Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При наличии решетки с периодом L по оси z возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющие

	а—	(о	2ля
kx = 0, ky,n=	I k2—kz,n,	kz,n=	+ ——
		v	L
(n = 0.	± 1 , ± 2 , . . . ) ,


которые можно либо трактовать	как пространственные гармоники плоской вол
ны согласно формуле (а), либо, определяя угол "&п соотношением
ky.n = k S i n # n ,		k2,n — k COS#„,
выводить из основной формулы теории		решеток
k (COS	— cos do) = - — •

Это соотношение можно получить таким путем: поле, возбуждающее ре шетку, по оси z имеет фазовую зависимость, определяемую множителем e l k z c o s *°. Токи, возбуждаемые на решетке и являющиеся источниками поля, создаваемого решеткой, имеют более сложную зависимость от z, поскольку в пределах одного периода решетка имеет произвольную сколь угодно сложную форму. Вместе с тем, эта форма повторяется в каждом периоде, так что в точках, сдвинутых на

целое число периодов (Аг =	mL,	т =	± 1 , ± 2 , ... ), токи	отличаются	фазовым
множителем e ' * A z C 0 S * ° =	e.lkmL	c o s *о.	Поэтому любая	декартова	состав

ляющая поля решетки при i/=const есть произведение периодической функции Z (с периодом L) на фазовый множитель e t f t 2 C 0 s * ° . Разлагая периодическую функ цию в ряд Фурье и учитывая, что каждая декартова составляющая поля решетки, например Нх, удовлетворяет волновому уравнению

		д2Нх		д2Нх
получаем для нее представление
		Нх =	со
		Нх =	2	Cn e'(W+*.n),
		п = —оо
где Сп	— постоянные,	a k y > n	и кг>	п определяются формулами, выписанными
выше,	причем корень	для kyt п	вычисляется так, чтобы было				либо ky3 п ;> О
{волна, уходящая от решетки), либо				ky^ п	= i \ k y	< n \ (волна,	затухающая при
удалении от решетки). В первом случае					мы получаем обычные плоские волны,
которые и создают излучение Смита — Парселла.
Правда, источник этого излучения — заряженную нить — нельзя реализо
вать физически. Если над той же диффракционной						решеткой пролетает не нить,
а точечная частица, то согласно решению задачи						4 в плоскости у, z она при
К \| У I 3> 1 создает поле

мало отличающееся от поля неоднородной плоской волны, создаваемой нитью. Поэтому в плоскости у, z диффракционные поля в обоих случаях будут подчи няться одинаковым закономерностям.

6. Найти статическое распределение потенциала в плоском диоде (рис. 1.1),

пренебрегая	распределением скоростей и	совмещая	потенциальный	минимум
			дФ
с катодом,	т. е. ставя граничные условия	Ф = 0 и	=г— = 0 при г =	О, Ф =

= U = const при		z =	D. Считать, что электроны покидают катод (потенциаль
ный минимум) со скоростью*
			f	v*f0(v)dv
			о
			f	и/о (v)	dv
			о
Вычислить /О(У)	и	w для максвелловского			распределения скоростей у катода,
приведенного в задаче			1.
Показать,	что при		w = 0 зависимость		плотности анодного тока / от анод
ного напряжения		U определяется законом трех вторых. Найти поправки к этому

закону, обусловленные скоростью ш, а также фактическим несовпадением по тенциального минимума с катодом (см. задачу 2). Показать, что поправки к анод ному току, связанные с током эмиссии / е , существенно меньше, чем поправки, связанные со скоростью w.

