Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

нить как «связыванием» силовых линий	на стенках, так и появлением в стенках
зарядов-изображений, компенсирующих поле данного заряда.
7. Показать, что норма (5.13) в волноводе без		потерь (е и	ц вещественны)
для распространяющихся волн пропорциональна		мощности.	Воспользоваться
соотношением
E _ S = ± E * ,	H _ s = T H s ,		(а)

предварительно доказав его (в этом соотношении надо брать либо верхние, либо нижние знаки). Рассмотреть случай малого затухания, практически не влияю щего на распределение поля при z = const.

Р е ш е н и е .	Поля	Е*,	Н*	удовлетворяют уравнениям	rot Е* =
= — ik\iH, r o t H = t f e E *		(є*	= є,	\і* = [І), поэтому поля	E _ s , H _ s ,

определенные соотношением (а), удовлетворяют уравнениям (5.03) и, кроме того, имеют нужную зависимость от z (е ' s Z ) . Имеем

W S = = F - ^	f {[ES H] + [EHS ]) l d S = T ^ R e	f [ E s , H s *] 2 d5=T4P s ,
s	-	s

где Ps — активная мощность, переносимая волной номера s через поперечное сечение.

Если затухание мало и не влияет на поперечное распределение поля, то последнее соотношение справедливо, если под Ps понимать активную мощность при г = 0, поскольку при достаточно больших | z | отличие Ns от Т 4PS станет заметным.

8. Найти соотношение между полями прямых и встречных волн в периоди ческих волноводах с зеркальной симметрией (например, в гребенке), где

є(х,	y,—z) = e(x,			у, z),	[А(х,	y,—z) =		\i(x, у,	г),
и периодических	волноводах		с центральной			симметрией (например, в				спирали),
где
г( — х,	—у,	—z) =	e(x,	y,z),	ц(—х,		—у,	—г) =	ц(х, у,	г).
Р е ш е н и е .	В	первом	случае,		записывая		уравнения		(5.03) для		поле і
прямых волн, рассматриваемых в точке х, у,						— г, и производя замену г' =					— z,

получим уравнения, совпадающие с уравнениями для встречных волн, если по ложить

E L S ( * .	у,г)=Т*1(х,у,	- г ) ,	1\[_5(х,	у, г ) = ±Н\(х,	у,	- г ) ,
Е І 5 ( х ,	У, г) = ±Е13(х,у,	— г ) ,	Hl_s(x,	у, г ) = Т Hls(x,	у,	—г).

Аналогично, получается связь между полями прямых и встречных волн для си

стем с центральной

симметрией

E_s(x,

у, z) =

E s (—X,

—у,

— z),

H _ s (х,

у,

z) =

¥ H s ( — х,

—у,

—г).

Разложить поля (5.16) в ряд по пространственным гармоникам

и найти

волновые числа

последних.

Из

теории

волн в

периодических

структурах

известно,

что

при

условии

е' s _

_j_ j формула

(5.16)

соответствующая

ей

формула для встречной

волны

где

-s =

Е—s (х, у,

~s ,

H _ S = H _ S ( * ,

у, г)е

~ s ,

h.s=-hs+—^-

2лр

(р = 0,

± 1 , ± 2 , . . . )

НО

становятся неприменимыми. Выяснить смысл этого положения, конкретизиро вать его на примере волн в однородном волноводе без потерь. Показать, что при

			llt4L	,	I
учете потерь	условие е		8 =	±	1 выполняться			не может.
Р е ш е н и е .		Разлагая		Е°	и	Щ — периодические функции				z — в ряды
Фурье, получаем
				. 2nnz					. 2япг
									i-
откуда
E s =	2	Е<"> (х,		у) е "s		,	H s «=	2	Н І » ) ( х , у ) е	!
где	П =	— оо					п= —		оо
где				2ля
				2ля
		ь — S = А , 4 — Г "				(я = 0, ± 1 , ± 2 , . . . )
волновое число л-и пространственной							гармоники.
При условии
		е « = ± 1, As = ^ - (9 = 0, ± 1 , ± 2 , . . . )
волновые числа пространственных					гармоник прямой и встречной волн становят
ся неразличимыми, ибо
		ш	я(2р +		2п-д)		1 п ,		л(2я + <?)
		- s	~	L			'		L
и
				A ( n +		P - < 7 ) = A ( « s ) )

так что это условие означает, что все волновые числа пространственных гармоник для прямой и встречной волн совпадают. Таким образом, исчезает различие меж ду прямой и встречной волнами, т. е. формулы для E s и H s фактически совпадают

сформулами для E _ s и H _ s .

