Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Нарастающая волна (TJ* < 0) имеется в области изменения пара метра скорости | ' (области усиления), существенно зависящей от

0 (рис. 6.3). Вне области усиления	все три волны имеют постоянную
амплитуду (при £" = 0). Максимальное		усиление (т. е. максимум—т]")
при данном а 2 достигается при \'	=	l'opt, причем с увеличением а

максимальное значение — ц " падает. С ростом параметра затухания^" усиление также падает.

При исследовании электронных волн желательно иметь в частных случаях простые аналитические выражения для корней уравнения

(6.75); они приведены в задачах 10 и

11. С физической точки

зрения

весьма интересен случай больших а, когда

усиление возможно лишь при \жа

су

ществуют два корня

(один

из которых

соответствует нарастающей волне) и один

корень т) « — о.

Этот

случай

интерпре

тируется

так:

при больших а, т. е. при

сильном

пространственном заряде, фазовые

скорости

волн пространственного

заряда

[см. формулы

(6.69)

и (6.70)] значительно

различаются,

поэтому

сильно

взаимодей

ствовать с волной в волноводе и давать

уси

ление может только одна из них, а

именно

медленная волна пространственного заря

да, при ее синхронизации

(h+ «

hs)

с вол-

новодной

волной.

Сказанное выше относится к корням

уравнения

(6.75) при еЛа2

->• 0.

Учет

чле

нов порядка еЛа2 показывает

(см. задачу

10), что

они влияют

в первую

очередь на

Рис. 6 . 3 . К решению харак

фазовые свойства электронных волн (на

величины

г)'

lopt)

во вторую

оче

теристического уравнения

р е д ь — на

величину

г\",

определяющую

усиление.

Для нахождения коэффициентов характеристического уравнения (6.75) нужно знать параметры электронного пучка (скорость электро нов, плотность постоянного тока и т. д.), фазовую скорость и затуха ние синхронной волны, а также усредненное сопротивление связи этой волны с пучком, коэффициент депрессии Г и его «логарифми ческую» производную Л.

Последние три величины зависят как от волновода (замедляю щей системы), так и от пучка, в частности от распределения перемен ного конвекционного тока по его сечению, т. е. от функции о|) (х, у). Однако ввиду доказанной выше стационарности корней характеристи ческого уравнения относительно выбора ф (х, у) достаточно знать эту функцию лишь приближенно.

Она удовлетворяет уравнению (6.20), причем в силу стационар ности характеристического уравнения в выражении (6.22) для g можно

пренебречь членами порядка (^-)2 = ( у ) 2 и порядка є и положить

130

g » = _ f c » 1 -	(6.76)
различая два предельных случая — слабого и сильного	пространст

венного заряда. При слабом пространственном заряде (—f—. <С 1

можно считать g2	= — h%	(или g 2 == — hi),		т. е. уподоблять		распре
деление тока в пучке распределению			поля	медленной	волны. При
сильном пространственном		заряде (а2 >	1, практически		о2 >	2) это
го делать нельзя:	поперечное волновое число g становится					вещест

венным и г|) — функция распределения тока в сечении пучка — меняет свой характер, например, в сплошном цилиндрическом пучке она убывает от центра к краю пучка, в то время как в первом случае монотонно убывает от края к центру (предполагается, что поле и ток

распределены в пучке	симметрично). Действительно, при сильном про
странственном заряде	значения	і], представляющие интерес, близки
и + о , поэтому из формулы		(6.76) получаем
		(6.77)

кв силу условия (6.72) g вещественно.

Впромежуточном случае функция г|э и волновое число g комплекс ны, т. е. по сечению пучка изменяется не только амплитуда, но и фаза сверхвысокочастотного тока; однако этот случай в настоящее время мало исследован.