Последнее важно по следующей причине. При отсутствии пространствен ного заряда флюктуации анодного тока ( дробовой эффект) повторяют флюктуа ции тока эмиссии, а при ограничении анодного тока пространственным зарядом флюктуации тока эмиссии практически не сказываются на анодном токе: флюк

туации анодного	тока вызываются, в основном, флюктуацией	средней	скоро
сти W.
Р е ш е н и е .	Обозначим плотность анодного тока через	/ (/ < 0);	тогда
плотность заряда в точке с потенциалом Ф равна

Р = — ,	/	< 0 -
ш2	2е	Ф
ш2	— —	Ф
V	т
V

где радикал определяет согласно закону сохранения энергии скорость электронов в данной точке. Уравнение Пуассона имеет вид

d2Ф	=	— 4яр =	4л/
	=	— 4яр =	1е
			1е
		/	w* — — Ф
dO		/	т
dO
Умножая его на и интегрируя, получаем
J	1 /	w2 — — Ф
о	у	т

где мы воспользовались граничными условиями на катоде. Переписывая последгіФ

нее соотношение в виде (считаем д^~> 0, см. рис. 1.1)

ЙФ	-V-	- dz
ЙФ	і /	8 я т / ,
2е	_ ш
— ф	_ ш
т

* Определенная таким образом скорость w есть средняя скорость электро нов, идущих к аноду. Можно показать, что, вводя такую скорость, мы в первом приближении учитываем влияние распределения скоростей f0(v) на анодный ток и распределение потенциала.

и интегрируя, приходим к соотношению

_ і / 8 я ш / г,

(a)

2е Ф — w

дающему зависимость Ф от г, т. е. распределение потенциала в диоде, а при Ф

=U и г = D — зависимость / от U.

Положим сначала w — 0. Тогда соотношение (а) примет вид

Y_J!L

± ф г / і = і /

8птіг

и л и Ф = і / _ 8 1 " ' m / * г 4 / 3 .

Полагая Ф = {/ и z = D , получаем формулу трех вторых

	1	і /	2 Т І / 3 / 2
;	9я	V	т

Вычисление интеграла (а) при w > 0 довольно громоздко, но выполняется в эле ментарных функциях. При этом вместо формулы трех вторых получаем более сложную формулу

				т	\ з / 2
		2е	\	U — — - w
		2е	\	2е
'	9л '	rn		D 2
X / 1 - — -	w	\	/	1 +	2а>
X / 1 - — -		- \		1 +

Считая, что начальная скорость w мала по сравнению с конечной:

можно упростить эту формулу следующим образом:

	^--V		— ^-l^'-—-—\						(Ь)
									(Ь)
					т	и
					т
где сохранены только		члены порядка є =			—.	а	члены	порядка є
отброшены.				Г	т
отброшены.		w
Вычислим теперь		w	для	максвелловского	распределения.			Если	через
Ф т <	0 обозначить значение Ф			в потенциальном минимуме при z				= z m >	то со
гласно	закону'сохранения энергии скорость электрона vm					в	минимуме связана
с его скоростью v у катода			соотношением

mvli	еФт	> 0.

Если распределение скоростей у катода — максвелловское (см. функцию f(t, О, v) в условиях задачи 1), то распределение у потенциального минимума — такое же, и

"т

Вычисляя интегралы для w, получаем

Если

взять

сравнительно

низкое

напряжение

t/ = 10 в,

то

получим

є ~

1, є 2

~ 0,01

(см. задачу 2); при более высоких

напряжениях

снижается

до значений

порядка 0,01.

Формулу (Ь) можно было бы уточнить, заменяя

U на U — Фт

и D на D —

—

гт

(величина г т зависит от тока эмиссии, см. задачи

1 и 2), но такие замены

дают гораздо меньший вклад, чем поправочный

член в формуле (6); это следует

из

чисел, полученных в задаче

Впрочем,

уже

из

предыдущего

ясно, что

1Ф™1 о2

и~є •

СП И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 1-й ЛЕКЦИИ

1.Л. А. В а й н ш т е й н . Электромагнитные волны. Изд-во «Советское радио», М, 1957 (гл. 1).

2.Дж . Д ж е л л и. Черенковское излучение. Изд-во иностранной литературы,

1960 (гл. 1, гл. 2, § 1—3; гл. 3, § 4 и 7; гл. 4, § 4 и 5; гл. 11, § 9).

