

это. Обозначим

а =

 

"ft арк и

р =

У ак. Тогда а.пр — арк и Р" =

ак,

отсюда $пр =

арк

и

а.”р =

$пр.

Если а ф [3,

то

орр zfz рпр,

ЧТо невозможно;

 

 

 

 

 

2) ( fta']P =

fta p. Обозначим ft а = а.

Тогда

ат =

а и

атр =

ар,

откуда

(ар)т= ар. Значит,

аР =

т, —

 

(т —\р

т----

 

 

 

у ар

или I

у а )

= у‘ ар\

 

 

 

 

з ) У Va = mft а. Обозначим f t а — а.

Тогда

Т / Р г — " у - г

 

 

 

 

 

тр/

 

 

 

 

 

а = о.р и

'"Н/

у

у а — у а. С другой стороны,

]/ а :

трг—

т ,—

тт

 

 

т р ~

 

 

=

ftap =

/ а .

Итак, I/ у а =

> а.

 

 

7 Г. К. Остапов

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