Физически эти результаты можно интерпретировать следующим образом: пространственный заряд, по крайней мере при Г — 1, в оди наковой степени влияет как на продольное движение, так и на по перечное распределение. При слабом пространственном заряде груп пировка электронов происходит под действием поля синхронной волны, поэтому функция ij; (х, у) воспроизводит составляющую Ег этой волны. При сильном пространственном заряде характер группировки определяется главным образом силами пространственного заряда, поэтому и распределение тока в сечении пучка такое же, как в волне пространственного заряда, т. е. определяется вещественным попереч ным числом g. Таким образом, поведение функции г|з в этих крайних случаях совершенно различно, и, несмотря на стационарность харак теристического уравнения, это явление должно учитываться при вы числении усредненного сопротивления связи и коэффициентов Г и Л .

Отмеченное явление имеет большое значение при продвижении к большим мощностям или к коротким волнам (миллиметровым или субмиллиметровым), когда в приборах типа О увеличивают плотность заряда и тока. Его надо учитывать при расчетах, несмотря на связан ные с этим громоздкие вычисления. К сожалению, это явление не улучшает, а ухудшает связь пучка с синхронной волной (см. при ложение V).

Вместе с тем надо иметь в виду, что при сильном пространствен ном заряде нарастающая волна по структуре поля существенно от личается от синхронной волны в волноводе, уподобляясь волне про-

5 *

131

странственного заряда. Это должно приводить к дополнительным про блемам, связанным с вводом и выводом энергии. Теоретическое иссле дование электронных волн при сильном пространственном заряде производится следующим образом: сначала изучаются (без какоголибо усреднения по поперечному сечению пучка) волны пространст венного заряда и находятся их волновые числа; затем уже с помощью усреднения и характеристических уравнений (6.58) и (6.75) рассмат ривается результат синхронизации одной из волн пространственного заряда с медленной волной в волноводе (см. также приложение V) .

В данной лекции основное внимание уделяется характеристическо му уравнению (6.58) или (6.75). Если это уравнение имеет корень, для которого

l m / i < 0 или т ) " < 0 ,

(6.78)

то появляется неустойчивость: малое начальное возмущение, создан ное в некотором сечении, распространяется вдоль пучка в виде волны, экспоненциально нарастая. Начальным возмущением может быть как переменное электромагнитное поле, так и модуляция пучка. Нараста ние возмущений, как легко показать (см. 7-ю лекцию), сопровождается сгущением электронов в тормозящем поле синхронной волны.

Корень, удовлетворяющий условию (6.78), возможен только один, другие два удовлетворяют противоположному условию

1 т / г > 0 или	г ) " > 0 ;	(6.79)
оответст вующие электронные волны	сгущают электроны	в ускоряю

щем поле синхронной волны, отбирая у нее энергию, или же груп пируют их вблизи нейтральной фазы, вследствие чего полный обмен энергией между пучком и синхронной волной отсутствует. Эти две электронные волны не могут конкурировать с нарастающей электрон ной волной: последняя, пробежав сравнительно небольшой путь, становится преобладающей, и свойственное ей сгущение также нара стает— до тех пор, пока не начинают сказываться нелинейные эф фекты, о которых мы будем говорить в следующей лекции.

Таков основной механизм фазировки в лампе с бегущей волной, приводящий к большим коэффициентам усиления (в достаточно длин ных лампах). Если же длина лампы невелика, то небольшие коэф фициенты усиления в ней можно получить и в отсутствие нарастаю щей электронной волны, пользуясь побочным механизмом фазировки; при анализе этого механизма пользоваться характеристическим урав нением необязательно и можно применить метод последовательных приближений (ср. задачи 17 и 18).