3.	Дж .	Д ж е к с о н .	Классическая электродинамика. Изд-во	«Мир», 1965
	(гл.	17).
4.	В. М. Ч е р н е н к о .		Возбуждение колебаний в открытых	резонаторах
	ультрарелятивистскими электронными сгустками. В сб. «Электроника боль
	ших мощностей», вып. 6. Изд-во «Наука», 1969, стр. 135—146.

5.Л. А. В а й н ш т е й н . Теория дробового эффекта при наличии простран ственного заряда. Сборник научных трудов, вып. X I . Изд-во «Советское ра дио», 1948.

6.Л. А. В а й н ш т е й н . Депрессия дробового эффекта в цилиндрических диодах. К теории дробового эффекта. ЖТФ, 1947, т. 37, № 9, стр. 1035—1044, 1045—1050.

7. Л. Б о л ь ц м а н. Лекции по теории газов, Гостехиздат, 1956.

8.А. А. В л а с о в. Теория вибрационных свойств электронного газа и ее при ложения. Ученые записки МГУ, вып. 75. «Физика», кн. 2, ч. 1, 1945.

2 Зак. 112 3

Л е к ц и я 2

ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Как было сказано в 1-й лекции, система уравнений электроники включает в себя уравнения поля и уравнения движения, которые нужно решать совместно. В связи со сложностью задач сверхвысо кочастотной электроники возникает необходимость в дальнейших аппроксимациях. Наиболее часто производится разбиение поля на резонансную и нерезонансную части; последняя связана с дейст вием пространственного заряда и аппроксимируется тем или иным образом.

Это разбиение наиболее четко и просто проводится для полей в объ емных резонаторах. Ниже будет рассмотрено возбуждение колеба ний в объемных резонаторах заданными токами фиксированной частоты; в силу линейности этой задачи ее решение позволяет ана лизировать сложные периодические процессы в объемных резона торах, а также процессы, близкие к периодическим.

Полученные соотношения можно применять к резонансным элект ронным автогенераторам, в которых генерируемое поле распреде лено в пространстве так же, как добротное собственное колебание резонатора. По существу, роль электронов в таких генераторах сво дится к тому, чтобы поддерживать это колебание, компенсируя по тери, и мы рассмотрим это взаимодействие электронов с резонан сным полем с общей точки зрения.

а. РАЗЛОЖЕНИЕ П О СОБСТВЕННЫМ К О Л Е Б А Н И Я М

Возбуждение объемного резонатора рассматривается в сле дующей идеализации: поле резонатора занимает конечный объем V и не проникает за пределы некоторой замкнутой поверхности S, огра ничивающей этот объем V. Задан возбуждающий ток

j(0 =	R e { j ( c o ) e - ^ } ,		(2.01)
и надо найти возбуждаемое	им	поле
Е (t) = Re {Е (со) е~ш		}, Н (0 = Re {Н (со) е - ' » ' },	(2.02)

комплексные амплитуды которого удовлетворяют уравнениям

rotE = ifc\|iH,	r o t H = —	ifo$E + — j ,	(2.03)
где (см. 1-ю лекцию)		с
где (см. 1-ю лекцию)
k = —,	є = є(со),	Li = fx(co).	(2.04)

В дальнейшем зависимость Е, Н, є и. ц от со будет лишь подразуме ваться.

О самом резонаторе предполагается известным следующее: у него имеются собственные колебания, характеризуемые комплексными частотами

« , - « ; - « - ; « г - ^ - .

( а д

образующими дискретный спектр (дискретность спектра обусловлена тем, что поле занимает конечный объем V). Электромагнитное поле каждого собственного колебания имеет вид

E(0 = Re{E,e-"»r'},

H(/)- = Re { H r e - ' f f l r ' } ,

(2-08)

и применение комплексной частоты (2.05) просто означает, что времен ной множитель

e - / a > r t _ e-l®'r

t &-<а"г t

определяет поле, колеблющееся с круговой частотой со'г и имеющее коэффициент затухания со"г. Комплексные амплитуды Ег , Н г удовлет воряют однородным уравнениям

rot Er = ikr LI H r , r o t H r = — ikrnEr

^ft, = - ^ - j

(2.07)

с теми же є и [і, что и в уравнениях (2.03); таким образом, частоты (2.05), нумеруемые с помощью индекса г, зависят (хотя, как правило, довольно слабо) от частоты возбуждения со.

