книги из ГПНТБ / Остапов Г.К. Логарифмы
.pdfрату целого числа, будет числом трансцендент
ным. В частности, он доказал, что число 2 V2— число трансцендентное [12].
Точно так же на основе метода Гельфонда немецкий математик Зигель в 1930 г. доказал трансцендентность постоянных, играющих для эллиптических функций ту же роль, что число к для тригонометрических.
Наконец, в 1934 г. Гельфонд дал исчерпы вающее решение проблемы Эйлера — Гильберта* [13].
Советский математик В. М. Брадис приводит одно следствие теоремы Гельфонда, важное для школьного курса математики: что представляет собой, например, десятичный логарифм числа 2?
Он пишет [14, стр. |
197 — 198]: |
«Легко |
видеть, |
|||||||
что lg |
2 — число иррациональное: |
если |
бы lg 2 |
|||||||
был равен |
рациональному |
числу |
|
|
то мы |
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
имели |
бы |
равенство |
10ь |
= 2 |
|
и |
равенство |
|||
10а = |
2* при натуральных |
значениях |
показа |
|||||||
телей |
а и Ь. Но |
легко |
видеть, |
что |
такого |
|||||
равенства |
быть не |
может: число |
10 |
во |
всякой |
|||||
степени а |
является |
числом |
с |
последней циф |
||||||
рой 0, |
число же 2* |
может |
оканчиваться |
только |
||||||
одной |
из цифр 2, |
4, |
6, |
8. |
Доказав |
иррацио |
||||
нальность числа lg 2, ставим вопрос о том, является ли это число алгебраической или трансцендентной иррациональностью. Если бы lg 2 представлял собой алгебраическую иррацио нальность, то число 10lg2 в силу теоремы Гель-
* В 1936 г. немецкий математик Шнейдер дал иное дока зательство результата советского математика А. О. Гель-
88 фонда, идея которого близка к идеям Зигеля.
фонда было бы трансцендентным, в то время как оно есть не что иное, как 2. Следовательно, число lg 2 трансцендентно. Трансцендентными же являются и все иррациональные десятичные логарифмы рациональных чисел».
Теория трансцендентных чисел развивалась и в последующие годы. В этой области было получено много результатов советскими и зару бежными математиками [15].
Глава
Теория показательной
илогарифмической функций
валгебре
§1. Обобщение понятия о степени
Обобщение понятия о степени проводится в определенной последовательности, а именно: обобщают понятие показателя степени, рассмат
ривая |
его |
сначала как рациональное число, |
а затем |
как |
действительное. |
Для того чтобы определить возведение по ложительных действительных чисел в степень, показатель которой какое угодно рациональное число, необходимо доказать теорему*: если а — положительное число, а т — натуральное число, большее единицы, то уравнение
хт = а |
(1) |
имеет единственный положительный корень. Рассмотрим бесконечную последовательность
0т , 1т , 2т , Зт , . ..
Числа этой последовательности неограниченно
* Эта теорема лежит в основе учения об обобщенной 90 степени.