Обычно усилительные лампы с бегущей волной имеют поглощаю щую секцию, предохраняющую лампу от генерации; в этой секции синхронная волна отсутствует и возможно лишь распространение волн пространственного заряда. Применяя изложенную выше теорию к расчету ламп в линейном режиме, нужно иметь в виду следующие обстоятельства:

1) при слабом пространственном заряде полный расчет лампы возможен, если известны параметры входного и выходного устройств

вотсутствие пучка;

2)при умеренном пространственном заряде происходит взаимное преобразование волноводных волн, электронных волн и волн прост


ранственного заряда,		снижающее полное усиление лампы;
3) при сильном		пространственном заряде преобразование элек
тронных волн в волны пространственного заряда и наоборот			происхо
дит практически	без потерь, однако возникают, как уже отмечалось
дополнительные	проблемы, относящиеся к вводу и выводу		энергии

ЗА Д А Ч И К 6-й ЛЕКЦИИ

1.Показать, что в линейной теории приборов типа О плотность тока дается выражением

, z = p e ~ d T '

(

где 2 1 = zl(t, z) — функция,

определяющая возмущенное

движение частиц;

координата частицы, пересекшей сечение 2 = 0 при t =

t0, равна

z = ve(t-t0)

+ z1(t,

ve(t

—

t9)).

Показать, что j z удовлетворяет уравнению

dz J

Пользуясь этими формулами, вывести соотношения (6.13) и (6.16).

Р е ш е н и е . Уравнение движения

частиц

d2z

„

dt2

v 4 T 0 с в 0 "

в линейной теории можно упростить, заменяя г на г 1

и ^

на -щ +

dz1dz1\

дится к пренебрежению слагаемым ^f^j-

В результате получаем

<•

д \2

г .

— + v e

— )

г1

= — Е

oz j

d z X

Полная плотность тока равна (pe-j-

р1 ) I ve

^~J> а в линейном приближении

dz1

пренебрегая произведением Р 1

^ . Для переменной

плотности имеем выражение

<fei

dz1

/г = РІ »в + р е — Г = ve Д + р е —

Л = р 1 + р е - — .

Нетрудно показать, что А = 0; для этого воспользуемся уравнением непрерыв ности (1.04), которое в данном случае имеет вид

dt ^ dz

и подставим в него выражение для j z , выведенное выше. Мы приходим к соотно шению

дЛ	дА	dA
—	+ , е — = 0	или — = 0.	(с)

Таким образом, Л не изменяется по мере движения данной группы электронов (скажем, вошедших в лампу в какой-то малый промежуток времени). Если пер

воначально пучок был невозмущенным, то А			0 и мы получаем формулу (а).
Из формулы (а) и уравнения движения в виде
д	д	dzi	е	дЕх
dt	•о. дг J	dt	т	dt

уже нетрудно получить уравнение (6), в силу линейности которого можно приме нить комплексные обозначения. Считая j z и Ег пропорциональными е ' ( ' 1 г — a t \

a ve и р е — не зависящими от х, у	и г, мы приходим к формуле (6.13). Заметим,
что при такой зависимости от г и t соотношение (с)- принимает вид
сое Д =	(со— hve) Д = 0,
откуда опять видно, что Д = 0. При ve =		0 (или при h = 0) из уравнения (6)
получаем соотношение (6.16).
Физический смысл соотношения Д =		0 становится прозрачным, если пере
писать его в виде
	р 1	dz1

ре дг

и иметь в виду, что правая часть дает относительное удлинение элементарного отрезка, образованного теми же электронами, по сравнению с невозмущенным пучком, а левая часть — относительное уменьшение плотности заряда в этом от резке. Равенство вытекает из закона сохранения заряда, который, разумеется, эквивалентен уравнению непрерывности (1.04); аналогичный подход использован

в7-й лекции.

2.Исходя из уравнений электромагнитного поля, получить для составля ющей Ег внутри пучка уравнение

Д ' £ 2	+ ( й 2 - / г 2 ) £	4 т	(а)
		г = — (k2-h2)jz,
		(СО

из которого вывести уравнение		(6.20). Считать, что пучок расположен в пустоте.
Р е ш е н и е . Из уравнений поля в пустоте следует уравнение
			4т	=	4jx	k2).	(b)
— r o t r o t E - f & 2 Е = — -^~ikj				=	t'co	k2).	(b)
			с		t'co
Учитывая соотношения
rot rot E = — Д E+graddiv E = — A ' E + A 2 E + g r a d							d i v E ,
4 л	,	4nh	д	, _		4nh2 .
d i v E =	div ] =		j z ,	d i v E =		i	\ z
ico		со	dz			со

