книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

пользуя формулу (1.12), в которой р — плотность ведущих центров, a v — ско­ рость их дрейфа:

V x = f o — —с Еу, vy = ~с Ех,

где Ехя Еу — составляющие электрического поля синхронной волны, показать > что отношение Ре/Ре при малых амплитудах синхронной волны и малых значе­ ниях параметра у, когда траектории ведущих центров мало отклоняются от эквипотенциалей, имеет ви*

'е

где F — положительный коэффициент порядка единицы, зависящий от формы язычка и распределения заряда в нем. На основании этого соотношения вывести формулу (2.68) для плоского магнетрона или ниготрона и выяснить смысл ве­ личин сое' и Те для этих приборов.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (2.60) мы получаем реактивную мощность на единицу оси г в виде

где отброшены слагаемые, пропорциональные квадрату амплитуды синхронной волны. Учитывая, что согласно формулам (3.15) и (3.73)

Если к тому же Ре рассчитывается на один период структуры (по оси х), то инте­

Л е к ц и я 4

УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ МАГНЕТРОНА

В предыдущей лекции была изложена элементарная теория магнет­ рона, основанная на дрейфовом приближении и пренебрежении про­ странственным зарядом. В данной лекции будет рассмотрено более полно как дрейфовое приближение (и пределы его применимости), так и эффекты, связанные с пространственным зарядом.

Пределы применимости дрейфового приближения всего лучше уста­ новить, рассматривая это приближение как частный результат ме­ тода усреднения, предложенного П. Л. Капицей. Этим методом также исследуются орбитальные резонансы, которые в магнетронных приборах, как правило, вредны, но зато важны в при­ борах с криволинейными пучками (см. 8-ю и 9-ю лекции). Применяя этот метод, удается оценить влияние пространственного заряда на орбитальное движение электронов.

Пространственный заряд ведет в магнетронных приборах к слож­ ному комплексу явлений, который в настоящее время понят толь­ ко частично, поэтому его обсуждение по необходимости имеет эскиз­ ный характер.

а. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

Как мы уже отмечали в 3-й лекции, уравнения движения электронов в магнетроне можно записать в виде

причем мы отвлекаемся от движения в направлении оси z и соответ­ ствующих полей. Введем сокращенные обозначения

тогда уравнения (4.01) можно свести к одному комплексному урав­ нению

Статическое поле будем считать однородным и направленным по оси у:

т

точное решение, если считать а и Р комплексными постоянными, при

в своей совокупности эквивалентные уравнению (4.03) и исходным уравнениям (4.01). При этом вместо z в функцию F надо подставлять выражение (4.07), так что правые части уравнений (4.10) суть функ­ ции а, а*, р, Р* и t, причем наличие слагаемых Р е Т г Ш в z и z* при­ водит к тому, что в правых частях (4.10) оказываются быстро осцил­

и усложняющих все рассмотрение. Отвлекаясь от этих быстрых и

уже'позволяют анализировать усредненное движение электронов при

к тому, которое реализуется при F = 0, и в соответствии с этим вводим аппроксимации.

В каких случаях проведенное усреднение не искажает характера движения? Прежде всего, время пролета должно быть гораздо больше времени усреднения, а последнее, как правило, равно 2л/1 Q| (см. за­ дачу 4). Кроме того, надо учесть, что при постоянстве а и Р функция F имеет вид (см. ниже формулу (4.17) и след.)

т. е. разлагается в ряд Фурье с циклотронным периодом 2 я / й . Про­ изведя усреднение, мы в функции а отбросили осциллирующие сла­

небрегли также медленными изменениями а и р\ как бы «замораживая»

применимости усредненных уравнений (4.11) является малость б по сравнению с характерными геометрическими размерами, определяю­ щими путь частицы (например, расстояние между катодом и анодом) или пространственное изменение поля (например, период структуры). В частности, на расстоянии б комплексное ускорение F должно быть

в 3-й лекции потенциала Ф сверхсвысокочастотного поля. Пренебрегая пространственным зарядом и несинхронными пространственными гармониками, согласно формуле (3.15) можно написать для % выра­ жение

еЕ

и в общем случае правые части уравнений (4.11) равны нулю.

Если же выполняется условие синхронизма v0 = и, то

Ниже мы получим эти уравнения в более общих предположениях и покажем, что первое из них дает дрейфовое приближение. Что же

ограничений на радиус орбиты г0 или на частоту синхронной волны

Условия (4.20) и (4.22) суть условия орбитальных резонансов, когда

радиус, как правило, увеличивается, что приводит к увеличению потерь. Если же электроны вступают в пространство взаимодействия с сильным орбитальным движением, то при некоторых условиях воз­ можно уменьшение радиусов орбит и переход кинетической энергии

76

где Z — комплексная координата ведущего центра относительно синх­ ронной волны; £ — комплексная координата, соответствующая орби­ тальному движению. Считая для определенности Q > 0, будем иметь

2л

?•• = -!• Г ^ ( Q < ) = - ! - с 6 — — = —

о

2л

О

где $ есть интеграл по окружности радиуса rQ, взятый в положитель­ ном направлении, т. е. против часовой стрелки. Первое соотношение (4.29) следует из теоремы Коши для аналитических функций, второе есть следствие однозначности функции W (интеграл равен разности значений W в одной и той же точке — до обхода и после). При Q < О получаются те же результаты.

Уравнения (4.11) принимают вид

Эти уравнения легко получить непосредственно из выражений вида

2я

=(v0 — и) -ущ- , которым при усреднении можно пренебречь, если

h\80\ « 1.

Полагая Z = X + iY, вместо первого уравнения (4.30) можно написать два вещественных уравнения

единственным условием применимости дрейфового приближения яв­ ляется неравенство (4.12), причем смысл б объяснен перед этим не­ равенством. Этот результат нетривиален, поскольку при элементарном

78