увеличиваются. Следовательно, найдется два
таких |
соседних |
члена |
последовательности |
|
а"1 и |
(а0 + 1)т , что |
|
|
|
|
< < а < (а„ + \)т. |
|||
Если а = а™, то |
уравнение |
(1) удовлетворится |
||
при х = а0. |
что |
|
|
|
Предположим, |
|
|
||
|
а"‘ |
< а < |
(а0 -f- 1)"г. |
|
Рассмотрим числа |
|
|
|
|
аог» |
Тег) ’ v а° ^ |
"То / ’ |
' ' ' ’ \ а° "ю / ’ |
|
|
|
(а0 + 1)т. |
|
|
Среди этих чисел найдется таких два соседних
числа ( а0+ |
|
и ( а0+ |
|
, |
что |
|
|
|
ао+ |
|
< а < (а0 + ~^уо" |
|
|
||||
Если ( а0+ Ql |
= а, |
то число |
а0 |
ai |
есть |
|||
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
корень уравнения (1). |
Если же |
|
|
|
|
|
||
а° + ТО-) < а < ( ао + |
ai_+_i V” |
|
|
|||||
|
10 |
|
|
|
||||
то рассмотрим числа |
|
|
|
|
|
|
||
( а0 |
<h |
|
Oi |
1 |
L |
|
|
|
10 |
|
10 ^ |
102 |
|
|
|
||
10 |
_2 |
|
|
I |
а1 |
! |
9 |
|
102' |
|
а ° |
+ ТО + |
102 |
|
|||
91
Рассуждая аналогично, можно сказать, что существует таких два числа
|
|
|
а2 Г ( |
1 |
а\ |
|
, й; 1\т |
|
||||||
|
|
|
То*) |
, |
а 0 “1-10 ~ ГР"] - ЧТ0 |
|||||||||
|
|
|
а2 '.я» |
а |
|
|
|
|
Й1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
) < |
< 1 |
|
.+В ± ± |
|
||||||
|
|
10 |
|
|
-т 10^ |
102 / |
||||||||
|
|
102"; |
|
|
|
! |
а о |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что либо |
|
|
|
|
«1 |
л |
а о |
|||||
|
а = [а0 |- — |
W |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
щ |
+, |
|
a-i |
|
|
ш |
|
|
и тогда |
число |
а0 |
|
|
|
есть корень урав- |
||||||||
нения |
(1), |
либо |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
< |
а < ( а 0 |
«1 |
«2+ |
|
||||||
°о-1--ж + лж ) |
|
|||||||||||||
|
|
10 |
1 102/ |
а |
^ |
|
|
|
~г ю ' |
|
ю2! ' |
|||
и тогда |
мы рассмотрим числа |
|
|
|
|
|
||||||||
а° |
"кМ |
J2. |
|
а0+ |
ai |
|
|
io3 |
|
|||||
Ю2 |
|
10 |
|
Ю2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
а0-f 10 |
|
102 / |
|||
|
|
10 |
102 |
Тб2" |
|
|
||||||||
и Т. д.
Логически мыслимы два случая: либо най
дется |
натуральное |
число |
k |
такое, что |
|
|
||||
|
( °0 -1- 1 1 |
+ |
-ygV + |
• |
• |
• + |
-J&r) |
= |
а > |
|
и тогда число а0 + |
jg + |
|
|
+ |
• • • + |
-ygir есть ко |
||||
рень уравнения |
(1), либо |
|
такого числа |
не |
су |
|||||
ществует. |
|
что |
имеет место |
второй слу |
||||||
Предположим, |
||||||||||
чай. Прежде всего заметим, что каждое |
из |
|||||||||
чисел |
а1г а2, . . . |
представляет собой |
одно |
из |
||||||
чисел 0, 1, 2, |
3, |
. .. , 9. Рассмотрим бесконеч- |
||||||||
92 ную |
десятичную |
дробь |
а0, |
аг а2 |
а3 . .. |
Эта |
||||
дробь есть некоторое положительное действи тельное число, которое мы обозначим через я.