и ограничиваясь вместо векторного уравнения (6) только уравнением, связыва

ющим Ег	и j z , придем к уравнению (а). Подставляя в уравнение (а) выражение
	lz =	^{x,	y)J(z)=—iu			Ez,
получим	уравнение				4 я
получим	уравнение
	Д* Ez +	(k2 -	Л2) Ег	= - (k2 -	h2) [bzz (сое)	-\]EZ
или
		AtEz +		(k2-h2)ezz	(сое ) £ г = 0.

Поскольку if>(#, у)		и Ez при г = const различаются лишь постоянным множите
лем, мы получаем уравнение (6.20).
3.	Показать,	что характеристическое уравнение (6.23) дает h как стацио
нарный	(в смысле вариационного исчисления) функционал от
Р е ш е н и е .		Варьируя уравнение (6.23), получаем

<5Е „

— - 6/i + 6E = 0, dh

где бЕ есть первая вариация Е при h = const. Благодаря симметрии ядра К имеем і

бЕ = 2 I 6г\|з (*, у) dS	(х, у)+	j К {х, у- х, у; h) ф (х, у) dS],
5 .	L	S_

откуда в силу интегрального уравнения (6.18) получаем бЕ = 0 и 6А = 0. Это значит, что, беря вместо точной функции if> некоторую приближенную функцию •ф+бЧр. мы получаем из уравнения (6.23) или совпадающего с ним уравнения (6.58) значение /г, имеющее погрешность порядка (бг|з)2.

4. Выяснить смысл величины S, определенной посредством формулы (6.55), рассмотрев два примера: 1) функция (х, у) постоянна на одной части попереч ного сечения пучка и равна нулю на другой его части; 2) функция і|з для пучка кругового сечения экспоненциально (и достаточно быстро) убывает при удалении от поверхности пучка.

Р е ш е н и е .	Если через		обозначить ту часть поперечного сечения				Se,
где г\|) = const Ф 0,	то	в силу	условия	(6.03) г\|) = 1/S*	не S \| ,	г\|з= 0	на
остальной части Se.	Формула (6.55) в этом случае дает S =				Возьмем теперь
						г—а
пучок круглого сечения		(радиуса	а), в котором ij) пропорциональна			е d . При
d <g а мы имеем
		г—	а	а

так что S = 4nad. Таким образом, величина S равна произведению окружности пучка 2яа на 2d; последняя величина характеризует глубину, на которой пере менный ток в пучке того же порядка, что и на поверхности (ср. теорию сильного скин-эффекта).

5. Обозначим через Je = peveSe

постоянный ток пучка, через Ue =

= — его напряжение. Показать, что параметр (6.59) можно представить

в виде

-Г 4Ue \ he

где

Rs S

S e

есть полное сопротивление связи, a S —• эффективная площадь сечения пучка, определяемая формулой (6.55). Показать, что параметр 8 в отличие от параметра (6.60) постоянен, если he меняется вдоль лампы (при постоянном S). Выразить Ks при слабом пространственном заряде через средний квадрат продольного электрического поля синхронной волны; для незатухающей синхронной волны." выразить сопротивление fts также через поток мощности волны в данном попереч ном сечении (см. задачу 7 к 5-й лекции).

Р е ш е н и е . Пользуясь формулами (6.14) и (6.59), получаем

aS	hp	S	сор	е	S
8л	h?	8л	со2	2/шв2	S„

или, пользуясь определением Ks,

е 3 =	hs Ks Jp =	—
	2mco2	4(7, V

Выражение (а) показывает, что параметр є постоянен, когда ve и he меняются вдоль лампы, в то время как параметр (6.60) непостоянен.