При данной постановке задачи вывод мощности в нагрузку учи тывается как ее дополнительная диссипация в некотором «поглощаю щем пятне» на стенке резонатора. Затухание со"г включает в себя затухание, вызванное выводом мощности, так что Qr есть нагруженная добротность.

Искомые поля Е и Н можно представить в виде

Е =	S U r E r - g r a d < D ,	Н = 2 В Г Н Г ,	(2.08)
	г	г	\
где суммирование	производится по	всем колебаниям,	\
где суммирование	производится по	всем колебаниям,	образующим

(это доказано по крайней мере в простейших случаях) полную систему

векторных соленоидальных		функций, подчиненных условиям
	div_(eEr) = 0,		div (цНг ) = 0	(2.09)
и удовлетворяющих	соотношениям		ортогональности
$ eE r E s dl / = 0,		^ LiHr H s dV = 0 при		г}ф s,
V		• V

где интегрирование производится по всему объему, занятому полем (включая объем поглощающих и диэлектрических вставок, скинслой в стенках и т. д.). Соотношения ортогональности вытекают (см.

задачу 5) из	уравнений	(2.07) и позволяют определить неизвестные
коэффициенты	Ат и Вг	в выражениях (2.08), подставляя последние
в уравнения	(2.03).

Математическая	причина, вследствие которой в выражении
(2.08) для Е входит	дополнительное слагаемое — grad Ф, а в вы

ражении для Н такого слагаемого нет, заключается в том, что согласно

уравнениям	(2.03)
	div(eE)=£0,	div((xH) = 0.
Физический	смысл этого слагаемого	будет разъяснен ниже.
Опуская	выкладки (они даны в задаче 6), приведем лишь окон

чательные соотношения. Коэффициенты Ат и Вт определяются вы ражениями

V		V
где
Nr = — [eEfdV=	- f ( i H » d V	(2.11)
v

есть норма колебания.

Потенциал Ф, входящий в первую формулу (2.08), удовлетворяет

обобщенному уравнению Пуассона
div(egrad<D) = — 4яр,	(2.12)
где
p = - L d i v j	(2.13)
гсо

есть комплексная амплитуда плотности заряда, связанного с током

соотношением (1.04).	При е =	1 (или є = const) уравнение	(2.12)
переходит в обычное	уравнение	Пуассона.
Слагаемое — grad	Ф есть	квазистатическое электрическое	поле

пространственного заряда, плотность которого колеблется с частотой to. Все остальные слагаемые определяют, вообще говоря, резонансные

^іоля: если добротность Qr достаточно						велика		и частота возбуждения
со	лежит	в надлежащих		пределах,		то	соответствующие			значения
Аг	и Вг	могут	стать большими.
	Отметим, что коэффициенты Ат и Вг						в общем случае отличаются;
лишь при о)лсог , когда Ат и Вт велики,							мы имеем АгжВг.			Если ис
пользовать тождества
	СО	_ 1 /	1	1	\	С0Г	_	1 /	1	1 \
со2 — (of		2 V со — <вг		со +	ч>г I '	— ш г		2	\ СО — (йг	со -f- сог / '

то Ат представится в виде суммы, а В , — в виде разности двух других величин. Этим новым величинам можно придать следующий смысл.

Формально	сопоставим	каждое колебание с частотой юг и векторами
Ег , Нг с	колебанием,	обозначаемым индексом — г,	определяемым
формулами
ю _ г = — <or,		Е _ Г = ± Е Г , Н.Г = Т Н „ N.r	= Nr	(2.14)

удовлетворяющим

уравнениям (2.07)

при

замене т н а — г .