Воднородном волноводе с идеально проводящими стенками ( без потерь) на критической частоте, как известно, h = 0 и, таким образом, нет различия между прямой и встречной волнами—между затухающей в положительном на правлении оси z и затухающей в отрицательном направлении. Поскольку мно жители

F (г) = е ± ' А г ,

определяющие в общем случае зависимость полей от г, получаются в результате решения дифференциального уравнения

—+ № 0 ,

при h = 0 они заменяются либо на единицу (что тривиально), либо на линейную функцию г, что и показывает недостаточность экспонент в этом особом случае.

Этот особый случай не может реализоваться при учете потерь, когда l m / i s > 0 и \ u l h ' L \ < \

и, следовательно, прямая и встречная волны всегда имеют экспоненциальную зависимость от z.

10. Перенести соотношения (2.59) и (2.60), а также более общие соотноше ния, полученные в задаче 7 ко 2-й лекции, в теорию возбуждения волноводов

и вскрыть их физический смысл. Воспользоваться решениями задач 5 и 7. Счи тать, что hs = h's + t'Aj причем коэффициент затухания h"s положителен

идостаточно мал.

Ре ш е н и е . Воспользуемся уравнением

dC ^		1	С
dz	S-^i(h-hs)C°s=	—	j»E» _ s dS,	(а)
	т 4

полученным в задаче 5, и будем считать в нем волновое число h вещественным,

как раньше мы считали		частоту		со в формулах (2.01) и (2.02) вещественной.
Согласно формуле (2.51) имеем
	j =	2j (t) е	ш	,	jo = 2 j (0 e''{ a t ~ h z ) .
Согласно	задаче 7 норму Ns можно				считать вещественной, поэтому, умножая
уравнение	(а) на C°S*NS	и беря	комплексно сопряженное уравнение, мы придем
к соотношению
Учитывая,	что согласно	задаче	5
		E ° _ ! S = ± E S ° , Ws = + 4 P S ,
и обозначая через Р мощность			волны номера s

а через Е (/) — ее электрическое поле

E ( / ) = Re {;CS°E° е ' ( Л г - ° " > } ,

получаем два соотношения.
dP
dz	2 А > = -	5	i(t)E(t)dS	= Ре,	(Л)
dz		~.
					(с)

где г|з есть фаза комплексной функции

с » = | с ? | ё ' * .

Учитывая, что при С° =	const справедливо	тождество
^	_аЕ(0	й г _ ю 0

можно соотношение (с) переписать также в виде

после чего аналогия с соотношениями (2.59) и (2.60) и соотношениями, получен ными в задаче 7 ко 2-й лекции, становится очевидной.

В соотношениях (b) и (с) Ре — активная мощность электронного пучка на единицу его длины, Ре •— соответствующая реактивная мощность. Соотношение

(b) есть'закон сохранения энергии: активная мощность, отдаваемая электронами*

	(	d P \
идет на увеличение мощности	волны I слагаемое	и	компенсирует		потери
этой волны (слагаемое 2h'^P)\ соотношение (с) — баланс			реактивных мощностей,
определяющий величину h +	^ при данном	г, т. е. фазовую скорость			волны
в данном поперечном сечении.
П. Поле элементарного	электрического диполя в свободном			пространстве-
(е = \|Л = 1), как известно,	можно вычислить по формулам (5.61),			полагая

gikr

П = р - ^ — ,

где р — момент диполя, г — расстояние от диполя до точки наблюдения. Полу чить аналогичные выражения для квазистатических полей, удовлетворяющих уравнениям (5.56), и показать, вычисляя составляющие полей в сферической си стеме координат г, #, ф (направление # = 0 совпадает с направлением веществен ного вектора р), что при г 0 разности Е — Е й Н — Н имеют более слабые осо бенности, чем сами поля Е и Н. Учесть, что плотность тока j , соответствующая элементарному диполю, определяется формулой

j = — ш р б (г),

где г — радиус-вектор, проведенный из начала координат, в котором располо жен диполь, к точке наблюдения.

Р е ш е н и е . Вектор Герца квазистатического поля определяется урав нением

ДП = 4л. j = — 4itp6 (г)

и имеет вид

1 П = р — .