Согласно формуле (6.53)

2{El,zf	_ 2	S	2 (El	zYifosWS)2
h2sNs	Vs	Se	h*sN$Se	j > * d S '

При слабом пространственном заряде функции cps и і|з в пределах пучка пропорциональны, и в силу соотношения (6.03) имеем

У(х, у)--

1 T s ^ s

І'е

Поэтому

Ji);2 dS

В	этом выражении фигурирует средний квадрат поля, о котором говорилось
в	условиях задачи.

Если поле E s , H S соответствует незатухающей волне, то норму (5.13) легко связать с активной мощностью Ps, переносимой волной через поперечное сечение. Согласно задаче 7 к 5-й лекции получим

WS = 4PS ,

если возьмем E _ s = — Е*; тогда продольная компонента Es, г будет мнимой. Величину Кз можно поэтому представить в виде

Это выражение применимо и в случае слабо затухающей синхронной волны, если Ре и интеграл по Se брать для одного и того же значения г = const.

6. Пользуясь соотношением (6.61), найти связь между усредненным полем

пространственного заряда Ег = —		и распределением тока /(г) при любой
зависимости	J от г. Выяснить, в какой мере поле при данном г зависит от тока
при других	значениях z, для чего воспользоваться решением задачи 6 к 5-й лек
ции.

Р е ш е н и е .

Согласно формулам (6.08), (6.11) и (6.51)

• ~ ~

ф ( г ) = —

G ( г — 7 ) dz

(СО

G(z—z)J

(z)dz,

так что

£ г ( г ) = -

dO>

G (z — z) У (z ) dz =

dz2

4л;

J (г)—

]

G(z — z)J

{z)dz

itoS

Первое слагаемое в квадратной скобке

определяется

током в том же сечении,

где вычисляется поле (локальная зависимость),

второе — током

при

всех

(нелокальная

зависимость).

Однако

квазистатическое

поле,

создаваемое

за

рядом в

данной

точке, практически

простирается

только

на

расстояния

порядка

а от

данной точки

(а — внутренний

радиус

волновода),

поэтому

нелокальная зависимость есть зависимость от тока на таких расстояниях от дан

ного сечения.
	Нелокальная зависимость поля от тока приводит к тому, что величина (6.64)
зависит		от А.					волне Ег и \ г , не зависящие от х
	7.	Показать,	что в плоской электронной				волне Ег и \ г , не зависящие от х
и у, связаны соотношением "
					4л				(а)
									(а)
и,	следовательно,		Г =	1.
	Р е ш е н и е .		Мы имеем
		div Е =		dEz	р =		div j =
и,		div Е =		dz = 4лр,	р =	г со	div j =	ш dz
и,	следовательно,			dEz	4л	djz
				dEz	4л	djz
				dz	/со	dz
Поскольку в электронной волне Ez					и j z зависят от г одинаково				(пропорциональ
ны el f t z ), отсюда следует соотношение (а).
	8.	Определим коэффициент связи К так, чтобы формула (6.52) приняла вид
				4л			+ Г	_J_	(в)
				-	К'-		+ Г	_J_	(в)
					• 2 ( h - A e )			S

тогда этот коэффициент будет характеризовать комплексную амплитуду резонанс

ного поля примерно		так же, как коэффициент депрессии		характеризует ампли
туду	нерезонансного поля. Найти		К и выразить є через	К. Использовать фор
мулу	(а) для вывода характеристического уравнения.
	Показать, что плазменное волновое число можно выразить через безраз
мерный параметр
		т		т
	= - A - =	l / : 2\е\	\Ue\3'2	2е

связанный с микропервеансом пучка £Р^ соотношением

Р е ш е н и е . Мы имеем

^ _ « S _ _ R s _

е з и К hshp

К hs top

Приравнивая величины £ z по формулам (а) и (6.57), приходим к соотношениям

т. е. к уравнению (6.58). Для hp, с учетом формулы (6.14), можно легко получить соотношение

9. Опираясь на формулы (6.69)—(6.71), показать, что при переходе к си стеме координат, движущейся вместе с невозмущенным электронным пучком

г' = 2 — v e t,

каждая волна пространственного заряда приобретает частоту (6.71).