Тогда

выражения

(2.08) можно

переписать

ином

виде:

Е = S

{Сг Er

+ C_r

E_,.)-grad Ф,

(2.15)

H = S ( C r H r + C_r H_r ),

где

—

Г j E r dV,

C _ r =

L j j E _ r r f l / .

(2.16)

2 (со— сог) W,

2 (ffl+e>r) JV,r v

Эта запись, хотя в принципе ничего нового не дает, часто более

удобна для выделения резонансных слагаемых, поскольку

при

с о > 0

выражениях

(2.15)

только Сг

могут принимать большие

значения,

С_г

всегда

ограниченны. Если в выражении (2.01) j (со) есть мед

ленно

меняющаяся

(по

сравнению

е - ' и ' ) функция t,

то

коэф

фициенты

Ст

и С__г в формуле

(2.15) также

будут

медленно

меняю

щимися функциями t; можно показать

(см. задачи

1 и 2),

что они

будут

удовлетворять

уравнению

(2.17)

Простота этого уравнения также свидетельствует о полезности ве

личин Ст и С _ г .

Если резонатор возбуждается, скажем, вблизи частоты какогонибудь одного собственного колебания и собственные частоты других колебаний достаточно далеки от частоты возбуждения, то все слагае

мые в формуле (2.15), кроме одного,		определяют	поля, не имеющие
в этом диапазоне частот	резонансных	свойств: это — «нерезонансный
фон», накладывающийся	(вместе с «чистым» полем		пространственного

заряда) на соответствующее резонансное поле. Нерезонансный фон явно зависит от частоты, в то время как зависимость поля пространст венного заряда от частоты обусловлена только тем, что є = є (to). Нерезонансный фон можно рассматривать как динамическую поправку к полю пространственного заряда, имеющему электростатический характер.

Применяя резонаторы в сверхвысокочастотной электронике, обыч но стараются добиться того, чтобы прибор работал на определенном колебании, а другие колебания не возбуждались. Иногда это получает ся само собой, но, например, в мощных генераторах, где нужно уве личивать пространство взаимодействия, и в диапазоне очень коротких волн (миллиметровых и субмиллиметровых) приходится применять специальные меры. Эти меры обычно сводятся к тому, что собственные

частоты нежелательных колебаний	уводятся из	зоны генерации,
т. е. подальше от частоты рабочего	колебания	(например, связки

в магнетронах), или же нагружают нежелательные колебания, сни жая их добротность и тем самым не давая им конкурировать с рабочим


колебанием. Часто	применяются	диссипативные		нагрузки — погло
щающие вставки, другим способом снижения добротности					конкури
рующих колебаний является применение открытых				резонаторов, в ко
торых сравнительно небольшое		число колебаний		весьма	добротно,
а остальные имеют большие потери на излучение.
Открытые резонаторы в электронике используются еще мало.
Одним из первых	приборов такого рода		является	оротрон — элек
тронный автогенератор миллиметровых			и субмиллиметровых волн

с открытым резонатором и отражающей решеткой. Открытый резо

натор этого прибора образован двумя

зеркалами — плоским и вогну

тым (рис. 2.1), собственное колебание в этой

і Вывод

системе имеет вид квазиплоской стоячей вол-

ны между зеркалами. На плоском

зеркале

п UiJJJ ""UjJJ iUh

расположена

периодическая структура —от-

ражающая решетка, над которой пропускает

ся плоский электронный пучок. Вывод энер

гии

производится

через

вогнутое

зеркало:

в миллиметровом

диапазоне

нему

подво

дится

волновод

(рис. 2.1), в

субмиллиметро-

Пучок

вом диапазоне это зеркало делается слегка

прозрачным

и генерируемое

поле

выводится

в виде

квазиплоской

волны.

Если отвлечься от своеобразной электро

динамической

системы, то оротрон

является

Р И С '

^матически)*1 1 ^С Х 6

резонансным

прибором типа О, в котором с

м тич ки;.

пучком синхронизируется

первая

пространст

венная

гармоника

собственного

колебания

(как

ниготроне,

см. следующую

лекцию). Поскольку период L

решетки

существенно

меньше

длины

волны и пространственные гар

моники

возникают

результате

нормального

падения

квазипло

ской

волны, п-я пространственная

гармоника

имеет

[см.

