книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

Рассмотрим теперь электромагнитное поле в сечении z = z0, проведенном через отрезок волновода, заполненный токами (рис. 5.1). Если мысленно удалить токи в бесконечно малой окрестности этого сечения (в слое z 0 — 8 < z < ; z 0 + S, считая б 0), то задача сво­ дится к предыдущей: токи слева от сечения z0 возбуждают волны, бегущие направо и имеющие комплексные амплитуды Cs (z0 ), а токи справа от сечения z0 возбуждают волны, имеющие комплексные ам­ плитуды C_s (z0 ); функции Cs (z) и C_s (г) определяются формулами

же возбуждение разыгрывается в пространстве в зависимости от ко­

мени, когда со = cos. При h « hs и to»cos также наблюдаются аналогич­ ные резонансные явления, а формулы (2.17), (2.53), (2.59) и (2.60) переносятся в теорию возбуждения волноводов (см. задачи 5 и 10).

Выведенные выше соотношения легко обобщаются на случай периодических волноводов, для которых вместо выражений (5.04) имеем (L-период структуры)

є (со; х, у, z + L ) = є (со; х, у, z), ц(со; Х, у, z + L) = n (со; х, у, z). (5.15)

100

где Е", Н° — периодические функции z с периодом L , hs — волновое число, для прямой волны удовлетворяющее (при учете потерь) со­ отношению l m / i s > 0 и определяемое неоднозначно, поскольку всегда вместо hs можно взять

распространяющихся в отрицательном направлении оси г. При этом по-прежнему выполняется соотношение h_s = —hs, которое яв­ ляется следствием теоремы взаимности, вытекающей из изотропности проницаемостей (5.04) и (5.15).

Хотя структура собственных волн при переходе от однородных волноводов к периодическим усложняется, соотношение ортогональ­ ности (5.05) остается в силе; нужно только учесть, что условие гф — s для однородных волноводов эквивалентно условию \хтФ — h s , а для периодических — условию Ь,ТФ — hs + InnIL ( n = 0, ± 1, ± 2,...,), как видно из формулы (5.17). Поскольку вывод формул (5.07), (5.10), (5.12), (5.13) и (5.14) основывался на соотношении ортогональности, эти формулы остаются справедливыми и для периодических волно­ водов.

Смысл соотношения (5.17) в следующем: если разложить функ­ ции Е° и Н° в ряды Фурье по z, то (см. задачу 9) поле волны предста­ вится в виде суперпозиции пространственных гармоник, причем гар­ моника с индексом п будет иметь волновое число h\n) = hs +

Неопределенность возникает потому, что волновым числом данной волны можно назвать волновое число любой ее пространственной гармоники.

Мы изложили теорию возбуждения волноводов и убедились, что она приводит к простым соотношениям, допускающим наглядную интерпретацию. Простота полученных соотношений, равно как и простота соответствующих соотношений для объемных резонаторов, полностью соответствует простоте задач о вынужденных колебаниях линейных систем, для которых собственные колебания известны.

Недостатком выведенных формул является то, что квазистати­ ческое поле переменных зарядов в них не выделено явным образом,

как в теории возбуждения резонаторов: слагаемое 4^-}' в правой части (5.10) вовсе не является (полным) квазистатическим полем заря-

101

дов, аналогичным слагаемому—grad Ф в первой формуле (2.15). Квазистатическое поле зарядов содержится также в рядах, стоящих в правых частях (5.07) и (5.10), из-за чего эти ряды сходятся медленно. Ниже этот недостаток будет устранен.

б. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

Как известно, квазистатические поля подчиняются более простым законам и рассчитываются легче, чем поля волновые. Проис­ ходит это потому, что квазистатическое электрическое поле опреде­ ляется переменными зарядами, квазистатическое магнитное поле — переменными токами, и тесная взаимосвязь между электрическим и магнитным полями, характерная для «полноценных» волновых про­ цессов, в квазистатических полях отсутствует.

Чтобы в полученных выше выражениях для поля выделить его квазистатическую часть, введем формально переменную частоту со и устремим ее к нулю, считая, что комплексная амплитуда плотности

где k = со/с.

В силу уравнения непрерывности плотность пространственного

в которых учтена формула (5.54) и то обстоятельство, что квазистати­ ческое электрическое поле определяется зарядами, а квазистати-

102

Совершая такой же предельный переход (5.55) в формулах воз­ буждения (5.07) и (5.10), получим разложение квазистатического поля

(5.10), найдем электрическое и магнитное поля, возбуждаемые задан­

ные ряды, имеющие более сложный вид, чем исходные, сходятся быстрее. Чтобы показать это, рассмотрим поведение собственных волн высших номеров на частоте возбуждения со и частоте со - > 0, для простоты ограничиваясь однородными волноводами. Критические частоты cos волн в волноводе образуют возрастающую последователь­ ность, так что для волны большого номера s можно ввести малый пара­

ЮЗ-

т. е. члены ряда (5.59), соответствующие волнам типа Е, по порядку величины равны членам исходного ряда (5.10), умноженным на 8 Д т. е. убывают с ростом номера s значительно быстрее. Аналогичный результат можно получить для слагаемых, соответствующих волнам типа Н, и для магнитного поля (5.60). Исследование периодических волноводов показывает, что для них ряды (5.59) и (5.60) сходятся также быстрее исходных рядов (5.07) и (5.10), только в качестве малого параметра нужно брать величину

(5.59) и (5.60) в них с большой степенью точности можно ограничиться

которых недалеки от частоты сигнала (6„^1), и квазистатическое поле.