Он определяет квазистатические поля по формулам

		Ё~= grad div П ,						Н = — iferot П.
В сферической системе		координат			г,		й,	ср имеем
				Й,				cos#
				d i v n		=	— р		— ,
									г2
Е г = р	2cosd		,	-		„	sin -&		~	..	sin О
Е г = р		г	,	Еъ-Р				—,	Н	=—ikp-	т-
		г						г3	v		т-
т. е. поле Е совпадает со статическим полем электрического											диполя, а поле Н —

с полем элемента постоянного тока. Полное поле в той же задаче имеет состав ляющие

Ег = 2р cos # ( 4 — £ - ) е ' »	=	р sin * ( ±		_ 4 - 4 ) є'*',
	, 1	ik	,	Jkr
Я ф = — ikp sin ф \| — — —			) e

так что при kr ->- 0 мы имеем

2 + k2r2

„

£2

г 2

Ет =

р cos ft — —

= р sin ft

1 + £ 2

л2

я т - —i k P s i n

;—

Er-Er=

fe2 р cos

—

fe2psinft

Я ф

Eft—Eft=

- Я ф

=—ik»psinft,

т. е. разность электрических полей имеет особенность

вида

Mr (вместо Иг3),

разность магнитных полей вообще не имеет особенности

(в то время как каждое

поле пропорционально

1/г2).

12.

Пусть два электрона,

находящихся на

расстоянии г, движутся

со

скоростями t>i и v2,

образующими

произвольный угол. Вычислить силы электри

ческого и магнитного взаимодействий между ними. Использовать решение пре дыдущей задачи, ограничиваясь квазистатическими полями. Особо рассмотреть

частный случай, когда скорости vx и v2				параллельны, равны и перпендикулярны
линии, соединяющей	электроны.
Р е ш е н и е .	Сила	электрического			взаимодействия, очевидно, равна
				г2
это — сила отталкивания		согласно	закону Кулона, которым по предыдущей
задаче можно пользоваться при достаточно малых г.
Чтобы вычислить силу магнитного взаимодействия, найдем сначала маг
нитное поле заряда,	движущегося		со скоростью vx. Для этого воспользуемся
формулой, полученной в предыдущей задаче для Н ф ; в этой формуле
		1	Р	с	dt

Если учесть, что электрический момент двух точечных зарядов —е и е определяет ся выражением р = е\, где I — в е к т о р , идущий от заряда —е к заряду е, и если считать, что заряд —е покоится, то

		dp	d l
		~dt	= e " d 7 =	e	V '
где v — скорость заряда е. Применительно к нашей задаче имеем
			eUiSinft
поэтому сила магнитного взаимодействия равна
	V2	~	Є2	~Uj v2
	Гт=е —	4ySin%	= —		sin х sin ft,
где ft —	угол между скоростью t>i и линией, соединяющей					1-й и 2-й электроны,
а X — У г ° л между скоростью v2 и магнитным полем Н.						задачи, vx = v2 = v,
В частном случае, о котором			говорится		в условиях	задачи, vx = v2 = v,
% = ft =	п
% = ft =	~2 и
			V2

fm= 7~ fei

с2

причем fm — сила притяжения. При vzzc силы fe и fm почти полностью ком пенсируют друг друга, поэтому ультрарелятивистские электронные пучки почти не расходятся под действием сил отталкивания.

13. Если в однородном идеальном волноводе, в пустоте, имеется не завися щее от времени распределение заряда, то электрическое поле вычисляется по

формуле	(см. 6-ю лекцию)
Ё = — gradcp, Ф (х,		у, z) = J G (х,	у; х, у; г— г ) р ( х , у,	г ) d V,
где G —	функция Грина для уравнения		Пуассона, которая в силу	однородности

волновода по оси z зависит только от разности г — г (точнее, от абсолютной ве личины этой разности).

Если же распределение заряда р имеет вид

р = р (х. у, z — vt),

т. е. перемещается со скоростью v по оси волновода, то в общем случае выписан ную выше формулу применять нельзя. Вычислить электрическое и магнитное поля с помощью скалярного и векторного потенциалов по формулам

				1	д\
			Е = — йтайф — с		dt- ,	H = rotA,
считая
			Ф = Ф ( х , у,z—vt),		А = А ( х , у,		z — vt)
и пользуясь волновыми уравнениями для потенциалов
			1 <Э2Ф		1	д 2 А	4л
	Выразить Ф и А через р с помощью функции Грина G, введенной выше для
Ф,	показать,	что Ф просто выражается			через Ф только при vie < 1. Показать,
что при vie С		1 сила, действующая на единицу объема, равна
			f = —	pgrad6(x, у, z—vt),				(а}
причем относительная погрешность этой формулы порядка и2 /с2 .
	Проверить выполнение граничных				условий	на идеально		проводящей стен
ке	волновода.
	Р е ш е н и е .		В данном	случае плотность тока			имеет	составляющие
			Іх=Іу'=0,	;'г = р (х, у,		г — vt)	v,
поэтому векторный			потенциал имеет единственную составляющую
				Аг =	Ф.
					с