Используя приближенное представление коэффициента депрессии в виде (6.68), вычислить коэффициенты редукции /?±, определяющие волновые числа

волн пространственного заряда по формулам

h+ = he-^R+hp,

h„ = he—R„hp.

tn\

Р е ш е н и е .

Для каждой

волны пространственного

заряда переменный

ток пучка равен

( « > ± « > о

J(t,

2) = R e { 7 0 e t ' ( f t z - B ' ) } = R e

J 0 e

2 - г — at ]

или

1,4.

Г.

{ 1

' ( Л 2 ' ± Ш о ' Н

ы±®д

J(t,

z) = Re

\J0e

'і,

A =

где J0 — комплексная

постоянная.

Последнее

выражение

показывает,

что мы

имеем дело с волной, частота которой равна ад

сод(Л).

входящие в формулу

В первом приближении коэффициенты редукции R±,

(а),

равны

во втором приближении

# + = Я _ = У Г 7 Л ) ;

R+

(А, + УГ7Й7) Ар) ж У г Т Л ) +

(К) hp,

я _ =

( А . - У П А Т ) Лр)з^

УПАТ) -

г ' ^

10, Исследовать корни уравнения (6.75):

1) при | =

а = 0

и Л = 0;

2) при 1" = 0,

а- =

| 2 — ^ -

и Л = 0;

3) при о »

1 и Л =

0 (исходить из того, что в нулевом приближении корни

близки к І и ±

а; произвести уточнения,

считая

1~а,

и найти l m a x ,

£ m ; n и

| о Р (

при а >

1 и

І" =

0, а

также — т)" при і

l0pt);

4) при а >

и Л = £ 0 .

Дать физическую интерпретацию результатов, полученных										в трех	послед
них примерах.
Р е ш е н и е .	При £ =	о =		Л =		0 мы имеем т]" =			—	1, откуда
		1	. У э Г
	Ц и 2 = =	— - ±	1	— -	,	Т\|,=	— 1 .
При вещественном %, связанном с а 2				приведенным выше соотношением,							уравне
ние (6.75) примет вид
(П-І)	( т і 2	- Е 2 ф ~ - )			=	- 1 ,	если	Л =	0.
Легко видеть, что это уравнение имеет корень г\|3 =							—	I; другие два корня суть

т ц , . = & ± - ^ = - .

причем усиление возможно только при £ > 0; при £ < 0 корни ц 1 2 также ве щественны.

При а >	1, Л = 0 и \|	ищем			т] в виде	т\| = а 4 - о ,			\| 81 <	а	и в получен
ном кубическом уравнении
	б(2а +		б)(а - I +			S) =	-	1
заменяем 2а +	б на 2о (ЕО второй сксбке пренебречь слагаемым б нельзя, так как
разность а —	£ мала); тогда приходим к квадратному уравнению
	1				І — о-	т	f	(1 — <у\2			1
6 2 * ( c - ! ) 6 4 -		= o.	в 1	, 2	= —	± у	(—)			_	— .
которое при условии а—		\| / —		<	§ < ст +	\| /	- j - дает комплексные корни
		\|_±_о_			. , / " 1		/ \| - а \ 2				(а)
											(а)
Таким образом, при Ь" =			0 получаем
Imin = а — У^~>		lopt = 0, Ътах = С + у						/	Г (	О	> 1),

что дает нам асимптотические выражения для кривых, нанесенных на рис. 6.3. При і = SoPi = ° имеем

Третий корень т)з »		— а вещественный.
Физический смысл этих результатов следующий: значения						г) = ± а
определяют волны		пространственного			заряда, а значение т] =	\ — волну
в волноводе. Действительно,				формула (6.73) дает
			.	. „ ^ .	<й ± УГсОр
			Л = А е ( 1 Т е о ) = -
а при г) =	Е имеем Л = hs;		таким образом, мы приходим к волнам, существующим
согласно	формуле	(6.70)	при отсутствии		взаимодействия пучка с	синхронной

волной. При больших значениях а волновые числа и фазовые скорости волн про-

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