Постараемся объяснить, почему новые ряды, стоящие в правых частях (5.59) и (5.60), сходятся быстрее исходных. Для этого возьмем элементарный диполь, т. е. ток, сосредоточенный в бесконечно малом объеме. Поля Е и Н в этом случае имеют особенности, и ряды в правых частях (5.07) и (5.10) вблизи диполя сходятся плохо. Поскольку раз­ ности Е — Е и Н — Н имеют особенности, менее сильные (это утвер ж- дение нетрудно проверить на примере диполя в свободном пространст­ ве, см. задачу 11), они могут быть представлены рядами, сходящимися лучше.

Рассмотрим подробнее смысл квазистатических полей Е и Н. Прежде всего, мы получили не совсем то, что в резонаторах, где было только квазистатическое электрическое поле — grad Ф, определяемое зарядами, а теперь мы имеем также магнитное поле Н, которое опре­ деляется плотностью электронного тока j и, кроме того, электриче­ ским полем Ё, т. е. током проводимости и током смещения. Чтобы понять, почему так получилось, нужно иметь в виду, что из общих

104

уравнении электромагнитного поля можно вывести две различные системы уравнений квазистатического поля. Обычно пренебрегают токами смещения, но учитывают закон электромагнитной индукции

и таким образом приходят к уравнениям низкочастотных электри­ ческих цепей, в которых токами смещения пренебрегают всюду, за исключением небольшой части пространства внутри конденсаторов. В задачах, которые нас интересуют, пространство внутри волноводной системы на низких частотах можно рассматривать как конденсатор (или как электронную лампу) и токами смещения пренебрегать нельзя. Поэтому мы пришли к другим уравнениям квазистатики, которые вытекают из уравнений поля, если пренебречь в них электромагнит­ ной индукцией, но сохранить токи смещения

Для решения уравнений (5.56) можно применять обычные методы

и получаем для скалярного потенциала Ф обобщенное уравнение

тогда для векторного потенциала А получается обобщенное (вектор­ ное) уравнение Пуассона

Таким образом, квазистатическое электрическое поле определяется переменной плотностью заряда по тем же законам, что и в резонаторах. Квазистатическое магнитное поле, которое можно назвать «магнит­ ным полем пространственного заряда», как правило, не имеет значе­

ских скоростях пренебрежимо мало (по крайней мере в свободном пространстве, см. задачу 12).

Оказывается, что в лампе с бегущей волной типа О все сложное электрическое поле (5.59) практически сводится к двум слагаемым: полю синхронной волны (предполагается, что такая волна одна) и ква­ зистатическому полю (5.69). Физически этот результат легко понять (мы встретились с ним в теории магнетрона): электронные сгустки движутся вместе с синхронной волной, и создаваемое ими поле про­ странственного заряда также движется со скоростью, существенно

105

меньшей скорости света. В системе координат, связанной со сгустками, это поле чисто статическое, если сгустки движутся без деформации. Медленная деформация сгустков и переход к лабораторной системе координат превращают статическое поле в квазистатическое без какихлибо иных последствий (ср. задачи 13 и 14).

Заметим в заключение, что с помощью теории возбуждения волно­ водов можно рассчитывать и немонохроматические поля, например поля движущихся зарядов, диполей, последовательностей сгустков и т. д. Для этого достаточно применить разложения в ряды или интег­ ралы Фурье по времени (см. 1-ю лекцию).

тока j 2 , используя соотношения, примененные в задаче 5 ко 2-й лекции. Применяя лемму Лоренца к двум собственным волнам в волноводе, вывести

соотношение ортогональности (5.05). Считать (см. начало лекции), что поля об­ ращаются в нуль на некоторой цилиндрической поверхности S0, охватывающей волновод (эту поверхность можно провести внутри металлических стенок на до­ статочной глубине).

4 л

divfEiH,]—div . [ E , H 1 ] = — (НЕ, — ] , Е Х ) .

с

Интегрируя по произвольному объему V, ограниченному поверхностью 5, и при­

меняя теорему Гаусса — Остроградского, получаем соотношение (а). Оно выве­ дено для случая, когда є и |я суть непрерывные функции координат, но остается справедливым и при наличии скачков (см. задачу 5 ко 2-й лекции).

Применим теперь лемму Лоренца к двум собственным волнам в волноводе; поскольку для них возбуждающие токи отсутствуют, правая часть соотношения

(а) равна нулю и мы имеем

s