Покажем, что а есть корень уравнения (1), т. е. что гт — а. Предположим, что а.т ф а. Каково бы ни было натуральное число п,
а0, |
фа.,.. ,ап < |
а < а0, ага.2 . .. ап-\ |
апф 1, |
||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
, |
Оо |
|
, |
, |
ал—1 |
, |
|
|||||
|
°0 _г ТО"*- 1 W |
|
^ |
• ■ |
1 |
10”- ‘ |
^ |
|
|||||||
~1 |
jQrt |
&<С |
4 - iL |
+ |
|
, |
ал—1 |
, |
ап |
||||||
1 10 ^ |
■ ■ + ю”-* + |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
ап- 1. а . «- Г < а < |
|||||||||
(а° + i t |
|
|
|
||||||||||||
+ • ■• 1 ю”- 1 |
| |
Ю” / |
|
^ |
|
^ |
|||||||||
|
|
|
jh |
|
|
|
юл-1 |
|
ап+ 1 т |
||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
10” |
|
||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
ип _ |
А |
|
|
|||||
|
|
|
“1 |
j_ |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
10 |
1 |
|
|
|
10” |
~ |
|
|
»• |
|
|
|
|
|
|
|
I |
а/г ~l |
I |
А |
|
! |
|
^ |
|
|||
|
а" ' г ТО • • • |
|
|
|
|||||||||||
|
|
г 10„ |
лл |
|
т- 1Qn |
||||||||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
< а < А„ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
10” |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ап < |
|
|
(^Ап ~Ь |
юл j |
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 \»«
Будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- а ] |
< |
( Ап ~|- |
jgn |
|
-А™, |
|
|
||||
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Дг+Т07г) — ^ л - ( ' |
|
|
10" |
" (А, |
|
||||||||
|
1 \ т- ' ^ ( л a - _ U m_2А. |
|
|
|
|||||||||
|
ДО" / |
_г 1Л» |
1 |
|
10" / |
|
|
|
|
|
|||
|
+ {An + |
1iF ) A r 2 + |
A |
r \ |
< |
|
|
||||||
|
< |
1 |
|
/ |
|
|
|
1 |
\m—1 |
|
|
|
|
|
jo» •т [Ап + |
10л J |
> |
|
|
|
|||||||
если мы в квадратных скобках заменим Ап |
|||||||||||||
большим числом |
|
^A |
_L |
|
:_ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n ri |
i |
|
10п ( |
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ т - |
|
|
|
|
|
| а"1— а | < |
от |
f/4 |
1 |
1 |
|
|
(2) |
|||||
|
10" ) |
|
|
||||||||||
|
10" |
\ |
|
" 1 |
|
|
|||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•^л л- |
ю" ~ |
ао |
|
f i _ + |
|
|
. + |
°n~ 1 |
1 |
ап + |
1 |
||
|
~10 |
г |
|
г |
10"-1 |
1 |
Ю" |
» |
|||||
но |
|
О-п+ 1 |
^ |
|
|
* |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
10" |
|
|
10|Л—1 > |
|
|
|
|
|||
|
ап—1 _j_ % _ + i ^ ап—\ I |
^ |
|
|
|
||||||||
|
10|Л—1 |
|
Ю" ' ' Ю"-1 |
' |
10" 1 |
|
|
||||||
|
_ |
|
|
1 |
^ |
|
|
1 |
И |
Т. Д. |
|
|
|
94 |
— 10л-1 |
|
10л- 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а поэтому
а0 |
ai _i_ _£г_ |
Дд -Г 1 |
ап+ |
|
10 1 |
102 |
10” |
||
|
+ |
аг + |
•о "Г |
|
|
10 |
|
||
или
Л- ' |(уг ^5- «0 " i" 1•
Следовательно, неравенство (2) можно пере писать так:
|a'B- a | < - J r (fl0 -!- |
(3) |
Однако число п можно выбрать настолько боль
шим, |
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
—[р —(ao + |
|
l)'n_1 < |
| а'и — а\. |
|
||
В самом деле, |
какое бы ни |
было |
положи |
||||
|
|
|
|
т ~ 1 |
|
|
|
тельное число |
ла (До+1У |
найдется |
такое на- |
||||
. |
m |
||||||
|
|
I ат — а I |
|
|
|
||
туральное число п, что |
|
|
|
||||
|
|
10” > |
|
т(а„ + |
1)т - |
|
(4) |
|
|
|
| а"1— а | |
|
|||
а в таком случае |
|
т(а0+ 1)т—1 |
|
||||
|
I а'п — а I |
|
|||||
|
|
10” |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
противоречит |
|
неравенству |
(3). |
Значит, |
||
а'” = |
а, т. е. |
а — положительный |
корень урав |
||||
нения (1).
Покажем, что уравнение (1) имеет только один положительный корень. В самом деле, предположим, что уравнение (1) имеет два не равных положительных корня а и Пусть 95
а > !3. Тогда лт> $ т, т. е. а > а, что невоз
можно.
