книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

где каждое представление Wi имеет вид (1 . . . 10 . . . 0). Рассчи­ тайте подобные значения 6/-коэффициентов для снмплектической группы.

6.21. Докажите, что неприводимые представления группы Rs, которые могут использоваться для характеристики состояния

К (аѴ)<">],

это представления (2110) и (1100). Докажите также, что такими представлениями для состояния

[«f, ( a W H

будут (2111) и (1110).

6.22. Убедитесь, что повторяемость значения —29 в табл. V I , так же как повторяемость значения 15 в этой таблице, можно объ­ яснить на основе соотношения

((1110) G-f-0110) LI (1111)//)=(), в котором U четное и L — 1 или 9.

ность— иррациональные собственные значения, которые приводятся с двумя десятичными знаками. Это вызывает, конечно, некое непри­ ятное чувство. Очевидно, что оператор ед не столь хорош для кон­

обнаруживают определенную закономерность. Как будет показано ниже, исследование этой закономерности дает нам ключ к понима­ нию вообще всей проблемы повторяющихся собственных значений операторов eg и е^.

Поскольку интересующие нас целочисленные собственные зна­ чения появляются одновременно с нецелочисленными, вполне уме­ стно спросить: можно ли добавить к оператору ей какой-то новый оператор, который каким-либо образом уничтожил бы иррацио­ нальный характер оператора віи разумеется, без существенного его

тремя электронами, ибо такой оператор, в частности, будет иметь ненулевые матричные элементы между конфигурациями Л2 и Л5, которые могут изменить рассматриваемые собственные значения. Однако сразу возникает трудность: такой оператор должен связы­ вать также термы конфигурации /г5 с термами /г8 н целочисленные собственные значения, имеющиеся для конфигурации /г5, могут стать нецелочисленнымн для термов с соответствующими значе­ ниями L для конфигурации h8.

Следует отметить, однако, что значения L для термов (макси­ мальной мультиплетности) конфигурации /г5 идентичны с появляю­ щимися для конфигурации h6, так что, пожалуй, скалярный опера­ тор, который следует добавить к оператору ел, чтобы сделать последний более простым, должен связывать конфигурации, отли­ чающиеся не натри, а на четыре электрона. При этом термы конфи­ гурации hs могут быть связаны с единственным термом иН конфи­ гурации /г10 (предполагается, что мы работаем только в спин-вверх- пространстве) ; таким образом, термы конфигурации 1ів с четными

термы вместе совершенно замечательным образом оказались синглетами набора смешанных конфигураций, которые традиционно обозначают символом (d-\-h)2.

Подобным же образом можно исследовать термы максимальной мультиплетности конфигураций g2 и gß, значения L для которых будут PFHK и PF2GNІКМ соответственно. Все получаемые диаго­ нальные суммы согласуются со следующими собственными значе­

электронных конфигураций d2, dh и h2. Таким образом, вместе они являются триплетами конфигураций (d + li)2.

Конечно, пока мы не можем сказать, можно ли действительно подобрать такие недиагональные матричные элементы оператора eg+àg, чтобы обеспечить появление требуемых собственных зна­ чений. Однако, обнаружив удивительный факт объединения термов в описанные последовательности, который важен сам по себе, мы можем пока не беспокоиться об этом. Немедленного решения тре­ бует другая проблема: в чем причина обнаруженной нами связи

Естественно, или по крайней мере достаточно разумно, попы­

какой-то другой более широкой группы, которую можно использо­ вать для классификации состояний g-оболочки. Очевидно, при этом

конкретной интерпретацией полученных результатов. Наше исход­ ное положение здесь — это очевидная факторизация спии-вверх- пространства (соответственно четным и нечетным N) на два оди­ наковых пространства, каждое из которых характеризуется эле­ ментарными полуцелыми представлениями группы RIM. Поскольку все термы конфигурации /і Ѵ можно образовать путем связывания орбитальных моментов спин-вверх-пространства и спин-вниз-про- странства, мы, таким образом, приходим в результате к четырех­ кратной факторизации полного пространства атомной оболочки.

вверх- и спин-вниз-пространств требует, чтобы исключалось из рас­ смотрения квантовое число N, которое уже не может быть хоро­ шим квантовым числом. Это ясно из анализа ^-оболочки, для которой были построены матрицы, связывающие, например, S-co- стояния конфигураций g и g4 .

Отказ от квантового числа полного числа частиц (т. е. от кван­ тового числа JV) является характерной чертой теории квазичастнц, которая была развита в теории ядра [24] и в теории сверхпро­ водимости [25]. Характерным моментом в такого рода теориях яв­ ляется возможность построения линейных комбинаций операторов рождения а* и операторов уничтожения ajj', где т]' — обращенное во времени состояние для состояния т). Мы не можем здесь посту­ пать в точности, как в упомянутой теории, поскольку ms = L/2 пере­ ходит в ms = —Ѵг при обращении времени, и поэтому новые квазичастичиые операторы рождения и уничтожения не оставляют инва­ риантным спин-вверх-пространство и спин-вниз-пространство. Однако мы можем обратить во времени только проекцию ти не трогая проекции tns, и изучать линейные комбинации операторов рождения и уничтожения вида

При этом можно сделать интересное наблюдение. Комбинация опе­

Нам необходимо провести теперь некоторые простые вычисле­ ния. Прежде всего положим, что

o m = ( - i / - " ' ö - „ „

а затем проверим, являются ли операторы Ѳто компонентами тен­ зорного оператора Ѳ ранга I. Далее, как легко непосредственно до­ казать, существуют соотношения

0 = Ѳ+(Ѳ = Х, ѵ),

0 = —0+(Ѳ = (х, £).

Компоненты связанного тензорного произведения A A(ö + 6)(FT)не­ четного ранга k, как можно легко показать, удовлетворяют тем же самым перестановочным соотношениям, что и компоненты тензор­ ных операторов V(ft) (которые с использованием обозначений разд. 5.3 идентичны тензорным операторам — Х( 0 0 , і >). Отсюда сле­ дует, что можно найти такую новую подгруппу группы /?и+4 [см. пункт (2) в разд. 5.3], что для нее будет справедливо соотношение

здесь верхние индексы обозначают четыре пространства 0. Как легко непосредственно проверить, для нечетных k справедлива формула

так что четверное прямое произведение должно содержать в ка­ честве подгруппы группу Rii+i, о которой шла речь в п. (4) разд. 5.3:

где q = ly I — 1 , ..., 1. (Множитель 1/г требуется вводить для того, чтобы получать правильной длины отдельные весовые векторы.) Правда, здесь возникает трудность: никакие из обычных состоя­

тирует с оператором Ѳ^ т , так что мы можем говорить о фермнонных операторах рождения, только если мы исключим некоторые операторы из рассмотрения; например, возьмем / операторов Ѳ+

важно, однако, то, что эти операторы можно выразить в виде ли­

В спин-вверх-пространстве мы имеем Ѳ = Х или д.. В каждом из этих случаев можно построить свой вакуум для системы квазичас­ тиц, порождаемых операторами ѲТ, :

|оѴ>= П 4„„m|o>.

e j - ö j , . . . Ѳ+-;

эти произведения порождают 2' состояний, принадлежащих одному и тому же неприводимому представлению группы R$ . Если в ка­ честве вакуума берется состояние |Ѳ+), то четность N совпадает с четностью /; для | 0' ) эти четности противоположны. Составляя повторные коммутаторы

к пониманию необходимости введения полуцелых представлений, которые мы чисто интуитивно использовали в рассуждениях разд. 7.3.