Вводя обозначение (т. е., в сущности говоря, совершая преобразование Лоренца)

z — vt

можно переписать волновое уравнение для Ф в виде

д2Ф	д2Ф	д2Ф
дх2	1 ду2	^ dz' а - —4лр \| х, у,	— ^ г'

в то время как Ф удовлетворяет уравнению Пуассона с несколько иной правой частью

		д 2 Ф		д 2 Ф	д 2 Ф		у,	г).
					— 4лр (х,		у,	г).
Решение уравнения для Ф имеет вид
Ф(х,	у, z') =	j G ( x , у;		х, у;	г' — ? ) р [іс,	у,	j / ^ l — ^ -			z'	j
или, если перейти к первоначальным переменным г и г ,
		Ф = Ф / лг, г/,			г—vt
		Ф = Ф / лг, г/,
	=—		G I х, у: х,		и:			р (де,	{Г, г—		vt)dV-
Таким образом, в общем случае тождество
				Ф = Ф (х, у, z —of)							(Ь)
несправедливо, и		оно	получается		только при	vie	<	1,	когда	выражение
— и 2 / с 2	можно	заменить		единицей. В общем случае справедливы соотноше»
ния

с•Ех, Я 2 = 0,

вытекающие из связи Аг и Ф. При vie <С 1 сила (1.05), действующая на электрон со стороны заряда (и тока), имеющего данное распределение, определяется фор мулой (а), причем при использовании формулы (Ь) мы допускаем относительную ошибку порядка ч2 /с2 , а пренебрежение силой, обусловленной магнитным полем, дает ошибку того же порядка.

Если Ф = 0 на стенке, то Аг = 0 и Ег = 0 на стенке и другая тангенци альная составляющая Е также обращается в нуль на стенке.

14. Результаты, полученные в предыдущей задаче, заставляют предпола гать, что если определить величину v с помощью соотношения

а Р dt дР dz

то при отсутствии поперечных токов и при условии о « с силу, действующую на

единицу	объема, можно представить в виде
f = — р	gratis, Ф (х,у, z, t) = §G(x, у; х,	у; z—l)p(x,	у, z, t) dV	(а)
с относительной погрешностью порядка У2 /С2 ,		где G — функция Грина для урав

нения Лапласа.

Проверить это утверждение, считая плотность заряда р пропорциональной £«<••«—ш<) и П р и м е н я я комплексные обозначения.

Р е ш е н и е . Из уравнения непрерывности мы получаем (Jx = j y = 0)

Уравнение для Ф имеет

В данном случае

v =

со h

и с относительной погрешностью порядка v2/c2 слагаемым со2 /с2 в уравнении для Ф можно пренебречь, после чего оно превращается в уравнение Пуассона и дает для Ф выражение (а). Сила, действующая со стороны магнитного поля по порядку

величины		равна \—г) р grad Ф или - j - p g r a d ® ,		откуда	и получается выраже-
ние (а) для f.
		СП ИС ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 5-й ЛЕКЦИИ
1.	Л. А.	В а й н ш т е й н.	Электромагнитные	волны.	Изд-во «Советское ра
	дио», М., 1957 (гл. X I V , § 79—82) или ЖТФ, 1953, т. 23, № 4, стр. 653—666.
2.	Л. А. В а й н ш т е й н.		Электронные волны	в периодических структурах.
	ЖТФ,	1957, т. 27, № 10, стр. 2340—2352.

3.В. А. С о л н ц е в . Возбуждение однородных и периодических волноводов сторонними токами. ЖТФ, 1968, т. 38, № 1,стр. 100—108.

4. В. А. С о л н ц е в,	А. С. Т а г е р. Возбуждение волноводных	систем
электронным потоком	с заданной модуляцией. «Радиотехника и	электро
ника», 1960, т. 5, № 7 , стр. 1100—1111.