Заметим, что справедливость неравенства(4) при достаточно большом п можно было бы
показать |
и так: при достаточно |
большом |
нату |
|||||||||||
ральном |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
10Л |
|
т (ао |
___ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1и ^ |
|
|V" —а I |
|
|
|
|
||||
|
Действительно, |
|
|
|
т ( а а + |
I)"1-1 |
может |
|||||||
|
число — | ат __fl~j— |
|||||||||||||
быть |
представлено |
в |
виде |
конечной или беско |
||||||||||
нечной десятичной |
дроби |
Ьп, Ьф2 . . . |
Так |
как |
||||||||||
Ь0-Ь 1 > |
Ь0, |
Ьф.2 . .. |
, |
то |
Ь0 |
2 > bQ, |
Ьфг ... |
, |
||||||
а потому |
можно |
взять |
п = 60-|-2. |
101 > |
1, |
|||||||||
|
Далее, |
10" > |
п. |
В самом |
деле, |
|||||||||
102> 2 , . . . |
Предположим, |
что |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
10* > |
к. |
|
|
|
(5) |
|||
Тогда, умножая |
на 10, находим |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
10*+’ > |
\0k, |
|
|
|
|
||||
но |
Ш = k -|- 9k > k - \ k > k |
-I- 1. Значит, \0k > |
||||||||||||
> |
к у 1 |
и |
10*+1 > |
&+ 1- Но неравенство (5) |
||||||||||
верно |
для |
k — 1. |
Таким образом, оно верно |
|||||||||||
при любом |
натуральном |
k, |
а поэтому |
сущест |
||||||||||
вует такое натуральное число п, что |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1Q„ . |
|
ш(аа+ \)т- Х |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1и |
> |
|
|
\ а т — а I |
|
|
|
|
||
|
О п р е д е л е н и е . |
|
Положительный |
корень |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т ,— |
|
|
|
уравнения (1) обозначается через у а и назы вается арифметическим корнем степени т из
96 числа а.
Если р делится на |
т |
= tj, |
то ft~aP — |
||
т ,—— |
JL |
р и |
т — натуральные |
||
= у a<nt = а* = ат, где |
|||||
числа. |
|
|
|
|
_р |
|
|
|
|
|
|
Если же р не делится на т, то символ а т |
|||||
понимается |
как |
арифметический |
корень сте- |
||
|
|
т —\ |
|
|
|
пени т из |
числа |
ар [у |
°Р/• |
|
|
Если р и т — натуральные числа, то под
1
символом а т понимается ——.
Степень с рациональным показателем
|
Если |
п, |
р, |
k — натуральные числа |
и а — |
||||||
число положительное, то: |
|
|
|
|
|||||||
|
1) "ftарк — \/ ак. |
Докажем |
это. Обозначим |
||||||||
а = |
|
"ft арк и |
р = |
У ак. Тогда а.пр — арк и Р" = |
ак, |
||||||
отсюда $пр = |
арк |
и |
а.”р = |
$пр. |
Если а ф [3, |
то |
|||||
орр zfz рпр, |
ЧТо невозможно; |
|
|
|
|
||||||
|
2) ( fta']P = |
fta p. Обозначим ft а = а. |
Тогда |
||||||||
ат = |
а и |
атр = |
ар, |
откуда |
(ар)т= ар. Значит, |
||||||
аР = |
т, — |
|
(т —\р |
т---- |
|
|
|
||||
у ар |
или I |
у а ) |
= у‘ ар\ |
|
|
|
|||||
|
з ) У Va = mft а. Обозначим f t а — а. |
Тогда |
|||||||||
Т / Р г — " у - г |
|
|
|
|
|
тр/ |
|
||||
|
|
|
|
а = о.р и |
'"Н/ — |
||||||
у |
у а — у а. С другой стороны, |
]/ а : |
|||||||||
трг— |
т ,— |
тт |
|
|
т р ~ |
|
|
||||
= |
ftap = |
/ а . |
Итак, I/ у а = |
> а. |
|
|
|||||
7 Г. К. Остапов