форму-

лу

(1.64)] по оси z волновое

число

kZfTl

—

2JT/Z

и фазовую

скорость

и — -г-^- = с 4- <С с

(при

п — 1,

... ) .

Главное

преимущество

оротрона заключается в том, что, имея габаритные размеры гораздо большие длины волны, он работает на одном колебании, которое может быть рассчитано теоретически.

В добротных резонаторах обычного типа (пустых, с хорошо про водящими стенками) добротности всех колебаний обычно велики, по этому нерезонансный фон является реактивным, т. е. на его возбуж дение почти не тратится активная мощность, как видно из формул (2.10) и (2.16). В резонаторах с диссипативной нагрузкой добротности многих колебаний низки, однако эти колебания возбуждаются с мень шими амплитудами и поэтому нерезонансный фон также можно счи тать реактивным. В открытых резонаторах нерезонансный фон имеет более сложный характер — он связан с излучением электромагнитной энергии из резонатора, и поэтому на его возбуждение тратится актив ная мощность. Оказывается, что при сосредоточенном возбуждении

(диполем, малым отверстием связи и т. д.) эта мощность сравнима

смощностью, передаваемой резонансному колебанию; последняя

рассчитывается по первой формуле (2.16), остающейся справедливой и для открытых резонансных систем; в этом опять-таки сказывается

преимущество		формулы	(2.15).
	В заключение скажем несколько слов			о	комплексных частотах
сог. Как уже отмечалось, из-за зависимости				є (со) и ц (со) имеем		сог =
=	сог (со); однако эти зависимости обычно слабые, поэтому в пределах
резонансной кривой колебания с индексом					г можно считать	сог =
=	сог (сог) или	же сог =	« г (со'г), так как	Qr	^> 1. Если рассматри

вать не вынужденные колебания под действием периодических или почти периодических токов (как это было до сих пор), а свободные


колебания,		наступающие		после	прекращения действия						источников,
то они происходят на частотах сог					(сог) и поэтому несколько отличаются
от собственных колебаний, введенных выше. По								полям		Ег , Нг собст
венных	колебаний мы		производили				разложение	поля		в	резонаторе
(в этом	и заключается		смысл их		введения); векторы				Ег ,		Нг удовлет
воряют	уравнениям (2.07). Свободные же колебания								удовлетворяют
уравнениям		(2.07), в которых надо				положить
			Є	=? Є (0)Г )		И	LI = (U (сог),

причем, как уже говорилось, комплексные частоты сог свободных и

собственных колебаний	несколько отличаются друг от друга.
б. ПРИМЕНЕНИЕ	К РЕЗОНАНСНЫМ АВТОГЕНЕРАТОРАМ
Пусть мы имеем резонансный автогенератор (отражательный
клистрон, магнетронный	генератор и т. п.), состоящий из объемного

резонатора и электронного потока. Относительно резонатора сделаем предположение, что он является высокодобротным и возбуждается на одном колебании с индексом г, а все остальные колебания дают нере зонансный фон.

В уравнении (2.17) под j понимается і (со) — комплексная ампли туда плотности тока j (t). Если последний не является чисто гармони ческим, а является периодической функцией t (с периодом 2л/со), то

его можно представить в виде (1.16), под j	(со) понимать j4 и вычислять
j (со) по формуле
j(f f l ) = 27(0^=',	(2.51)

где черта сверху означает усреднение по времени, т. е. интегрирование по любому промежутку времени длиной 2я/(о и деление на этот про межуток. Если колебание в резонаторе не является стационарным

-^=7^=0), то связанный с ним электронный ток не является строго

периодическим и результат усреднения зависит от положения про межутка усреднения на шкале времени. Этот результат не является неожиданным: в нестационарных режимах величина j (со) должна являться медленно меняющейся функцией времени и поэтому, строго говоря, должна записываться, например, как j (со, t). Однако способ

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