Л е к ц и я 6


	ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ
	ТИПА		О
	Опираясь на теорию возбуждения волноводов, мы в данной					лекции
	сформулируем общую линейную теорию лампы с бегущей волной
	типа О, применимую для любых замедляющих систем и для элект
	ронных пучков любого поперечного сечения, и таким образом из
	бежим		рассмотрения многочисленных	частных	случаев.	Вместе
	с тем эта формулировка позволит нам в 7-й лекции				перейти	к нели
	нейной теории, также обладающей достаточной общностью.
	При построении теории лампы с бегущей волной, как и любого элек
	тронного прибора (см. введение), важно исследовать как идеальный
	механизм фазировки, так и наиболее существенные возмущающие
	факторы. Линейную теорию лампы с бегущей волной удается по
	строить, не слишком ее усложняя, при учете конечных поперечных,
	размеров пучка и влияния пространственного заряда.
	а.	ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ
	В	лампах с бегущей волной распространение электро
магнитных	волн		сопровождается модуляцией	электронного		пучка,
в котором	появляются переменные конвекционные токи. Эти					токи,

в свою очередь, влияют на электромагнитное поле; особенно сильна взаимное влияние (волны на пучок и пучка на волну) при наличии

синхронизма	волны и	пучка, т. е. резонанса в пространстве. Такие
волны — их	можно	называть электронно-электромагнитными или
просто электронными		волнами — и будут рассмотрены ниже.

В этой лекции мы рассмотрим теорию электронных волн в одно родных волноводах. Полученные результаты можно обобщить на случай периодических волноводов; поскольку при этом основные ре зультаты сохраняются, то не будем приводить соответствующих соотношений, отличающихся громоздкостью.

Прежде всего, однако, перечислим предположения, при которых, проявляется идеальный механизм фазировки, характерный для лампы

с бегущей волной		как	в	линейном, так и		в	нелинейном режимах:
1) прямолинейный пучок, состоящий из						электронов		с	одной и
той же	продольной скоростью;
2)	поперечные	движения невозможны,				и	учитывается		только
продольное движение под действием синхронного поля;
3)	бесконечно	тонкий		пучок,	на все электроны действует одно
и то же продольное поле бегущей волны;
4)	малый параметр		усиления		(который	мы ниже		обозначим
через є);

5) силы пространственного заряда пренебрежимо малы.

Если эти предположения принять, то теория лампы с бегущей волной строится сравнительно просто, и это давно сделано; заверше нием этой теории является работа Нордсика, в которой, кроме того, сделана попытка освободиться от 3-го предположения.

В дальнейшем теория развивалась так, чтобы охватить более мощные лампы, в которых используются плотные и широкие пучки. Для реальных электронных пучков, имеющих умеренную плотность тока, предположения 4 и 5 были сняты; однако отказ от других пред положений приводит к значительному усложнению теории, и на этом пути достигнуты лишь частичные успехи.

Линейную теорию можно построить, опираясь только на 1-е и 2-е предположения. Кроме того, предполагаем, что не только продоль ная скорость ve, но и плотность пучка р е постоянны при отсутствии переменных полей; последнее предположение вводится для простоты, и при желании от него можно освободиться.

Наиболее существенно 2-е предположение, эквивалентное пред положению о бесконечно большом магнитном поле. Его смысл в сле дующем.. Поскольку постоянное магнитное поле (или соответствую щая периодическая фокусировка) применяется затем, чтобы препят ствовать расхождению пучка — поперечному движению электронов под действием статического поля пространственного заряда, то по стоянное магнитное поле (или фокусирующая система другого типа) в какой-то степени препятствует и поперечному движению электронов под действием переменных полей.

На самом деле поперечные движения в приборах типа О все же существуют. В связи с этим возникает вопрос: какие явления мы отбрасываем, не учитывая этого движения? В случае постоянного магнитного поля это — орбитальные резонансы, о которых мы гово рили в 4-й лекции; при отсутствии орбитальных резонансов учет поперечного движения дает сравнительно небольшую поправку к ли нейной теории приборов типа О (см. 9-ю лекцию), в то время как про дольное движение синхронно с волной и поэтому имеет основное зна чение. При периодической фокусировке, предполагая электроны движущимися равномерно и прямолинейно (без сверхвысокочастот ных полей), по существу не принимаем во внимание возможности сложных пространственных резонансов, обусловленных периодич ностью пучка, и рассматриваем усредненное движение.

После этих вводных замечаний перейдем к линейной теории элек

тронных волн,	в которой мы используем комплексные	обозначения и
подразумеваем	зависимость от времени в виде	Пусть в беско

нечном однородном волноводе прямолинейный электронный пучок несет переменный конвекционный ток, плотность которого имеет един ственную составляющую

j t	= Mp(x, y)J(z),	(6.01)
где
J	(z) J (0) e('ftz	(6.02)

есть переменный ток пучка в электронной волне с комплексным волно вым числом h, а функция г|з (х, у), определяющая распределение тока

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